Связь угловой скорости и линейной скорости: Угловая скорость. Связь векторов линейной и угловой скоростей.

Содержание

Угловая скорость. Связь векторов линейной и угловой скоростей.





Стр 1 из 3Следующая ⇒

Угловая скорость. Связь векторов линейной и угловой скоростей.

Угловая скорость — векторная физическая величина, характеризующая скорость вращения тела. Вектор угловой скорости по величине равен углу поворота тела в единицу времени:

Легко найти связь между линейной скоростью точки v, ее угловой скоростью ω и радиусом r окружности, по которой она движется.

т. е. линейная скорость при движении по окружности равна угловой скорости, умноженной на радиус окружности.

При вращательном движении действуют: тангенциальное и центростремительное ускорения.

В любой точке вращательного движения шара вектор его линейной скорости направлен перпендикулярно радиусу. Нетрудно догадаться, что при таком вращении по окружности, вектор линейной скорости шара постоянно меняет свое направление. Ускорение, характеризующее такое изменение скорости, называется центробежным (центростремительным) ускорением.

Центробежное ускорение можно вычислить по формуле:

Угловое ускорение. Связь линейных и угловых величин.

Угловое ускорение — физическая величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости твёрдого тела.

Существует связь между тангенциальным и угловым ускорениями:

где R — радиус кривизны траектории точки в данный момент времени

Тангенциальное ускорение направлено по касательной в траектории движения тела, а нормальное — перпендикулярно ему.

13. Сформулируйте первый закон Ньютона.
Существуют такие системы отсчёта, относительно которых материальная точка, при отсутствии внешних воздействий, сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения.

Что такое замкнутая механическая система.

Замкнутая механическая система, потенциальная энергия которой имеет минимальное значение и в которой отсутствуют движения тел, находится в состоянии равновесия. Примером может служить тяжелый шар, неподвижно; лежащий на дне ямы: его потенциальная энергия Ер имеет минимальное значение, и он находится в равновесии; без воздействия извне шар не может выкатиться из ямы.



20. Радиус-вектор, скорость, импульс, закон движения центра масс.
Радиус-вектор точки — это вектор, начало которого совпадает с началом системы координат, а конец — с данной точкой.
Таким образом, особенностью радиус-вектора, отличающего его от всех других векторов, является то, что его начало всегда находится в точке начала координат.

Скорость — физическая величина, характеризующая движение тела в пространстве. Физический смысл — Изменение координаты в единицу времени.

Импульс тела — это векторная величина, равная произведению массы тела на его скорость: . Специальных единиц измерения импульса нет. Размерность импульса — это просто произ- ведение размерности массы на размерность скорости: [p] = [m] · [v] = кг · м /с .

Воспользовавшись законом изменения импульса, получим закон движения центра масс:

dP/dt = M∙dVc/dt = ΣFi

Центр масс системы движется так же, как двигалась бы частица с массой, равной массе системы, под действием силы, равной векторной сумме всех внешних сил, действующих на входящие в систему частицы.

Энергия и работа. В чём разница?

Термин «работа» в механике имеет два смысла: работа как процесс, при котором сила перемещает тело, действуя под углом, отличном от 90°; работа — физическая величина, равная произведению силы, перемещения и косинуса угла между направлением действия силы и перемещением:

А = Fs cos a.

Работа равна нулю, когда тело движется по инерции (F = 0), когда нет перемещения (s = 0) или когда угол между перемещением и силой равен 90° (cos а = 0). Единицей работы в СИ служит джоуль (Дж).

1 джоуль — это такая работа, которая совершается силой 1 Н при перемещении тела на 1 м по линии действия силы. Для определения быстроты совершения работы вводят величину «мощность».

Мощность равняется отношению совершенной работы ко времени, за которое она выполнена:

Единицей мощности в СИ служит 1 ватт (Вт). 1 Вт — мощность, при которой совершается работа в 1 Дж за 1 секунду.

Сформулируйте закон Гука.

Закон Гука — утверждение, согласно которому деформация, возникающая в упругом теле (пружине, стержне, консоли, балке и т. п.), пропорциональна приложенной к этому телу силе. Открыт в 1660 году английским учёным Робертом Гуком.




Закон Гука выполняется только при малых деформациях. При превышении предела пропорциональности связь между напряжениями и деформациями становится нелинейной. Для многих сред закон Гука неприменим даже при малых деформациях.

Угловая скорость. Связь векторов линейной и угловой скоростей.

Угловая скорость — векторная физическая величина, характеризующая скорость вращения тела. Вектор угловой скорости по величине равен углу поворота тела в единицу времени:

Легко найти связь между линейной скоростью точки v, ее угловой скоростью ω и радиусом r окружности, по которой она движется.

т. е. линейная скорость при движении по окружности равна угловой скорости, умноженной на радиус окружности.

При вращательном движении действуют: тангенциальное и центростремительное ускорения.

В любой точке вращательного движения шара вектор его линейной скорости направлен перпендикулярно радиусу. Нетрудно догадаться, что при таком вращении по окружности, вектор линейной скорости шара постоянно меняет свое направление. Ускорение, характеризующее такое изменение скорости, называется центробежным (центростремительным) ускорением.

Центробежное ускорение можно вычислить по формуле:











Связь между угловой и линейной скоростями





Отсюда легко установить связь между линейной и угловой скоростями. Мы уже знаем, что угловая скорость связана с числом оборотов формулой: ω = 2πn; поэтому на основании формулы скорости движения по окружности получим:

v = ωR

Линейная скорость точки, движущейся равномерно по окружности, равна угловой скорости, умноженной на радиус окружности.

Известно, что вектор скорости точки, движущейся по окружности, направлен по касательной. Следовательно, линейная скорость направлена по касательной к окружности.

Из формулы видно, что линейная скорость измеряется в см/сек , м/сек и т.д.

 

14. Что называется линейным ускорением материальной точки, в каких единицах оно измеряется?

линейное ускорение — это производная от скорости по времени.

Формула линейного ускорения:

а = dv / dt = d2s/dt2, где s – путь ,пройденный телом.

15. Закон равноускоренного движения по прямой

равноускоренным движением называют такое движение, при котором вектор ускорения остается неизменным по модулю и направлению.

Закон равноускоренного движения по прямой

Это выражение называют законом равноускоренного движения

Начальная скорость-υ0 , конечная скорость-υ, ускорения-a, время-t.

16. Что называется угловой скоростью, в каких единицах оно измеряется?

Угловая скорость — величина, характеризующая скорость вращения материальной точки вокруг центра вращения.

17. Что называется частотой вращения, в каких единицах оно измеряется?

Частота вращения — это физическая величина, равная числу полных оборотов за единицу времени

18. Что называется периодом вращения, в каких единицах он измеряется?

Период вращения (физический термин) — промежуток времени, в течение которого точка совершает полный оборот, двигаясь по окружности.

19. Связь между угловой скоростью вращения и его частотой.

Угловая скорость вращения ω это отношение угла, на которое тело повернется, к времени, за которое оно это сделает. Полному обороту вокруг оси соответствует угол 2π или 360° в зависимости от единиц измерения угла. Число оборотов равно отношению пройденного угла к 2π или 360°. Частота вращения это число полных оборотов тела вокруг оси за единицу времени, таким образом она равна ω/(2π) или ω/360° для углов, измеряемых в градусах

20. Связь между угловой скоростью и периодом.

21. Связь между линейной и угловой скоростями

Связь между линейной и угловой скоростью. Скорость точки, движущейся по окружности, часто называют линейной скоростью, чтобы подчеркнуть ее отличие от угловой скорости. При вращении твердого тела разные его точки имеют разные линейные скорости, но угловая скорость для всех точек одинакова. Междулинейной скоростью какой-либо точки вращающегося тела и угловой скоростьсуществует связь. Точка, лежащая на окружности радиуса R, за один оборот пройдет путь 2πR. А так как, время одного оборота тела есть период Т, то модуль линейнойскорости можно найти так: v=2πR/T=2πRν или v=ωR



22. Центростремительное ускорение

»

23. Что называется нормальным ускорением материальной точки, как его вычислить?

Нормальное ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль нормали к траектории движения в данной точке на траектории движения тела. То есть вектор нормального ускорения перпендикулярен линейной скорости движения .Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению и обозначается буквой n. Вектор нормального ускорения направлен по радиусу кривизны траектории.

24. Что называется тангенциальным ускорением материальной точки, как его вычислить?

Тангенциальное (касательное) ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль касательной к траектории в данной точке траектории движения. Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по модулю при криволинейном движении.

25. Напишите формулу для определения полного ускорения материальной точки

26. Какое падение тела называется свободным?

Свободным падением называется движение, которое совершило бы тело только под действием силы тяжести без учета сопротивления воздуха.




Читайте также:

Рекомендуемые страницы:

Поиск по сайту











Угловая и линейная скорости — Мегаобучалка

Й семестр.

1. Материальная точка(частица) — простейшая физическая модель в механике — обладающее массой тело, размерами, формой, вращением и внутренней структурой которого можно пренебречь в условиях исследуемой задачи. Положение материальной точки в пространстве определяется как положение геометрической точки.

Система координат— комплекс определений, реализующий метод координат, то есть способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов. Совокупность чисел, определяющих положение конкретной точки, называется координатами этой точки.

Система отсчёта— это совокупность тела отсчёта, связанной с ним системы координат и системы отсчёта времени, по отношению к которым рассматривается движение каких-либо тел.

Путь — это расстояние, которое прошло тело. Путь — скалярная величина. Для полного описания движения, необходимо знать не только пройденный путь, но и направление движения.

Перемещение — это направленный отрезок прямой, который сочетает начальное положение тела с его последующим положением. Перемещение, так же как и путь, обозначается буквой S и измеряется в метрах. Но это две разные величины, которые необходимо различать.

Относительное движение — это движение материальной точки/тела относительно подвижной системы отсчёта. В этой СО радиус-вектор тела — , скорость тела — .

2. Скорость — векторная физическая величина, характеризующая быстроту перемещения и направление движения материальной точки относительно выбранной системы отсчёта; по определению, равна производной радиус-вектора точки по времени.

Равномерное и неравномерное движения.

рав­но­мер­ным на­зы­ва­ет­ся такое дви­же­ние, при ко­то­ром за любые рав­ные про­ме­жут­ки вре­ме­ни тело про­хо­дит оди­на­ко­вые от­рез­ки пути.

Нерав­но­мер­ным на­зы­ва­ет­ся такое дви­же­ние, при ко­то­ром за рав­ные про­ме­жут­ки вре­ме­ни тело про­хо­дит раз­лич­ные от­рез­ки пути.

Теорема о сложении скоростей.Скорость движения тела относительно неподвижной системы отсчёта равна векторной сумме скорости этого тела относительно подвижной системы отсчета и скорости (относительно неподвижной системы) той точки подвижной системы отсчёта, в которой в данный момент времени находится тело.

3. Ускорение— физическая величина, определяющая быстроту изменения скорости тела, то есть первая производная от скорости по времени. Ускорение является векторной величиной, показывающей, на сколько изменяется вектор скорости тела при его движении за единицу времени:

Равноускоренное движениедвижение, при котором ускорение постоянно по модулю и направлению.

Прямолинейное равноускоренное движениесамый простой вид неравномерного движения, при котором тело движется вдоль прямой линии, а его скорость за любые равные промежутки времени меняется одинаково.

Вычислить ускорение тела, движущегося прямолинейно и равноускоренно, можно с помощью уравнения, в которое входят проекции векторов ускорения и скорости:

vx – v0x
ax = ———
t

4.Криволинейное движение— движение точки по траектории, не представляющей собою прямую, с произвольным ускорением и произвольной скоростью в любой момент времени (например, движение по окружности).

Угол поворота — это не геометрическая, а физическая величина, характеризующая поворот тела или поворот луча, исходящего из центра вращения тела, относительно другого луча, считающегося неподвижным. Это характеристика вращательной формы движения, лишь оцениваемая в единицах плоского угла.

Угловая и линейная скорости.

Угловая скорость— это физическая величина, равная отношению угла поворота к интервалу времени, в течение которого этот поворот произошел.

Каждая точка на окружности движется с некоторой скоростью. Эту скорость называют линейной. Направление вектора линейной скорости всегда совпадает с касательной к окружности. Например, искры из-под точильного станка двигаются, повторяя направление мгновенной скорости.

5. Нормальное и тангенциальное ускорение.

1.Центростремительное ускорение— компонента ускорения точки, характеризующая быстроту изменения направления вектора скорости для траектории с кривизной. Направлено к центру кривизны траектории, чем и обусловлен термин. По величине равно квадрату скорости, поделённому на радиус кривизны. Термин «центростремительное ускорение» эквивалентен термину «нормальное ускорение».

2.Тангенциальное ускорение — компонента ускорения, направленная по касательной к траектории движения. Характеризует изменение модуля скорости в отличие от нормальной компоненты, характеризующей изменение направления скорости.

Полное ускоpение точки складывается из касательного и ноpмального ускоpений по пpавилу сложения вектоpов. Оно всегда будет напpавлено в стоpону вогнутости тpаектоpии, поскольку в эту стоpону напpавлено и ноpмальное ускоpение.

Период колебаний — наименьший промежуток времени, за который осциллятор совершает одно полное колебание (то есть возвращается в то же состояние, в котором он находился в первоначальный момент, выбранный произвольно).

Частота— физическая величина, характеристика периодического процесса, равна количеству повторений или возникновения событий (процессов) в единицу времени. Рассчитывается, как отношение количества повторений или возникновения событий (процессов) к промежутку времени, за которое они совершены.

 

6.Масса, физическая величина, одна из основных характеристикматерии, определяющая её инерционные и гравитационные свойства. Соответственно различают М.инертную и М. гравитационную (тяжёлую, тяготеющую).

Вес — сила воздействия тела на опору (или подвес или другой вид крепления), препятствующую падению, возникающая в поле сил тяжести.

Невесомость— состояние, при котором сила взаимодействия тела с опорой (вес тела), возникающая в связи с гравитационным притяжением, действием других массовых сил, в частности силы инерции, возникающей при ускоренном движении тела, отсутствует.

7. Сила тренияэто сила, возникающая при соприкосновении двух тел и препятствующая(мешающимся) их относительному движению. Причиной возникновения трения является шероховатость трущихся поверхностей и взаимодействие молекул этих поверхностей. Сила трения зависит от материала трущихся поверхностей и от того, насколько сильно эти поверхности прижаты друг к другу.

Виды трения.

1.Трение скольжениясила, возникающая при поступательном перемещении одного из контактирующих/взаимодействующих тел относительно другого и действующая на это тело в направлении, противоположном направлению скольжения.

2.Трение качения—момент сил, возникающий при качении одного из двух контактирующих/взаимодействующих тел относительно другого.

3.Трение покоя—сила, возникающая между двумя контактирующими телами и препятствующая возникновению относительного движения. Эту силу необходимо преодолеть для того, чтобы привести два контактирующих тела в движение друг относительно друга. Возникает при микроперемещениях (например, при деформации) контактирующих тел. Она действует в направлении, противоположном направлению возможного относительного движения.

Сила реакции опоры- это сила или система сил, выражающая механическое действие опоры на конструкцию, которая покоится на этих опорах.

8. Деформация— изменение взаимного положения частиц тела, связанное с их перемещением относительно друг друга. Деформация представляет собой результат изменения межатомных расстояний и перегруппировки блоков атомов. Обычно деформация сопровождается изменением величин межатомных сил, мерой которого является упругое механическое напряжение.

Виды деформации.

1.Растяжение — сжатие — в сопротивлении материалов — вид продольной деформации стержня или бруса, возникающий в том случае, если нагрузка к нему прикладывается по его продольной оси (равнодействующая сил, воздействующих на него, нормальна поперечному сечению стержня и проходит через его центр масс).

2.Сдвиг — в сопротивлении материалов — вид продольной деформации бруса, возникающий в том случае, если сила прикладывается касательно его поверхности (при этом нижняя часть бруска закреплена неподвижно).

3. Изгиб — в сопротивлении материалов вид деформации, при котором происходит искривление осей прямых брусьев или изменение кривизны осей кривых брусьев, изменение кривизны/искривление срединной поверхности пластины или оболочки. Изгиб связан с возникновением в поперечных сечениях бруса или оболочки изгибающих моментов.

4.Кручение один из видов деформации тела. Возникает в том случае, если нагрузка прикладывается к телу в виде пары сил в его поперечной плоскости. При этом в поперечных сечениях тела возникает только один внутренний силовой фактор — крутящий момент. На кручение работают пружины растяжения-сжатия и валы.

Сила упругостисила, возникающая в теле в результате его деформации и стремящаяся вернуть тело в исходное состояние.

Закон Гука — утверждение, согласно которому деформация, возникающая в упругом теле (пружине, стержне, консоли, балке и т. п.), пропорциональна приложенной к этому телу силе. Открыт в 1660 году английским учёным Робертом Гуком. Следует иметь в виду, что закон Гука выполняется только при малых деформациях. При превышении предела пропорциональности связь между напряжениями и деформациями становится нелинейной. Для многих сред закон Гука неприменим даже при малых деформациях.

Для тонкого растяжимого стержня закон Гука имеет вид:

9. Первый закон Ньютонапостулирует существование инерциальных систем отсчета. Поэтому он также известен как Закон инерции. Инерция — это свойство тела сохранять скорость своего движения неизменной (и по величине, и по направлению), когда на тело не действуют никакие силы. Чтобы изменить скорость движения тела, на него необходимо подействовать с некоторой силой. Естественно, результат действия одинаковых по величине сил на различные тела будет различным. Таким образом, говорят, что тела обладают разной инертностью. Инертность — это свойство тел сопротивляться изменению их скорости. Величина инертности характеризуется массой тела.

10. Импульс— векторная физическая величина, являющаяся мерой механического движения тела. В классической механике импульс тела равен произведению массы m этого тела на его скорость v, направление импульса совпадает с направлением вектора скорости:

Закон сохранения импульса утверждает, что векторная сумма импульсов всех тел системы есть величина постоянная, если векторная сумма внешних сил, действующих на систему тел, равна нулю.

В классической механике закон сохранения импульса обычно выводится как следствие законов Ньютона. Из законов Ньютона можно показать, что при движении системы в пустом пространстве импульс сохраняется во времени, а при наличии внешнего воздействия скорость изменения импульса определяется суммой приложенных сил.

Равномерное движение по прямой и вращение по окружности. Связь угловой и линейной скорости

Содержание статьи:

Раздел физики, который изучает движение тел по различным траекториям, называется кинематикой. Практически полезными типами перемещения объектов являются движение по прямой и по окружности. Рассмотрим в статье, что представляют собой эти типы движения, какими формулами они описываются, а также приведем связь угловой и линейной скорости.

Движение по прямой

Связь угловой и линейной скорости можно определить, если знать, о каких величинах идет речь. Начнем со скорости линейной.

Вам будет интересно:Двугранные углы и формула для их вычисления. Двугранный угол при основании четырехугольной правильной пирамиды

Со школьной скамьи каждый знает, что перемещение объектов в пространстве характеризуется тремя главными величинами:

  • пройденный путь S;
  • время движения t;
  • скорость v.

Формула, связывающая в единое равенство названные величины, приведена ниже:

S = v * t.

Приведенное выражение описывает равномерное движение тела по прямой линии. В международной системе единиц СИ величина S измеряется в метрах (м), t — в секундах (с), v — в метрах в секунду (м/с). Помимо названных единиц, путь и время могут измеряться в километрах (км) и часах (ч), соответственно. Тогда скорость будет выражаться в километрах в час (км/ч).

Записанная формула может применяться для решения широкого круга практических задач, например, движение транспортных средств по дорогам, движение кораблей и лодок по рекам, полет птиц и так далее.

Движение по окружности

Перед тем как перейти к выводу формулы связи линейной и угловой скорости, следует рассмотреть последнюю с точки зрения физики.

Угловая скорость появляется в физике, когда речь идет о вращающихся объектах. Примерами могут быть вращение колеса велосипеда, маховика автомобиля или планеты вокруг своей звезды. Угловая скорость тела показывает, на какой угол в радианах оно поворачивается за единицу времени. Обычно эту величину обозначают греческой буквой ω (омега). Она измеряется в радианах в секунду (рад/с).

По аналогии с линейным случаем можно назвать три главных величины, которые описывают движение по окружности с постоянной скоростью угловой:

  • угол поворота θ;
  • время t;
  • угловая скорость ω.

Соответствующая формула, которая связывает эти величины, выглядит так:

θ = ω * t.

Угол поворота тела θ вокруг оси вращения измеряется в радианах. Напомним, что окружность имеет 2 * pi радиан (около 6,28). Если полученное по формуле значение θ оказалось больше, чем 2 * pi, то это означает, что тело сделало больше одного оборота вокруг оси.

Таким образом, записанное выражение позволяет рассчитать число оборотов, совершаемых телом за известный промежуток времени t.

Связь угловой и линейной скорости

Теперь можно рассмотреть этот вопрос. Предположим, что тело, имеющее линейную скорость v, вращается по окружности радиусом R. Чтобы получить между линейной и угловой скоростью связь, рассмотрим, какое время понадобится телу, чтобы сделать полный один оборот. Поскольку пройденный путь будет равен длине окружности, то следующее выражение будет справедливым:

t = S/v = 2 * pi * R/v.

Теперь воспользуемся угловыми величинами. За найденное время одного оборота t, тело повернется точно на 2 * pi радиан. Последнее означает, что его угловая скорость будет равна:

ω = θ/t = 2 * pi/t.

Подставим рассчитанное выше время t и получим между угловой и линейной скоростью связь:

ω = 2 * pi/t = 2 * pi/(2 * pi * R/v) = v/R.

Полученную формулу можно записать в двух видах:

ω = v/R;

v = ω * R.

Каждое из выражений применяется в зависимости от того, какая величина в условии задачи известна. Формулы позволяют сделать важный вывод: чем больше радиус орбиты вращение, тем больше будет линейная скорость при постоянной угловой скорости.

Далее решим интересную задачу на применение полученных формул.

Что быстрее — Земля или Марс?

Известно, что Земля и Марс являются 3-й и 4-й планетами Солнечной системы, соответственно. Обе планеты движутся приблизительно по круглым орбитам. Расстояние от нашей звезды до Земли равно 149 597 870,691 км, а один оборот вокруг нее она делает за 365,256 дней. Марс расположен от Солнца на расстоянии 227 936 640 км, и один оборот вокруг него делает за 686,971 земных дня. Необходимо определить и сравнить линейные скорости планет.

Угловая скорость планеты может быть рассчитана по формуле:

ω = 2 * pi/T.

Где T — период (время совершения одного оборота вокруг звезды). Подставляя ω в формулу для v, получаем:

v = 2 * pi * R/T.

Переведем время оборота планет в часы и подставим данные в это равенство, получим:

  • для Земли: v = 2 * 3,14 * 149597870,691/(365,256 * 24) ≈ 107,2 тыс. км/ч;
  • для Марса: v = 2 * 3,14 * 227936640/(686,971 * 24) ≈ 86,8 тыс. км/ч.

Обе цифры являются огромными. Так, Земля за один час пролетает в космосе расстояние, практически равное трем ее окружностям по экватору. Полученные скорости свидетельствуют, что Земля движется быстрее Марса, и ее скорость на 24 % больше марсианской.

Источник

Линейная скорость через угловую, теория и онлайн калькуляторы

Определение

Мгновенной (истинной) скоростью ($\overline{v}$) называют векторную физическую величину, равную производной от вектора перемещения по времени ($t$):

\[\overline{v}={\mathop{\lim }_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta \overline{r}}{\Delta t}=\frac{d\overline{r}}{dt}\ }\left(1\right).\]

$\Delta \overline{r}$- вектор перемещения материальной точки, это перемещение точка совершает за отрезок времени $\Delta t$.

Выражение линейной скорости через угловую скорость

Скорость называют мгновенной, так как ее значение показывает величину скорости в определенный момент времени.

Так как вектор перемещения $\Delta \overline{r}$ направлен по хорде, которая соединяет две близкие точки криволинейной траектории движения частицы, при уменьшении расстояния между этими точками, вектор $\Delta \overline{r}$ занимает положение касательной к линии, по которой движется частица. Из определения (1) следует, что мгновенная скорость направлена по касательной к траектории движения.

Скорость прохождения пути ($s$) определяют:

\[v={\mathop{\lim }_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{ds}{dt}\left(2\right).\ }\]

Мгновенную скорость называют линейной тогда, когда хотят подчеркнуть ее отличие от угловой скорости.

Если материальная точка движется по окружности, то ее положение характеризуют при помощи угла поворота ($\varphi $), который образует радиус-вектор ($\overline{r}$), определяющий положение рассматриваемой точки А с выделенным неизменным направлением от которого производят отсчет (рис.1).

Быстроту изменения угла поворота $\varphi $ характеризуют при помощи такой физической величины как угловая скорость. Обычно угловую скорость обозначают буквой $\omega $. Угловая скорость равна:

\[\omega =\frac{d\varphi }{dt}\left(3\right).\]

Вращение называют равномерным, если угловая скорость постоянна $\omega =const$. При равномерном вращении $\omega $ можно называть угловой частотой.

Линейная скорость движения точки по окружности связана с угловой скоростью. Пусть точка проходит путь равный длине дуги XA (рис.1). Этот путь обозначим $s$. Если радиус окружности равен$\ R=const$, то длину дуги найдем как:

\[s=R\varphi \ \left(4\right).\]

Продифференцируем обе части выражения (4) по времени, имеем:

\[\frac{ds}{dt}=\frac{d\left(R\varphi \right)}{dt}=R\frac{d\varphi }{dt}\left(5\right).\]

Мы видим, что в левой части получена величина линейной скорости, в правой части радиус окружности умножен на угловую скорость:

\[v=R\omega \left(6\right).\]

Формула (6) будет справедлива при движении точки по криволинейной траектории отличной от окружности, но в этом случае $R$ — радиус кривизны траектории в месте нахождения частицы.

В векторном виде выражение (6) записывают так:

\[\overline{v}=\overline{\omega }\times \overline{r}\left(7\right),\]

$\overline{r}$ — вектор, сое

Формула для расчета линейной скорости

Понятие скорости

Когда мы сравниваем движение каких-либо тел, то говорим, что одни тела двигаются быстрее, а другие — медленнее. Такую простую терминологию мы используем в повседневной жизни, говоря, например, о движении транспорта. В физике быстрота движения тел характеризуется определенной величиной. Эта величина называется скоростью. Общее определение скорости (в случае, если тело движется равномерно):

Определение 1

Скорость при равномерном движении тела — это физическая величина, показывающая, какой путь прошло тело за единицу времени.

Под равномерным движением тела подразумевается, что скорость тела постоянна. Формула нахождения скорости: $v=\frac{s}{t}$, $s$ — это пройденный телом путь (то есть длина линии), $t$ — время (то есть промежуток времени, за который пройден путь).

Согласно международной системе СИ, единица измерения линейной скорости является производной от двух основных единиц — метра и секунды, то есть измеряется в метрах в секунду (м/с). Это значит, что под единицей скорости понимается скорость такого равномерного движения, при котором путь в один метр тело проходит за одну секунду.

Готовые работы на аналогичную тему

Также скорость часто измеряют в км/ч, км/с, см/с.

Рассмотрим простой пример задачи на вычисление скорости.

Пример 1

Задача. Двигаясь равномерно, поезд за 4 ч проходит 219 км. Найти его скорость движения.

Решение. $v=\frac{219 км}{4 ч}=54,75\frac{км}{ч}$. Переведём километры в метры и часы в секунды: $54,75\frac{км}{ч}=\frac{54750 м}{3600c}\approx 15,2\frac{м}{c}$.

Ответ. $54,75\frac{км}{ч}$ или $15,2\frac{м}{c}$.

Из примера мы видим, что числовое значение скорости отличается в зависимости от выбранной единицы измерения.

Кроме числового значения, скорость имеет направление. Числовое значение величины в физике называют модулем. Когда у физической величины есть и направление, то эту величину называют векторной. То есть скорость — это векторная физическая величина.

На письме модуль скорости обозначается $v$, а вектор скорости — $\vec v$.

В свою очередь, такие величины как путь, время, длина и другие характеризуются только числовым значением. Тогда говорят, что это скалярные физические величины.

В случае, когда движение является неравномерным, используют понятие средней скорости. Формула средней скорости: $v_{ср}=\frac{s}{t}$, где $s$ — это весь пройденный телом путь, $t$ — всё время движения. Рассмотрим пример задачи на среднюю скорость, чтобы понять разницу.

Пример 2

Задача. Некоторый транспорт за 2,5 часа преодолевает путь в 213 км. Найти его $v_{ср}$.

Решение. $v_{ср}=\frac{213 км}{2,5 ч}= 85,2 \frac{км}{ч}=\frac{213000 м}{9000 с}\approx 23,7\frac{м}{с} $.

Ответ. $85,2 \frac{км}{ч}$ или $23,7\frac{м}{с} $.

Линейная скорость

Определение линейной скорости относится к разделу физики о механике и подразделу о кинематике в рамках вопроса движения по окружности. В измерении скорости движения по окружности выделяют угловую скорость и линейную скорость.

Дадим определение линейной скорости.

Определение 2

Линейная скорость $V$ — это физическая величина, показывающая путь, который прошло тело за единицу времени.

Формула линейной скорости:

$V=\frac{S}{t}$, где $S$ — путь, $t$ — время, за которое точка прошла путь $S$.

Также существует иной вариант этой формулы:

$V=\frac{l}{t}$, где $l$ — путь, $t$ — время, за которое точка прошла по дуге $l$.

В некоторых учебниках линейная скорость также обозначается маленькой буквой $v$.

Есть ещё одна формула, по которой можно найти линейную скорость:

$v=\frac{2\pi R}{T}$.

$2\pi$ соответствует полной окружности (360 угловым градусам).

$\vec V$ направленена по касательной к тракетории.

Связь между линейной и угловой скоростями

Чтобы проследить связь между линейной и угловой скоростями, нужно дать определение угловой скорости.

Определение 3

Угловая скорость — это величина, которая равна отношению угла поворота отрезка, соединяющего точку с центром окружности, к промежутку времени, за который этот поворот произошёл.

Записывается эта формула следующим образом:

$\omega = \frac{\phi}{t}$, где $\phi$ — это угловое перемещение (или угол поворота, измеряется в радианах), $t$ — промежуток времени, за которое соврешено угловое перемещение.

В системе СИ угловая скорость измеряется в рад/с.

Угловую скорость также называют циклической частотой вращения, потому что при вращении твёрдого тела угловая скорость всех его точек одинакова.

Связь между $V$ и $\omega$: $V=\omega R$.

Эта формула выводится из определения модуля центростремительного ускорения.

Определение 4

Центростремительное ускорение $a$ — это ускорение точки при равномерном движении по окружности.

$a=\frac{V^2}{R}$ и $a=\omega^2 R$.

С помощью элементарных математических действий из этих двух формул выводится связь между $V$ и $\omega$.

Таким образом, в данной статье мы разобрали следующие понятия:

  • скорость;
  • линейная и угловая скорость;
  • связь между линейной и угловой скоростями.

Угловая скорость и ускорение. Связь между угловыми и линейными характеристиками движения

Скорости движения различных точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, различаются. Поэтому для описания вращения твердого тела вводят угловые величины, относящиеся ко всему телу в целом, а не к отдельным его точкам. Такими величинами являются угол поворота j, угловая скорость и угловое ускорение тела.

Вектор угловой скорости тела определяют в виде:

, (1.18)

где dt – промежуток времени, за который тело совершает поворот . Вектор совпадает по направлению с вектором .

Изменение вектора  со временем характеризуют вектором углового ускорения , который определяют в виде

. (1.19)

Направление вектора  совпадает с направлением приращения  вектора .

Единицей угловой скорости в СИ является радиан в секунду (рад/с), а единицей углового ускорения – радиан на секунду в квадрате (рад/с2).

Используя определения (1.18) и (1.19), получим выражения для проекций угловой скорости и углового ускорения wz и ez на ось вращения z, (рис. 1.7)

; . (1.20)

Рис. 1.7

Формулы для расчета w(t) и j(t). можно получить интегрированием (1.20)

j(t) = wzt + j0 ; wz(t) = ezt + wz0 . (1.21)

Выразим скорость  произвольной точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, через угловую скорость . Пусть положение точки М относительно некоторой точки О оси вращения характеризуется радиусом-вектором r (рис. 1.10). Разделим обе части формулы (1.17) на dt. Т. к. и , то искомое выражение примет вид

, (1.22)

Модуль вектора скорости в формуле (1.22)

u = wR, (1.23)

где R – радиус окружности, по которой движется точка М.



Найдем полное ускорение  точки М. Для этого продифференцируем (1.22) по времени

Þ . (1.24)

В данном случае ось вращения неподвижна, и векторы  и параллельны. Вектор  представляет собой тангенциальное ускорение . Вектор является нормальным ускорением . Модули этих ускорений равны:

at = eR; an = w2R.

Модуль полного ускорения

.

Для решения задач, в которых вращение тела является равномерным, используются также понятия периода и частоты вращения. Периодом вращения Т называют промежуток времени, в течение которого тело, вращаясь с постоянной угловой скоростью w, совершает один полный оборот, т. е. поворачивается на угол j = 2p. Частотой вращения п называют число оборотов, совершаемых телом за 1 с при равномерном вращении с угловой скоростью w. Связь между w и Т можно получитьиз формул (1.23), положив w0 = 0, wz = w, t = T, j0 = 0 и j = 2p

Þ . (1.25)

Число оборотов в единицу времени равно:


; или w = 2pn. (1.26)

Пример. Тело брошено под углом a к горизонту с начальной скоростью u0. Найти тангенциальное и нормальное ускорения в начале траектории (точке О), а также радиус кривизны в этой точке.

На брошенное тело действует только сила тяжести. Поэтому вектор полного ускорения равен вектору ускорения свободного падения, который разложим на две составляющих – тангенциальную и нормальную (рис. 1.11). Угол между векторами  и  равен a, т. к. направление вектора  перпендикулярно направлению вектора , а направление вектора  совпадает с направлением . Тогда модули векторов  и  равны

 
 

; .

Рис. 1.11

Радиус кривизны в начальной точке траектории О получим, переписав формулу (1.17) для модуля вектора  и выразив радиус R

Þ .

Определение линейной и угловой скорости

Показать стенограмму

Ее совет, это мама в туре P, убери это спокойствие. Хорошо, сегодня я собираюсь поговорить о линейной скорости в зависимости от угловой скорости. Итак, когда вы двигаетесь по кругу, вас привлекают вещи, которые меняются. Итак, первое, что похоже на движение, — это как движение по прямому пути, это то, что ваше положение меняется во времени.Так, например, если вы двигаетесь вправо, и мы считаем правильное направление положительным. По мере того, как вы двигаетесь вправо, ваша позиция становится все больше и больше в положительном направлении. Таким образом, скорость изменения вашего положения называется линейной скоростью или, по сути, скоростью изменения вашего положения относительно языка. В этом случае, когда вы двигаетесь по кругу, то же самое происходит и с вашей позицией. Предположим, что вы начинаете с точки а на единичном круге.А затем вы переходите к точке B. Итак, по мере того, как вы переходите от A к B, ваше расстояние или ваше положение в основном меняются, и это как бы говорит о том, что длина дуги вашего положения меняется. Поэтому, когда вы приближаетесь к точке B, вы двигаетесь дальше или по кругу. Таким образом, вы получаете большую длину дуги по мере продвижения к большему. Таким образом, другая вещь, которая меняется рядом с вашим положением, — это угол, который измеряется от положения до начала координат, например, если вы находитесь в разных положениях между a и b.Таким образом, вы испытаете разные меры углов. Скажем, угол альфа и угол тета. Если вы, например, находитесь в точке C и точке D. Итак, две вещи меняют ваше положение, которое находится на круге. Вот как быстро ваше положение меняется с близкой к нам скорости. И еще одна вещь, которая меняется — это угол, отсчитываемый от начала координат, и скорость его изменения называется угловой скоростью. Итак, в основном мы говорим об изменении позиции. Мы называем это одной. Мы называем это линейной скоростью.По сути, мы можем сказать, что Дуга связана с течением времени. А затем изменится центральный угол, который по сути является угловой скоростью. И это на самом деле можно показать с помощью дельта-тета во времени или дельта-альфа во времени, как бы мы это ни называли. Таким образом, в этом случае происходит преобразование линейной скорости в угловую. Как вы знаете, у нас есть формула для длины дуги. Связанная дуга — это в основном радиус, умноженный на угол тета. А это 40 пап. Мы измеряем тэту от 0. Хорошо, потому что мы измеряем тэту от 0.Также обратите внимание, что это должна быть жена в радианах, а не в градусах. Это действительно важно. Теперь, используя эту формулу, мы собираемся получить соотношение между линейной скоростью и угловой скоростью. Таким образом, угловую длину дуги можно назвать S равной r, умноженному на theta. Теперь, если я беру производную или смотрю на изменение связанной дуги и тета ri относительно времени, я могу фактически изменить это отношение на дельту S, равную R, умноженному на дельта-тета. Итак, в основном мы знаем, что радиус постоянен, когда мы движемся по окружности.Так что радиус не меняется. Так что единственное, что меняется. Один из них — ваше положение, длина дуги или центральный угол при движении. Таким образом, мы можем сказать, что изменение длины дуги или изменение положения равно радиусу, умноженному на изменение центрального угла в 3D. Теперь, если я разделю обе стороны на дельту t, то я могу сказать, что дельта S по сравнению с дельтой T равна r раз дельта тета по сравнению с дельтой t. Так что я бы получил те же определения, которые написал для Эрика наверху. Таким образом, дельта S по сравнению с дельтой T — это изменение положения относительно времени, которое я могу назвать одной линейной скоростью.И затем R умножает изменение угла относительно времени. Я могу назвать это омегой или угловой скоростью. Итак, я получил соотношение между линейной и угловой скоростью. Хорошо. Теперь давайте сделаем один пример и посмотрим, как он работает. Итак, мы рассматриваем объект, движущийся по единичной окружности, движущийся по единичной окружности. Итак, как мы знаем, единичный круг означает оценку DSP на единицу. Хорошо, и он движется вместе с деревом на метр в секунду. Итак, линейная скорость составляет три метра в секунду. И они спрашивают нас, как быстро меняется угол или центральный угол при вращении этого объекта.Так как мы получили V ii равняется омеге советского засорения трем метрам в секунду. А для радиуса, скажем, радиус составляет один метр на один метр умноженный на омега. По мере того, как я упрощаю единицы, я получу омега-равное дерево. Один за секунду. Так что в основном единица измерения — только секунда. Общее в стандартном способе обозначения единицы для омеги — это в основном радиан в секунду, но будьте осторожны, радиан — это не единица, это просто способ измерения угловых градусов и радиантных единиц R-ноль. Итак, когда вы видите, что угловая скорость равна некоторому числу радиан в секунду.Фактическая единица угловой скорости — просто секунда. Итак, как вы видите, мы получили омегу или угловую скорость. Точно так же, если дана омега и вы знаете радиус, вы можете найти линейную скорость.

.

Угловое движение — взаимосвязь между угловым и линейным движением

    • БЕСПЛАТНАЯ ЗАПИСЬ КЛАСС
    • КОНКУРСНЫЕ ЭКЗАМЕНА
      • BNAT
      • Классы
        • Класс 1-3
        • Класс 4-5
        • Класс 6-10
        • Класс 110003 CBSE
          • Книги NCERT
            • Книги NCERT для класса 5
            • Книги NCERT, класс 6
            • Книги NCERT для класса 7
            • Книги NCERT для класса 8
            • Книги NCERT для класса 9
            • Книги NCERT для класса 10
            • NCERT Книги для класса 11
            • NCERT Книги для класса 12
          • NCERT Exemplar
            • NCERT Exemplar Class 8
            • NCERT Exemplar Class 9
            • NCERT Exemplar Class 10
            • NCERT Exemplar Class 11
            • 9plar

            • RS Aggarwal
              • Решения RS Aggarwal Class 12
              • RS Aggarwal Class 11 Solutions
              • RS Aggarwal Решения класса 10
              • Решения RS Aggarwal класса 9
              • Решения RS Aggarwal класса 8
              • Решения RS Aggarwal класса 7
              • Решения RS Aggarwal класса 6
            • RD Sharma
              • RD Sharma Class 6 Решения
              • RD Sharma Class 7 Решения
              • Решения RD Sharma класса 8
              • Решения RD Sharma класса 9
              • Решения RD Sharma класса 10
              • Решения RD Sharma класса 11
              • Решения RD Sharma Class 12
            • PHYSICS
              • Механика
              • Оптика
              • Термодинамика
              • Электромагнетизм
            • ХИМИЯ
              • Органическая химия
              • Неорганическая химия
              • Периодическая таблица
            • MATHS
              • Статистика
              • 9000 Pro Числа
              • Числа
              • 9000 Pro Числа Тр Игонометрические функции
              • Взаимосвязи и функции
              • Последовательности и серии
              • Таблицы умножения
              • Детерминанты и матрицы
              • Прибыль и убытки
              • Полиномиальные уравнения
              • Деление фракций
            • Microology
            • 0003000

          • ФОРМУЛЫ
            • Математические формулы
            • Алгебраические формулы
            • Тригонометрические формулы
            • Геометрические формулы

    .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *