Какие значения может принимать модуль вектора: Как вычислить модуль вектора 🚩 как вычесть координаты векторов 🚩 Математика

Содержание

Модуль силы, скорости, импульса. Что это?!

В статье разберемся, что такое модуль. Модуль силы, скорости, импульса, что это всё? Давайте разбираться!

Абсолютная величина, известная так же, как модуль, это всегда некое неотрицательное число, чье определение всегда зависит от типа числа. Символически модуль обозначается как: | x |.

Сила и модуль силы

В процессе изучения физики приходится сталкиваться с различными явлениями, рассчитывать скорость, силу и многие другие параметры. Не менее важно понять какими методами, и в каких единицах делаются расчеты по характеристикам этих явлений. Одна из физических величин это сила. Сила представляет собой величину, которая способна показать меру воздействия на тело посредством другого тела или со стороны полей. Взаимодействие образуется за счет тех полей, которые создаются самими телами в случае контакта. Всего различают четыре вида взаимодействия: слабое, сильное, гравитационное, электромагнитное. Сила обозначается буквой F от латинского слова fortis, что в переводе означает сильный.

Что такое модуль силы?

Сила является векторной величиной, это значит, что она обладает, так как направлением, так и модулем. Не так часто встречается случай, когда на тело воздействует одна единственная величина, чаще всего их несколько. В таком случае речь о равнодействующей силы, которая формируется за счет суммирования всех сил, влияющие на тело одновременно. Стоит отметить, что параметр равнодействующая сила является искусственным и создан только для удобства проведения расчетов.

Но что же это модуль силы? Модуль является абсолютной величиной. Это такая величина, которая отражается числом с плюсом во всех случаях. Другими словами характеристики какого-то процесса или явления выражены конкретными числами. Каждая сила характеризуется направлением и величиной, эта величина и есть модуль, вот что это модуль силы.

Модуль равнодействующих двух сил определяется по формулам:

  • F=F1 + F2 (в случае сил с одинаковым направлением)
  • F=F1 — F2 (силы с разным направлением)

Для модуля равнодействующих нескольких сил все намного сложнее. Для начала надо вводить систему координат, записать и высчитать проекции сил, потом использовать теорему Пифагоры.

Исаак Ньютон внес серьезный вклад в работу над различными видами сил. В связи с этим в качестве единицы измерения силы применяется Н (Ньютон).

Что это модуль скорости?

Каждое тело в процессе перемещения развивает энную скорость, которая характеризуется двумя параметрами: направление и модуль. Что же это модуль скорости? Это число, обозначающее, насколько быстро перемещается тело. Сама скорость является вектором. У нее есть все свойства вектора перемещения, так как выражается посредством него и обладает всеми свойствами данного вектора.

Для определения модуля скорости необходимо учитывать закон движения со всеми своими правилами. Вычисление модуля скорости может осуществляться посредством графика движения. Если недостаточно понятно, что это модуль скорости тела можно использовать одно из понятий: скалярная величина и алгебраическая скорость. Скорость как вектор это величина с направлением и численным значением, при этих условиях модуль скорости тела это не что иное, как длина этого вектора.

Чаще всего речь о прямолинейном движении в рамках координат (x;t). В таком случае для определения данного параметра подойдет формула:

v = S/t = (x — x0)/t.

Это значит, что необходимо нужно отнять начальную координату от конечной координаты. Полученный результат нужно разделить на то время, за которое имело место изменение координаты.

Пример определения модуля скорости одного тела относительно другого на основе задачи: два тела перемещаются со скоростью 8 и 6 м/с. Направление их движения перпендикулярное друг другу. Поэтапное решение осуществляется таким образом:

  1. Вычисляется скорость v21 на базе закона сложения скоростей v2 = v21 + v1, а значит v21 = v2 – v1.
  2. Определяется модуль скорости тела согласно теореме Пифагора.

Модуль импульса и модуль оси

Импульс представляет собой векторную величину, чье направление идентично направлению вектора скорости. Он может поменяться только в том случае, если произойдет изменение скорости под воздействием какой-то силы. Но что это модуль импульса и как он рассчитывается? Модуль импульса определяется согласно произведению массы тела на скорость. Его можно легко вычислить, если есть данные по скорости и по массе.

Что это модуль оси? Разъяснение данного понятия, может быть сделана на основе определения понятия ось. Ось представляет собой прямую с заданным направлением. В каком-то роде можно сказать, что это нечто иное, как вектор с величиной модуля, которая тянется к бесконечности. Это и есть модуль оси. Для обозначения оси можно использовать любую букву: t, Z, Y, X и т.д. На ней определяется точка О, известная как начало отсчета. Все расстояния до других точек определяются относительно нее. Для того чтобы сделать проекцию точки на ось, нужно провести перпендикулярную прямую через эту точку на саму ось. В таком случае проекция этой точки, сама точка.


Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:


1. Определение вектора. Длина вектора. Коллинеарность, компланарность векторов.

Вектором
называется направленный отрезок.  
 Длиной
или модулем вектора называется длина
соответствующего направленного отрезка.
       

Модуль
вектора a
обозначается
.
Векторa
называется единичным, если
.
Векторы называются коллинеарными, если
они параллельны одной прямой. Векторы
называются компланарными, если они
параллельны одной плоскости.

2. Умножение вектора на число. Свойства операции.

Умножение
вектора
на
число,
даёт противоположно направленный вектор
в длиной враз
больше. Умножение вектора на число в
координатной форме производится
умножением всех координат на это число:

Исходя
из определения получается выражение
для модуля вектора, умноженного на
число:

Аналогично
как и числами, операции сложение вектора
с самим с собой можно записать через
умножение на число:

А
вычитание векторов можно переписать
через сложение и умножение:

Исходя
из того, что умножение на
не
меняет длины вектора, а меняет только
направление и учитывая определение
вектора, получаем:

3. Сложение векторов, вычитание векторов.

В
координатном представлении вектор
суммы получается суммированием
соответствующих координат слагаемых:

Для
геометрического построения вектора
суммы
используют
различные правила (методы), однако они
все дают одинаковый результат.
Использование того или иного правила
обосновывается решаемой задачей.

Правило
треугольника

Правило
треугольника наиболее естественно
следует из понимания вектора как
переноса. Ясно, что результат
последовательного применения двух
переносов
инекоторой
точки будет тем же, что применение сразу
одного переноса,
соответствующего этому правилу. Для
сложения двух векторовипо
правилутреугольника
оба эти вектора переносятся параллельно
самим себе так, чтобы начало одного из
них совпадало с концом другого. Тогда
вектор суммы задаётся третьей стороной
образовавшегося треугольника, причём
его начало совпадает с началом первого
вектора, а конец с концом второго вектора.

Это
правило прямо и естественно обобщается
для сложения любого количества векторов,
переходя в правило
ломаной
:

Правило
многоугольника

Начало
второго вектора совмещается с концом
первого, начало третьего — с концом
второго и так далее, сумма же
векторов
есть вектор, с началом, совпадающим с
началом первого, и концом, совпадающим
с концом-го
(то есть изображается направленным
отрезком, замыкающим ломаную). Так же
называется правилом ломаной.

Правило
параллелограмма

Для
сложения двух векторов
ипо
правилупараллелограмма
оба эти векторы переносятся параллельно
самим себе так, чтобы их начала совпадали.
Тогда вектор суммы задаётся диагональю
построенного на них параллелограмма,
исходящей из их общего начала. (Легко
видеть, что эта диагональ совпадает с
третьей стороной треугольника при
использовании правила треугольника).

Правило
параллелограмма особенно удобно, когда
есть потребность изобразить вектор
суммы сразу же приложенным к той же
точке, к которой приложены оба слагаемых —
то есть изобразить все три вектора
имеющими общее начало.

Модуль
суммы векторов

Модуль
суммы двух векторов

можно вычислить, использую теорему
косинусов
:

,
где

косинус угла между векторамии.

Если
векторы изображены в соответствии с
правилом треугольника и берется угол
по рисунку — между сторонами
треугольника — что не совпадает с
обычным определением угла между
векторами, а значит и с углом в приведенной
формуле, то последний член приобретает
знак минус, что соответствует теореме
косинусов в ее прямой формулировке.

Для
суммы произвольного количества векторов

применима аналогичная формула, в которой
членов с косинусом больше: по одному
такому члену существует для каждой пары
векторов из суммируемого набора.
Например, для трех векторов формула
выглядит так:

Вычитание
векторов

Два
вектора
и
вектор их разности

Для
получения разности в координатной форме
надо вычесть соответствующие координаты
векторов:

Для
получения вектора разности
начала
векторов соединяются и началом векторабудет
конец,
а концом — конец.
Если записать, используя точки векторов,
то.

Модуль
разности векторов

Три
вектора
,
как и при сложении, образуют треугольник,
и выражение для модуля разности получается
аналогичным:

где

косинус угла между векторамии

Отличие
от формулы модуля суммы в знаке перед
косинусом, при этом надо хорошо следить,
какой именно угол берется (вариант
формулы модуля суммы с углом между
сторонами треугольника при суммировании
по правилу треугольника по виду не
отличается от данной формулы для модуля
разности, но надо иметь в виду, что для
тут берутся разные углы: в случае суммы
берётся угол, когда вектор
переносится
к концу вектора,
когда же ищется модель разности, берётся
угол между векторами, приложенными к
одной точке; выражение для модуля суммы
с использованием того же угла, что в
данном выражении для модуля разности,
отличается знаком перед косинусом).

Свойства операций над векторами




⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 3Следующая ⇒

Описанным выше операциям над векторами присущи свойства, некоторые из которых очевидны, а прочие можно обосновать геометрически.

Свойства коммутативности и ассоциативности дают возможность складывать векторы в произвольном порядке.

Перечисленные свойства операций позволяют осуществлять необходимые преобразования векторно-числовых выражений аналогично привычным числовым. Рассмотрим это на примере.

 

 

2. Правые и левые системы координат.

Декартовы системы координат делятся на два вида: правую и левую.

Рассмотрим декартовы системы координат на плоскости (см. рис. 3).

Рис. 3                                     

 

Рассмотрим декартовы системы координат в пространстве (см. рис. 4).

Рис.4

 

 

Нахождение длины вектора по координатам.

Длину вектора будем обозначать или а. Аналогичное обозначение имеет модуль числа, и длину вектора часто называют модулем вектора.

Начнем с нахождения длины вектора на плоскости по координатам.

Введем на плоскости прямоугольную декартову систему координат Oxy. Пусть в ней задан вектор и он имеет координаты . Получим формулу, позволяющую находить длину вектора через координаты и .

Отложим от начала координат (от точки О) вектор . Обозначим проекции точки А на координатные оси как и соответственно и рассмотрим прямоугольник с диагональю ОА.

В силу теоремы Пифагора справедливо равенство , откуда . Из определения координат вектора в прямоугольной системе координат мы можем утверждать, что и , а по построению длина ОА равна длине вектора , следовательно, .

Таким образом, формула для нахождения длины вектора по его координатам на плоскости имеет вид .

 

3. Длина, проекции и направляющие косинусы вектора.

В дальнейшем будем рассматривать правую декартову систему координат. Единичные вектора вдоль осей Ox, Oy и Oz образуют систему единичных (или базисных) векторов. Любой вектор, имеющий начало в точке O, можно представить как сумму , числа (ax, ay, az) — это проекции вектора на оси координат (см. рис.5).


рис.5

Длина (или модуль) вектора определяется формулой и обозначается а или | |.

Если вектор представлен в виде разложения по координатным векторам , то его длина вычисляется по этой же формуле , так как в этом случае коэффициенты и являются координатами вектора в заданной системе координат.

 

Рассмотрим пример.

Найдите длину вектора , заданного в декартовой системе координат.

 

 

 

 

 

Нахождение длины вектора по теореме косинусов.

Проекцией вектора на ось называется скалярная величина, которая определяется отрезком, отсекаемым перпендикулярами, опущенными из начала и конца вектора на эту ось. Проекция вектора считается положительной (+), если направление ее совпадает с положительным направлением оси, и отрицательной (-), если проекция направлена в противоположную сторону (см. рис.6).

рис.6

Направляющими косинусами вектора называются косинусы углов между вектором и положительными направлениями осей Ox, Oy и Oz соответственно.

Любая точка пространства с координатами (x, y, z) может быть задана своим радиус-вектором   

Координаты (x, y, z) это проекции вектора на оси координат.


Основные понятия статики

Статикой называется раздел механики, в котором излагается общее учение о силах и изучается условия равновесия материальных тел, находящихся под действием сил.

Твердое тело . В статике все тела считаются абсолютно твердыми. То есть предполагается, что эти тела не де­формируются, не изменяют свою форму и объем, какое бы действие на них не было оказано. Материальной точкой будет называться абсолютно твердое тело, размерами которого можно пренебречь.

Исследованием движения нетвердых тел – упругих, пластичных, жидких, газообразных, занимаются другие науки (сопротивление мате­риалов, теория упругости, гидродинамика и т.д.).



Под равновесием будем понимать состояния покоя тела по отношению к другим материальным телам.

Основные понятия:

1. Величина, являющаяся количественной мерой механического взаимодействия материальных тел, называется в механике силой.

В Международной системе единиц (СИ) силу измеряют в ньютонах (Н), килоньютонах (кН).

 

 

 

Например, будем прикладывать к стулу одну и ту же по модулю силу F. При приложении силы сверху вниз стул остается в состоянии покоя; при положении силы снизу вверх — стул поднимается; изменим направление нагружения, приложим силу горизонтально к спинке стула — стул опрокинется. Так как во всех случаях направление и место приложения силы различны, то и результат действия силы на стул разный, несмотря на то, что модуль силы F во всех случаях одинаков.

Силу, как и другие векторные величины, изображают в виде направленного отрезка со стрелкой на конце, указывающей его направление.

Прямая LM, вдоль которой направлена сила, называется линией действия силы.

Понятия «линия действия» и «направление» близки, но не тождественны. Очевидно, что по линии действия можно определить направление с точностью до противоположного. Аналогично связаны понятия «модуль» и «величина» для вектора.

В тексте вектор силы обозначается ла­тинскими буквами и др., с черточками над ними. Если черточки нет, значит у силы известна только ее чис­ленная величина — модуль.

 

Предполагается, что действие силы на тело не изменится, если ее перене­сти по линии действия в любую точку тела (конечно – твердого тела). Поэтому вектор силы называют скользящим вектором. Если силу перенести в точку, не расположенную на этой линии, действие ее на тело будет совсем другим (пример — стул, см. выше).

2. Совокупность сил, действующих на какое-нибудь твердое тело, будем называть системой сил.

3. Тело, не скрепленное с другими телами, которому из данного положения можно сообщить любое перемещение в пространстве, на­зывается свободным.(воздушный шар)

4. Если одну систему сил, действующих на свободное твердое тело, можно заменить другой системой, не изменяя при этом состоя­ния покоя или движения, в котором находится тело, то такие две системы сил называются эквивалентными.

Например, если системы сил, изображенных на рис. 9.1, а и рис. 9.1, б, уравновешены, то эти две системы сил будут эквивалентны друг другу.

Рис.9.1. Система сил:

а – заданная система сил; б – эквивалентная система сил

 

 

5. Система сил, под действием которой свободное твердое тело может находиться в покое или движется равномерно и прямолинейно, называется уравновешенной

6. Если данная система сил эквивалентна одной силе, то эта сила называется равнодействующей данной системы сил. Таким образом, равнодействующая — это сила, которая одна заменяет действие данной системы сил на твердое тело. Так как система сил F 1 и F 2 эквивалентна одной силе R (рис. 9.1, б), то сила R называется равнодействующей данной системы сил. Силы F1 и F 2 в свою очередь могут называться составляющими силы R.

7. Сила, равная равнодействующей по модулю, прямо противополож­ная ей по направлению и действующая вдоль той же прямой, назы­вается уравновешивающей силой.

8. Силы, действующие на твердое тело, можно разделить на внешние и внутренние. Внешними называются силы, действующие на частицы данного тела со стороны других материальных тел. Внутренними называются силы, с которыми частицы данного тела действуют друг на друга.

9. Сила, приложенная к телу в какой-нибудь одной его точке, называется сосредоточенной. Силы, действующие на все точки дан­ного объема или данной части поверхности тела, называются распре­деленными.

Понятие о сосредоточенной силе является условным, так как практически приложить силу к телу в одной точке нельзя. Силы, которые мы в механике рассматриваем как сосредоточенные, пред­ставляют собою по существу равнодействующие некоторых систем распределенных сил.

В частности, обычно рассматриваемая в механике сила тяжести, действующая на данное твердое тело, представляет собою равно­действующую сил тяжести его частиц. Линия действия этой равно­действующей проходит через точку, называемую центром тяжести тела.

Лекция Пт 24,01,2020

 

 

 

 


Этот принцип утверждает, что в природе не существует односторонних явлений. На рис. 13.1 изображена балка, опирающаяся на стены концами А и В. Для выявления сил действия и противодействия отделим балку от стен. Тогда силы действия балки на стену выражаются силами DA и DB, приложенными к стенам, а силы противодействия — силами RA и RB, приложенными к балке, которые в дальнейшем будем называть реакциями.

Рис. 13.1. Опирание балки на опоры:

а – схема загружения балки; б – силы действия балки на

опоры и противодействия со стороны опор на балку


Аксиомы статики.

Все теоремы и уравнения статики выво­дятся из нескольких исходных положений, принимаемых без матема­тических доказательств и называемых аксиомами или принципами статики. Аксиомы статики представляют собою результат обобщений многочисленных опытов и наблюдений над равновесием и движением тел, неоднократно подтвержденных практикой. Часть из этих аксиом является следствиями основных законов механики, с которыми мы познакомимся в динамике.

Аксиома 1. (см. картинку)Если на свободное абсолютно твердое тело действуют две силы, то тело может находиться в равновесии тогда и только тогда, когда эти силы равны по модулю (F1 = F2) и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны (рис. 10).

 Рис.10

Аксиома 1 определяет простейшую уравновешенную систему сил, так как опыт показывает, что свободное тело, на которое действует только одна сила, находиться в равнове­сии не может.

Аксиома 2. Действие данной си­стемы, сил на абсолютно твердое тело не изменится, если к ней прибавить или от нее отнять уравновешенную систему сил.

Эта аксиома устанавливает, что две системы сил, отличающиеся на уравнове­шенную систему, эквивалентны друг другу.

Следствие из 1-й и 2-й аксиом. Действие силы на абсо­лютно твердое тело не изменится, если перенести точку при­ложения силы вдоль ее линии действия в любую другую точку тела.

рис.11

В самом деле, пусть на твердое тело действует приложенная в точке А сила (рис.11). Возьмем на линии действия этой силы произвольную точку В и приложим к ней две уравновешенные силы и , такие, что , . От этого действие силы на тело не изменится. Но силы и со­гласно аксиоме 1 также образуют уравновешенную систему, которая может быть отброшена. В резуль­тате на тело. будет действовать только одна сила , равная , но приложен­ная в точке В.

Таким образом, вектор, изобра­жающий силу , можно считать приложенным в любой точке на линии действия силы (такой вектор называется скользящим).

Аксиома 3 (аксиома параллелограмма сил). Две силы, приложенные к телу в одной точке, имеют равнодействующую, приложенную в той же точке и изображаемую диагональю па­раллелограмма, построенного на этих силах, как на сторонах.

Вектор , равный диагонали параллелограмма, построенного на векторах и (рис.12), называется

геометрической суммой векторов и : .

рис.12

Величина равнодействующей .

Конечно, Такое равен­ство будет соблюдаться только при условии, что эти силы направлены по одной пря­мой в одну сторону. Если же векторы сил окажутся перпендикулярными, то

Следовательно, аксиому 3 можно еще формулировать так: две силы, приложенные к телу в одной точке, имеют равнодействую­щую, равную геометрической (векторной) сумме этих сил и прило­женную в той же точке.

Аксиома 4 (принцип противодействия). При всяком действии одного материального тела на другое имеет место такое же по величине, но проти­воположное по направлению противодействие.

Закон о равенстве действия и противодей­ствия является одним из основных законов ме­ханики. Из него следует, что если тело А дей­ствует на тело В с силой , то одновременно тело В действует на тело А с такой же по модулю и направленной вдоль той же прямой, но противоположную сторону силой (рис. 13). Однако силы и не образуют урав­новешенной системы сил, так как они приложены к разным телам. Эта аксиома соответствует третьему закону Ньютона: действие всегда равно и противоположно противодействию. При этом необходимо помнить, что в аксиоме 4 рассматривается случай, когда силы приложены к разным телам и в этом случае система сил не является уравновешенной в отличие от случая действия сил в аксиоме 2.

рис.13

Аксиома 5 (принцип отвердевания). Равновесие изме­няемого (деформируемого) тела, находящегося под действием дан­ной системы сил, не нарушится, если тело считать отвердевшим (абсолютно твердым). Из принципа отвердения следует, что условия, необходимые и достаточные для равновесия абсолютно твердого тела, необходимы, но не достаточны для равновесия деформируемого тела, по форме и размерам тождественного с данным.

Высказанное в этой аксиоме утверждение очевидно. Например, ясно, что равновесие цепи не нарушится, если ее звенья считать сва­ренными друг с другом и т. д.

Аксиома 6 (аксиома связей).Всякое несвободное тело можно рассматривать как свободное, если механическое действие связей заменить реакциями этих связей (пояснения к этой аксиоме в следующем параграфе).

Приведенные принципы и аксиомы положены в основу методов решения задач статики. Все они широко используются в инженерных расчетах.



Рекомендуемые страницы:

Модуль числа, определение и свойства

Определение модуля числа

Алгебра дает четкое определения модуля числа. Модуль в математике — это расстояние от начала отсчёта до точки координатной прямой, соответствующей этому числу.

Если мы возьмем некоторое число «a» и изобразим его на координатной прямой точкой «A» — расстояние от точки «A» до начала отсчёта (то есть до нуля, длина отрезка «OA») будет называться модулем числа «a».

Знак модуля: |a| = OA

Разберем на примере:

Точка «В», которая соответствует числу «−3», находится на расстоянии 3 единичных отрезков от точки 0 (то есть от начала отсчёта). То есть длина отрезка «OB» равна 3 единицам.

Число 3 (длина отрезка «OB») называют модулем числа «−3».

Обозначение модуля: |−3| = 3

Читают символы выше следующим образом: «модуль числа минус три равен трем».

Точка «С», которая соответствует числу «+4», находится на расстоянии четырех единичных отрезков от начала отсчёта, то есть длина отрезка «OС» равна четырем единицам.

Число 4 называют модулем числа «+4» и обозначают так: |+4| = 4.

Также можно опустить плюс и записать значение, как |4| = 4.

Свойства модуля числа

Давайте рассмотрим семь основных свойств модуля. Независимо от того, в какой класс перешел ребенок — эти правила пригодятся всегда.

1. Модуль числа — это расстояние, а расстояние не может быть отрицательным. Поэтому и модуль числа не бывает отрицательным:

2. Модуль положительного числа равен самому числу.

3. Модуль отрицательного числа равен противоположному числу.

  • |−a| = a, если a < 0

4. Модуль нуля равен нулю.

5. Противоположные числа имеют равные модули.

6. Модуль произведения равен произведению модулей этих чисел.

  • |a b| = |a| |b|, когда

a·b 0

или

−(a·b), когда a·b<0

7. Модуль частного равен частному от деления модуля числа числителя на модуль числа знаменателя: 

Геометрическая интерпретация модуля

Как мы уже знаем, модуль числа — это расстояние от нуля до данного числа. То есть расстояние от точки −5 до нуля равно 5.

Нарисуем числовую прямую и отобразим это на ней.

Найти вектор скорости и ускорения точки, примеры решений

В очередной раз меня попросили решить пару задачек по физике, и я вдруг обнаружил, что не могу решить их с ходу. Немного погуглив, я обнаружил, что сайты в топе выдачи содержат сканы одного и того же учебника и не описывают конкретных примеров решений задачи о том, как найти вектор скорости и ускорения материальной точки. По-этому я решил поделиться с миром примером своего решения.

Траектория движения материальной точки через радиус-вектор

Подзабыв этот раздел математики, в моей памяти уравнения движения материальной точки всегда представлялись при помощи знакомой всем нам зависимости y(x) , и взглянув на текст задачи, я немного опешил когда увидел векторы. Оказалось, что существует представление траектории материальной точки при помощи радиус-вектора — вектора, задающего положение точки в пространстве относительно некоторой заранее фиксированной точки, называемой началом координат.

 

Формула траектория движения материальной точки помимо радиус-вектора описывается так же ортами — единичными векторами i, j , k в нашем случае совпадающими с осями системы координат. И, наконец, рассмотрим пример уравнения траектории материальной точки (в двумерном пространстве):

Что интересного в данном примере? Траектория движения точки задается синусами и косинусами, как вы думаете, как будет выглядеть график в всем нам знакомом представлении y(x) ? «Наверное какой-то жуткий», подумали вы, но все не так сложно как кажется! Попробуем построить траекторию движения материальной точки y(x), если она движется по представленному выше закону:

Здесь я заметил квадрат косинуса, если вы в каком-нибудь примере видите квадрат синуса или косинуса, это значит что нужно применять основное тригонометрическое тождество, что я и сделал (вторая формула) и преобразовал формулу координаты y, чтобы вместо синуса подставить в нее формулу изменения x:

В итоге жуткий закон движения точки оказался обычной параболой, ветви которой направлены вниз. Надеюсь, вы поняли примерный алгоритм построения зависимости y(x) из представления движения через радиус-вектор. Теперь перейдем к нашему главному вопросу: как же найти вектор скорости и ускорения материальной точки, а так же их модули.

Вектор скорости материальной точки

Всем известно, что скорость материальной точки — это величина пройденного пути точкой за единицу времени, то есть производная от формулы закона движения. Чтобы найти вектор скорости нужно взять производную по времени. Давайте рассмотрим конкретный пример нахождения вектора скорости.

Пример нахождения вектора скорости

Имеем закон перемещения материальной точки:

Теперь нужно взять производную от этого многочлена, если вы забыли как это делается, то вот вам таблица производных различных функций. В итоге вектор скорости будет иметь следующий вид:

Все оказалось проще, чем вы думали, теперь найдем вектор ускорения материальной точки по тому же самому закону, представленному выше.

Как найти вектор ускорения материальной точки

Вектор ускорения точки это векторная величина, характеризующая изменение с течением времени модуля и направления скорости точки. Чтобы найти вектор ускорения материальной точки в нашем примере, нужно взять производную, но уже от формулы вектора скорости, представленной чуть выше:

Модуль вектора скорости точки

Теперь найдем модуль вектора скорости материальной точки. Как вы знаете из 9-го класса, модуль вектора — это его длина, в прямоугольных декартовых координатах равна квадратному корню из суммы квадратов его координат. И откуда же из полученного нами выше вектора скорости взять его координаты спросите вы? Все очень просто:

Теперь достаточно только подставить время, указанное в задаче и получить конкретное числовое значение.

Модуль вектора ускорения

Как вы поняли из написанного выше (и из 9-го класса), нахождение модуля вектора ускорения происходит тем же образом, что и модуля вектора скорости: извлекаем корень квадратный из суммы квадратов координат вектора, все просто! Ну и вот вам, конечно же, пример:

Как вы видите, ускорение материальной точки по заданному выше закону не зависит от времени и имеет постоянную величину и направление.

Еще примеры решений задачи нахождения вектора скорости и ускорения

А вот тут вы можете найти примеры решения и других задач по физике на тему «механика твердых тел». А для тех, кто не совсем понял как найти вектор скорости и ускорения, вот вам еще парочка примеров из сети без всяких лишних объяснений, надеюсь, они вам помогут.

Если у вас возникли какие-нибудь вопросы, вы можете задать их в комментариях.

Реферат Модуль вектора

скачать

Реферат на тему:


План:

    Введение

  • 1 Определения
    • 1.1 Алгебраический подход
    • 1.2 Геометрический подход
      • 1.2.1 Свободные, скользящие и фиксированные векторы
    • 1.3 Вектор как последовательность
  • 2 Обозначения
  • 3 Связанные определения
  • 4 Свойства
  • 5 Линейные операции над векторами
    • 5.1 Сложение векторов
      • 5.1.1 Сложение коллинеарных скользящих векторов
    • 5.2 Произведение вектора на число
    • 5.3 Скалярное произведение
    • 5.4 Векторное произведение
    • 5.5 Смешанное произведение
  • 6 История
  • Литература


Введение

Вектор

Вектор — понятие, определяемое в разных разделах математики различно.


1. Определения

1.1. Алгебраический подход

В линейной алгебре вектор — это элемент векторного пространства (или иначе: линейного пространства). Векторы можно складывать и умножать на число. Вектор также можно представить в виде линейной комбинации других векторов. Базис — это линейно независимая совокупность векторов, которая порождает всё пространство. В конечномерном пространстве существует конечный базис, и тогда любой вектор пространства может быть единственным образом представлен в виде разложения вида

где — это базис, а — координаты вектора в заданном базисе.


1.2. Геометрический подход

Понятие вектор в геометрии отлично от определяемого в алгебре. Различают понятие свободного и связанного (приложенного, закреплённого) вектора.

  • Связанный вектор или направленный отрезок — упорядоченная пара точек евклидова пространства.
  • Свободный вектор — класс эквивалентности направленных отрезков.

При этом два направленных отрезка считаются эквивалентными, если они:

  1. коллинеарны
  2. равны по длине
  3. одинаково направлены (сонаправлены)

Существует естественный изоморфизм свободных векторов и параллельных переносов пространства (каждый перенос взаимно однозначно соответствует какому-то свободному вектору). На этом также строят геометрическое определение свободного вектора, просто отождествляя его с соответственным переносом.

Большую роль играют векторы в изучении бесконечно малых трансформаций пространства.


1.2.1. Свободные, скользящие и фиксированные векторы

Иногда вместо того, чтобы рассматривать в качестве векторов множество всех равных направленных отрезков, берут только некоторую модификацию этого множества (фактормножество). Так, говорят о «свободных» (когда отождествляются все равные по длине и направлению направленные отрезки, считаясь полностью равными или одним и тем же вектором), «скользящих» (отождествляются между собой все направленные отрезки, равные в смысле свободных векторов, начала и концы которых расположены на одной прямой) и «фиксированных» векторах (по сути дела, просто о направленных отрезках, когда разное начало означает уже неравенство векторов).

Определение. Говорят, что свободные векторы и равны, если найдутся точки E и F такие, что четырёхугольники ABFE и CDFE — параллелограммы.

  • Замечание. «Ухищрение» (введение дополнительных точек) в определении равенства касается, прежде всего, случая, когда точки A,B,C,D располагаются на одной прямой. В противном случае определение выглядит проще:

Определение. Говорят, что свободные векторы и , не лежащие на одной прямой, равны, если четырёхугольник ABDC — параллелограмм.

Определение. Говорят, что скользящие векторы и равны, если

  • точки A,B,C,D располагаются на одной прямой,
  • векторы и равны между собой как свободные векторы.

Неформально говоря, скользящему вектору разрешено двигаться вдоль его прямой без изменения величины и направления.

  • Замечание. Скользящие векторы особо употребимы в механике. Простейший пример скользящего вектора в механике — сила. Перенос такого начала вектора вдоль прямой, на которой он лежит, не меняет момента силы ни относительно никакой точки; перенос же его на другую прямую, даже если не менять величины и направления вектора, может вызвать изменение его момента (скорее даже почти всегда вызовет): поэтому нельзя рассматривать силу как свободный вектор.

Определение. Говорят, что фиксированные векторы и равны, если попарно совпадают точки A и C, B и D. Вектором в простейшем случае называется направленный отрезок, а в других случаях различные векторы — это разные классы эквивалентности направленных отрезков, определяемые неким конкретным отношением эквивалентности. Причем отношение эквивалентности может быть разным, определяя тип вектора («свободный», «фиксированный» итд). Проще говоря, внутри класса эквивалентности все входящие в него направленные отрезки рассматриваются как совершенно равные, и каждый может равно представлять весь класс.


1.3. Вектор как последовательность

Вектор — упорядоченная пара чисел (последовательность, кортеж) однородных элементов. Это наиболее общее определение в том смысле, что может быть не задано обычных векторных операций вообще, их может быть меньше, или они могут не удовлетворять обычным аксиомам линейного пространства. Именно в таком виде вектор понимается в программировании, где, как правило, обозначается именем-идентификатором с квадратными скобками (например, object[]). Перечень свойств моделирует принятое в теории систем определение класса и состояния объекта. Так типы элементов вектора определяют класс объекта, а значения элементов — его состояние. Впрочем, вероятно, это употребление термина уже выходит за рамки обычно принятого в алгебре, да и в математике вообще.

Многие математические объекты (например матрицы, тензоры, функции и т. д.), в том числе обладающие структурой более общей, чем счётный или конечный упорядоченный список, удовлетворяют аксиомам векторного пространства, то есть являются с точки зрения алгебры векторами.


2. Обозначения

Вектор, представленный набором n элементов (компонент) допустимо обозначить следующим способами:

.

Для того, чтобы подчеркнуть, что это вектор (а не скаляр), используют черту сверху, стрелочку сверху, жирный или готический шрифт:

Сложение векторов почти всегда обозначается знаком плюс:

.

Умножение на число — просто написанием рядом, без специального знака, например:

,

причём число при этом обычно пишут слева.

Умножение на матрицу также обозначают написанием рядом, без специального знака, но здесь перестановка сомножителей в общем случае влияет на результат. Действие линейного оператора на вектор также обозначается написанием оператора слева, без специального знака.

Длина (модуль) вектора  — скаляр, равный арифметическому квадратному корню из суммы квадратов координат (компонент) вектора. Обозначается или просто a.


3. Связанные определения

  • Вектор, начало которого совпадает с его концом, называют нулевым:
  • Вектор называют противоположным вектору .
  • Длиной вектора, или модулем вектора, называют длину соответствующего направленного отрезка: .


4. Свойства

Ортогональность
Векторы являются ортогональными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Часто вместо этого термина употребляют термин «перпендикулярность», однако следует учитывать, что нулевой вектор ортогонален любому вектору, но понятие перпендекулярности для него не определено, поскольку не определён угол между нулевым и другим вектором.

Пример:
Даны два вектора и . Эти векторы будут ортогональными, если выражение x1x2 + y1y2 = 0.

Коллинеарность
Векторы являются коллинеарными тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулю.

Часто вместо этого термина употребляют термин «параллельность», однако следует учитывать, что нулевой вектор коллинеарен любому вектору, но понятие параллельности для него не определено, поскольку не определён угол между нулевым и другим вектором.

Пример:
Даны два вектора и . Эти векторы коллинеарны, если x1 = λx2 и y1 = λy2, где


5. Линейные операции над векторами

5.1. Сложение векторов

Два вектора u, v и вектор их суммы

Сложение двух свободных векторов можно осуществлять как по правилу параллелограмма, так и по правилу треугольника.

Правило треугольника. Для сложения двух векторов и по правилу треугольника оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы начало одного из них совпадало с концом другого. Тогда вектор суммы задаётся третьей стороной образовавшегося треугольника, причём его начало совпадает с началом первого вектора, а конец с концом второго вектора.

Правило параллелограмма. Для сложения двух векторов и по правилу параллелограмма оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы их начала совпадали. Тогда вектор суммы задаётся диагональю построенного на них параллелограмма, исходящей из их общего начала.

А модуль (длину) вектора суммы определяют по теореме косинусов где  — угол между векторами, когда начало одного совпадает с концом другого. Так же используется формула теперь  — угол между векторами выходящими из одной точки.

Сложение двух скользящих векторов определено лишь в случае, когда прямые, на которых они расположены, пересекаются. Тогда каждый из векторов переносится вдоль своей прямой в точку пересечения этих прямых, после чего сложение осуществляется по правилу параллелограмма.

Сложение двух фиксированных векторов определено лишь в случае, когда они имеют общее начало. Их сложение в этом случае осуществляется по правилу параллелограмма.


5.1.1. Сложение коллинеарных скользящих векторов

Если скользящие векторы параллельны, то при их сложении главная трудность состоит в определении прямой, на которой будет расположена их сумма. (Величину и направление вектора суммы было бы естественно определить точно так же, как и в случае сложения свободных векторов.) В механике при изучении статики для решения вопроса о сложении параллельных сил, которые, как известно, задаются скользящими векторами, вводится дополнительная гипотеза: к системе векторов можно добавить два вектора, равных по величине, противоположных по направлению и расположенных на одной прямой, пересекающей прямые, на которых расположены данные вектора. Пусть, например, надо сложить скользящие векторы и , расположенные на параллельных прямых. Добавим к ним векторы и , расположенные на одной прямой. Прямые, на которых расположены векторы и , и пересекаются. Поэтому определены векторы

Прямые, на которых расположены векторы и , пересекаются всегда, за исключением случая, когда векторы и равны по величине и противоположны по направлению, в котором говорят, что векторы и образуют пару (векторов).

Таким образом, под суммой векторов и можно понимать сумму векторов и , и эта сумма векторов определена корректно во всех случаях, когда векторы и не образуют пару.


5.2. Произведение вектора на число

Произведением вектора и числа λ называется вектор, обозначаемый (или ), модуль которого равен , а направление совпадает с направлением вектора , если , и противоположно ему, если . Если же , или вектор нулевой, тогда и только тогда произведение  — нулевой вектор.

  • Обычно принято в записи произведения числа и вектора число записывать слева, но в принципе допустим и обратный порядок, хотя все же обычное соглашение состоит в том, чтобы его избегать, если нет прямой необходимости. Так или иначе, .

Из определения произведения вектора на число легко вывести следующие свойства:

  1. если , то . Наоборот, если , то при некотором λ верно равенство ;
  2. всегда °, то есть каждый вектор равен произведению его модуля на орт.


5.3. Скалярное произведение

Скалярным произведением векторов и называют число, равное , где  — угол между векторами и . Обозначения: или .

Если один из векторов является нулевым, то несмотря на то, что угол не определён, произведение равно нулю.

Свойства скалярного произведения векторов:

  1.  — коммутативность.
  2.  — дистрибутивность.
  3.  — линейность по отношению к умножению на число.
  4.  — норма вектора (Квадрат вектора).

Геометрически скалярное произведение есть произведение длины одного из сомножителей на ортогональную проекцию другого на направление первого (или наоборот). Скалярное произведение какого-то вектора с единичным вектором есть ортогональная проекция вектора на направление единичного вектора.


5.4. Векторное произведение

Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c, удовлетворяющий следующим требованиям:

  • длина вектора c равна произведению длин векторов a и b на синус угла φ между ними
  • вектор c ортогонален каждому из векторов a и b
  • вектор c направлен так, что тройка векторов abc является правой.

Обозначение:

Геометрически векторное произведение есть ориентированная площадь параллелограмма, построенного на векторах , представленная псевдовектором, ортогональным этому параллелограмму.

Свойства векторного произведения:

  1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак (антикоммутативность), т.е
  2. Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, то есть
  3. Векторное произведение обладает распределительным свойством:


5.5. Смешанное произведение

Сме́шанное произведе́ние векторов  — скалярное произведение вектора на векторное произведение векторов и :

(равенство записано для разных обозначений скалярного и векторного произведения).

Иногда смешанное произведение называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр (точнее — псевдоскаляр).

Геометрически смешанное произведение есть (ориентированный) объём параллелепипеда, построенного на векторах .


6. История

Интуитивно вектор понимается как объект, имеющий величину, направление и (необязательно) точку приложения. Зачатки векторного исчисления появились вместе с геометрической моделью комплексных чисел (Гаусс, 1831). Развитые операции с векторами опубликовал Гамильтон как часть своего кватернионного исчисления (вектор образовывали мнимые компоненты кватерниона). Гамильтон предложил сам термин вектор (лат. vector, несущий) и описал некоторые операции векторного анализа. Этот формализм использовал Максвелл в своих трудах по электромагнетизму, тем самым обратив внимание учёных на новое исчисление. Вскоре вышли «Элементы векторного анализа» Гиббса (1880-е годы), а затем Хевисайд (1903) придал векторному анализу современный вид.


Литература

  • Г. С. М. Коксетер (англ.), С. П. Грейтцер. Новые встречи с геометрией. — М.: Наука, 1978. — Т. 14. — (Библиотека математического кружка).

Знакомство с векторами | Ресурсы Wyzant

Векторы обычно используются для обозначения скорости и ускорения, силы и других факторов.
направленные величины в физике.

Векторы — это величины размером и направлением .

Объекты, с которыми мы работали в исчислении одной переменной (Исчисление 1 и
2) у всех было определенное количество, т.е.е. мы смогли их измерить.

У некоторых величин указан только размер, например время, температура или вес. Эти количества
называются скалярами . Остальные количества могут иметь размер и направление .
Например, скорости тоже имеют направление, и поэтому они описываются
как векторы. Обозначим векторы стрелкой, указывающей направление, в котором они ориентированы.

Направление вектора на координатной плоскости интуитивно понятно. Положительное направление y,
который направлен вверх, это север, а положительное направление x — восток. Следующий вектор
находится немного восточнее севера.

Направление вектора также можно описать величиной. Обычно направление
векторов указаны относительно другого направления.Следующий вектор
описывается как «5 миль в час, 53,13 градуса к северу от востока».

Этот вектор также можно описать как «5 миль в час, 36,87 градуса к востоку от севера».

Чтобы упростить значения векторов, мы используем ось x (или восток) в качестве отправной точки.
для измерения. Линия, лежащая на оси x, будет иметь направление 0 градусов.

Следующий вектор можно обозначить множеством разных направлений.

Последний вектор будет 53,13 градуса к югу от запада.

Скаляры и векторы

Помните, что у скаляров есть только размер, а у векторов — размер и направление.

Скорость и скорость тоже разные. Хотя они иногда используются как взаимозаменяемые,
скорость считается скаляром, а скорость — вектором.

Также существует расстояние между расстоянием и смещением. Расстояние — скаляр
потому что у него только размер. Однако смещение — это вектор, потому что он говорит нам
насколько далеко объект переместился в определенном направлении.

Скалярами можно управлять по законам арифметики действительных чисел, а векторами
имеют особые законы, которые необходимо соблюдать при работе друг с другом.Например,
если вы прошли 4 квартала, а затем еще 3 квартала, сколько кварталов вы прошли?
Мы можем сложить эти количества вместе, чтобы получить 7 блоков. Однако, если вы прошли 4 квартала
на восток и в 3 кварталах к северу, как далеко от отправной точки вы пройдете?
Поскольку эти векторы направлены в разные стороны, мы не можем просто сложить их вместе.

Количество пройденных градусов можно измерить по изображению или рассчитать.
с помощью тригонометрии.

В результате вектор будет 5 блоков по 0,644 радиана.

Векторное обозначение

У векторов есть специальные обозначения, которые отличают их от скаляров. Векторы могут
быть отмеченным как

Для наших целей мы всегда будем обозначать вектор стрелкой вверху, чтобы обозначить
количество с направлением.

Предыдущий вектор будет обозначен как

.

Мы также можем использовать единичные векторы i и j для обозначения вектора, где i = 1,0>
и j = 0,1>

Звездная величина , или длина вектора обозначается как

.

Мы используем величину, чтобы найти количество вектора.Всякий раз, когда мы хотим игнорировать
направление вектора (площадь, объем и т. д.), мы можем использовать величину.

Направление вектора обозначается как

.

Векторные равенства и операции

Равные векторы

Имеют одинаковую величину и направление, они не обязательно должны быть одинаковыми.
отправные точки.

Напротив векторов

Иметь точно такую ​​же длину, но смотреть в противоположном направлении. При сложении
противоположные векторы нейтрализуют друг друга.

Параллельные векторы

Имеют одинаковое направление, но разную длину.

Векторы, которые имеют одинаковое направление, можно умножить на скаляры, чтобы получить другой
величина.

Сложение вектора

При добавлении векторов мы присоединяем начало второго вектора (начальную точку) к
конец первого вектора (конечная точка).

Векторное вычитание

Скалярное умножение

Скалярное умножение — это когда вектор умножается на скаляр для увеличения или
уменьшите величину вектора.Скаляр не влияет на
направление вектора.

Точечное произведение

Если у нас есть два вектора u и v , скалярное произведение обозначается как

где | u | и | v | — величины, Θ — угол между векторами.

Чтобы проиллюстрировать, что означает скалярное произведение, возьмем последнюю часть формулы
и разобрать его.

Если мы возьмем вектор v, умноженный на cos (Θ) , мы получим
проекция v на u . Проекция формируется путем падения
перпендикулярная линия от конечной точки v на u, поэтому образует правую
угол.Проекция v на u — это величина вектора v, идущего в направлении u.
Скалярное произведение v и u просто умножает проекцию v и вектора u
(или наоборот).

Если мы вернемся к нашей формуле, мы можем заменить проекцию v на вектор
Версия

Этот результат говорит нам, сколько вектора v движется в направлении вектора.
у .

Для чего это полезно? Если мы подумаем о физических приложениях, если у нас будет два
силы под углом, мы можем увидеть, сколько силы действует в определенном направлении.
Скалярное произведение иногда называют скалярным произведением, потому что оно всегда дает
скалярная величина. Точечное произведение также может помочь нам измерить угол между векторами,
найти проекции и определить, перпендикулярны ли два вектора, как мы увидим
в следующих примерах.

Обратите внимание, что перпендикулярные векторы всегда будут давать скалярное произведение 0, потому что там
не является проекцией, то есть ни один вектор не движется в направлении другого вектора.

Скалярное произведение также можно обозначить единичными векторами i = 1,0> и j = 0,1>

где a, b, c и d — константы.

Угол между двумя векторами

Мы можем использовать определение скалярного произведения, чтобы найти угол между любыми двумя векторами.
Все, что нам нужно сделать, это изолировать Θ

Проекция вектора

От переработки формулы скалярного произведения и деления на | u |

можно сделать вывод, что проекция v на u составляет

20 Примеры векторных величин и скалярных величин ~ LORECENTRAL

Скалярные величины — это те, которые могут быть представлены в числовой шкале, в которой каждое конкретное значение в большей или меньшей степени зависит от шкалы.Например, температура , длина .

Векторные величины , однако, включают в себя гораздо больше информации, чем просто представить в виде рисунка, часто требуя определенного ощущения направления в указанной системе координат. Например, скорость , сила . Для этого наложен вектор как представление уникального значения величины. Каждый вектор управляется четырьмя основными координатами:

  • Точка приложения .Место, где «рождается» вектор. Обычно это точка.
  • Адрес . Дальнейшая траектория. Обычно это прямая линия.
  • Смысл . Ориентация величины по указанному пути. Обычно это наконечник стрелки в конце прямой.
  • Модуль. Степень интенсивности вектора.

Примеры скалярных величин

  1. Температура .В зависимости от используемой шкалы (Цельсия или Кельвина) каждое числовое значение будет представлять собой абсолютную величину (наличия или отсутствия) тепла, так что 20 ° C представляют собой фиксированное значение внутри шкалы, независимо от условий, сопровождающих измерение.
  2. Давление. Давление окружающей среды, обычно измеряемое в миллиметрах ртутного столба (мм рт. Ст.), Представляет собой вес, который воздушная масса атмосферы оказывает на предметы, и его можно измерить с помощью линейной шкалы.
  3. Длина .Одно из двух основных измерений, длина предметов или расстояния, идеально измеряется с помощью линейной шкалы метрической или англосаксонской системы: сантиметры, метры, километры или ярды, футы, дюймы.
  4. Энергия . Определяемая как способность действовать физически или химически материи, она обычно измеряется в джоулях, хотя в зависимости от конкретного типа энергии может варьироваться в других единицах (калории, термики, лошадиные силы в час и т. Д.), Все скаляры.
  5. Масса .Количество вещества, содержащегося в объекте, измеряется фиксированной величиной в метрической или англосаксонской системе единиц: грамм, килограмм, тонна, фунт и т. Д.
  6. Время . Помимо относительности, время можно измерить с помощью одной и той же линейной системы секунд, минут и часов, независимо от условий, в которых происходит измерение.
  7. Площадь . Обычно выражается в квадратных метрах ( 2 м), это площадь поверхности ограждения или объекта, в отличие от того, что находится вокруг.
  8. Объем. Соотношение трехмерного пространства, занимаемого конкретным телом, измеряемое в кубических сантиметрах (см 3 ).
  9. Частота . Это величина, которая позволяет измерить количество повторений явления или периодического события за единицу прошедшего времени. Его скалярная единица — герцы (Гц), которые соответствуют формуле 1 Гц = 1 / с, то есть одно повторение в секунду.
  10. Плотность. Плотность — это соотношение между массой тела и объемом, который оно занимает, поэтому это значение зависит от обеих величин и может быть представлено в собственном масштабе: килограммы на кубический метр (кг / м 3 ).

Примеры векторных величин

  1. Вес . Вес — это величина, которая выражает силу, прилагаемую объектом к точке опоры, как следствие местного гравитационного притяжения. Он представлен векторно от центра тяжести объекта к центру Земли или от объекта, создающего гравитацию . Он отличается от массы, потому что это не внутреннее свойство объекта, а гравитационное притяжение.
  2. Усилие . Под силой понимается все, что способно изменить положение, форму или величину движения объекта или частицы, выраженную в ньютонах (Н): количество силы, необходимое для обеспечения ускорения в 1 м / с 2 до 1 кг теста. Однако для этого необходимы руководство и направление, поскольку каждая сила передается из одной точки в другую.
  3. Разгон . Эта векторная величина выражает изменение скорости в зависимости от времени.Как и скорость, он требует векторного содержимого, несовместимого с числовой шкалой, поскольку для выражения себя использует ссылочные значения.
  4. Скорость . Выразите расстояние, пройденное объектом за заданную единицу времени, в метрах в секунду (м / с). Чтобы измерить изменение положения объекта, всегда требуется направление движения и модуль, который выражает его скорость или скорость.
  5. Торсион . Также называемый крутящим моментом, он выражает меру изменения направления вектора в сторону кривизны, с помощью которой он позволяет рассчитать скорости и скорости вращения, например, рычага.Следовательно, он заслуживает информации о векторном позиционировании.
  6. Позиция . Эта величина относится к местоположению частицы или объекта в пространстве-времени. Вот почему его классическое представление является векторным, чтобы выразить его в плоскости исходных координат; тогда как для теории относительности это набор произвольных криволинейных координат, поскольку пространство-время в этой теории искривлено.
  7. Напряжение . Электрическое напряжение, также известное как напряжение, представляет собой разность электрических потенциалов между двумя точками или двумя частицами.Поскольку это напрямую зависит от пути заряда между начальной и конечной точками, то есть от потока электронов, для его выражения требуется векторная логика.
  8. Электрическое поле . Это векторное поле, то есть набор или соотношение физических сил (в данном случае электрических), которые оказывают влияние на определенную область и изменяют определенный электрический заряд внутри нее.
  9. Гравитационное поле . Другое физическое поле, но гравитационных сил, которые притягивают объекты или частицы, попадающие в эту область.Поскольку вся сила обязательно является векторной, гравитационному полю потребуется набор векторов для представления.
  10. Инерция . Сила трения, противоположная всякому движению и всегда стремящаяся к неподвижности, выражается векторно, поскольку она противостоит силам движения, всегда стремясь к одному и тому же направлению, но противоположной ориентации.

Операторы Python


Операторы Python

Операторы используются для выполнения операций с переменными и значениями.

В приведенном ниже примере мы используем оператор + для сложения двух значений:

Python делит операторы на следующие группы:

  • Арифметические операторы
  • Операторы присваивания
  • Операторы сравнения
  • Логические операторы
  • Операторы идентификации
  • Операторы членства
  • Побитовые операторы

Арифметические операторы Python

Арифметические операторы используются с числовыми значениями для выполнения общих математических операций:


Операторы присваивания Python

Операторы присваивания используются для присвоения значений переменным:



Операторы сравнения Python

Операторы сравнения используются для сравнения двух значений:


Логические операторы Python

Логические операторы используются для объединения условных операторов:

Оператор Описание Пример Попробовать
и Возвращает True, если оба утверждения верны x <5 и x <10 Попробуй »
или Возвращает True, если одно из утверждений верно x <5 или x <4 Попробуй »
не Обратить результат, возвращает False, если результат верен нет (x <5 и x <10) Попробуй »

Операторы идентификации Python

Операторы идентичности используются для сравнения объектов не в том случае, если они равны, а в том случае, если они на самом деле являются одним и тем же объектом с одним и тем же местом в памяти:

Оператор Описание Пример Попробовать
это Возвращает True, если обе переменные являются одним и тем же объектом x is y Попробуй »
не Возвращает True, если обе переменные не являются одним и тем же объектом x не y Попробуй »

Операторы членства Python

Операторы принадлежности используются для проверки того, представлена ​​ли последовательность в объекте:

Оператор Описание Пример Попробовать
в Возвращает True, если в объекте присутствует последовательность с указанным значением х дюйм Попробуй »
не в Возвращает True, если последовательность с указанным значением отсутствует в
объект
x не в y Попробуй »

Побитовые операторы Python

Побитовые операторы используются для сравнения (двоичных) чисел:

Оператор Имя Описание
и И Устанавливает каждый бит в 1, если оба бита равны 1
| ИЛИ Устанавливает каждый бит в 1, если один из двух битов равен 1
^ XOR Устанавливает каждый бит в 1, если только один из двух битов равен 1
~ НЕ Инвертирует все биты
<< Нулевой сдвиг влево Сдвиг влево, вводя нули справа и позволяя крайним левым битам упасть
от
>> Подпись правого смещения Сдвиньте вправо, вставив копии крайнего левого бита слева, и позвольте
отваливаются крайние правые биты


Модуль Юнга — предел текучести и растяжения для обычных материалов

Модуль упругости — или модуль Юнга alt.Модуль упругости — это мера жесткости упругого материала. Он используется для описания упругих свойств таких объектов, как проволока, стержни или колонны, когда они растягиваются или сжимаются.

Модуль упругости при растяжении определяется как

«отношение напряжения (силы на единицу площади) вдоль оси к деформации (отношение деформации к начальной длине) вдоль этой оси»

Его можно использовать для прогнозирования удлинения или сжатие объекта до тех пор, пока напряжение меньше, чем предел текучести материала.Подробнее об определениях под таблицей.

483 9047 9047 9047

9047 9047 9047 9067 9047

Низкопрочный сплав A618 с высокой прочностью Трубки — класс Ia и Ib 90-418 Горячий Конструкционные трубы из низколегированных материалов — класс III

9067 2

Ацетат целлюлозы, лист

9047 9047 9047 9047 9047 9047 Кобальт Кобальт 9047 9047 9047 9047 9047 9047 Кобальт 17 9020

Medium

9047 9047 9047 9047 9047 9047 9047 9047 Иридий

9047 9047 9047 9047 9047 9047 Металл

Монель 9047 170

9047 9047 9047 9047 9047 9047 9047 9047 9047

Осмий

Bronze Древесина сосна (вдоль волокон)

9 0478 502

oth4 9047 9047 9047 9047 9047 9047 9047 9047 9047 9047 9047 W)

9047 9047 9047 9047 9047 9047 9047 9047 9047 9047 9047 9047 9047

АБС-пластик 1,4 — 3,1 40
A53 Бесшовные и сварные стандартные стальные трубы — марка A 331 207 Стандартные сварные Труба — класс B 414 241
A106 Бесшовная труба из углеродистой стали — класс A 400 248
A106 Бесшовная труба из углеродистой стали — класс B
A106 Бесшовная труба из углеродистой стали — класс C 483 276
Стальная труба A252 свайная — класс 1 345 207
A252 Труба из стали

A252 414 241
Стальная труба A252 свайная — класс 3 455 310
A501 Конструкционные трубы из горячеформованной углеродистой стали — класс A 400 248
A501 Конструкционные трубы из горячеформованной углеродистой стали — класс B

A523 Стальные трубы для кабельных цепей — класс A 331 207
Стальные трубы A523 для кабельных цепей — класс B 414 241
483 345
A618 Горячеформованные высокопрочные низколегированные конструкционные трубы — класс II 414 345
448 345
Линейная труба API 5L 310 — 1145 175 — 1048
Ацетали 2.8 65
Акрил 3,2 70
Алюминий Бронза 120
Алюминий 110 9047 9047 9047 9047 9047 9047 9047 9047 9047 9047 70
Сурьма 78
Арамид 70-112
Бериллий (Be)

9047 9047 9047 9047 9047 9047 9047 9047 9047 9047 9047 124
Висмут 32
Кость компактная 18 170
(компрессионная)
9047 9067 9047 9067 9047 9067 9067 9067 9067 9067 2

3100
Латунь 102-125 250
Латунь, военно-морской флот 100
Бронза 96-120 9047 9047 9047 9047

Кадмий 32
Пластик, армированный углеродным волокном 150
Углеродные нанотрубки, одностенные,

9047 9047 9047 9047 % C, ASTM A-48 170
Целлюлоза, хлопок, древесная масса и регенерированная 80 — 240
Ацетат целлюлозы, формованный 12-58
30-52
Нитрат целлюлозы, целлулоид 50
Хлорированный полиэфир 1.1 39
Хлорированный ПВХ (ХПВХ) 2,9
Хром 248
Бетон, высокопрочный (сжатие) 30 40
(сжатие)
Медь 117 220 70 Алмазный

Древесина пихты Дугласа 13 50
(сжатие)
Эпоксидные смолы 3-2 26-85
Льняное волокно 58
Стекло 50-90 50
(сжатие)
Матрица из полиэфирного армированного стекловолокном 17
Золото 74 9047 9047 9047 9047 9047 9047 9047 9047 9047 52
Графен 1000
Серый чугун 130
Конопляное волокно 35
517
Железо 210
Свинец 13.8
Металлический магний (Mg) 45
Марганец 159
9047 9047 9047 9047 Мрамор 9047 9047 Плотность мрамора 9 ДВП 4
Ртуть
Молибден (Мо) 329
Никель Серебро 128
Никелевая сталь 200
Ниобий (Колумбий) 2-4 45-90 45
Нейлон-66 60-80
Дуб (вдоль волокон) 11
Осмий 550
Фенольные литые смолы 33-59
Фенолформальдегидные формовочные смеси 45-52
9 40
Платина 147
Плутоний 97 9047 9047 9047 9047 Полиакриды 9047 9047 9047 9047
Полибензоксазол 3.5
Поликарбонаты 2,6 52-62
Полиэтилен HDPE (высокой плотности) 0,8 15
Полиэтилен 2,78
Полиамид 2,5 85
Полиизопрен, твердая резина 39
Полиметилметакрилат (PM47MA8) 90. 479 904 — 3,4
Полиимидные ароматические углеводороды 3,1 68
Полипропилен, ПП 1,5 — 2 28-36
Полиполимер 30-100
Полиэтилен, LDPE (низкая плотность) 0,11 — 0,45
Политетрафторэтилен (ПТФЭ) 0,4
9047 9047 9047 9047 литой полиуретан

9047
Полиуретановый эластомер 29-55
Поливинилхлорид (ПВХ) 2.4 — 4,1
Калий
Родий 290
9047 9047 9047 9047 0 435
Селен 58
Кремний 130-185
9047 9047 9047 9047 9047 9047 9047 9047 9047 9047 9047 9047 9047 9047 9047 9047
Натрий
Сталь, высокопрочный сплав ASTM A-514 760 690 9047 9047 9047 Сталь ISIS 9047 9047 9047
Сталь, конструкционная ASTM-A36 200 400 250
Тантал 186
9047 9047 9047 9047 9047 9047 Тор 47
Титан
Титановый сплав 105-120 900 730
400-410
Карбид вольфрама (WC) 450-650
Уран 170
Кованый Иро n 190-210
Дерево
Цинк 83
  • 9034-1 Па2 (2 Нм) Н / мм 2 = 1.4504×10 -4 psi

  • 1 МПа = 10 6 Па (Н / м 2 ) = 0,145×10 3 psi (фунт f / дюйм 2 ) = 0,145 тыс. фунтов / кв. дюйм
  • 1 ГПа = 10 9 Н / м 2 = 10 6 Н / см 2 = 10 3 2 = 0,145×10 6 фунтов на квадратный дюйм (фунт на / дюйм 2 )
  • 1 МПа = 10 6 фунтов на квадратный дюйм = 10 3 тысяч фунтов на квадратный дюйм
  • фунтов на квадратный дюйм 2 ) = 0.001 тыс. Фунтов / кв. Дюйм = 144 фунта / кв. Дюйм (фунт на / фут 2 ) = 6 894,8 Па (Н / м 2 ) = 6,895×10 -3 Н / мм 2

Примечание! — этот онлайн-конвертер давления можно использовать для преобразования единиц модуля упругости при растяжении.

Деформация — ε

Деформация — это «деформация твердого тела под действием напряжения» — изменение размера, деленное на исходное значение размера — и может быть выражено как

ε = dL / L (1)

где

ε = деформация (м / м, дюйм / дюйм)

dL = удлинение или сжатие (смещение) объекта (м , дюйм)

L = длина объекта (м, дюйм)

Напряжение — σ

Напряжение — это сила на единицу площади и может быть выражена как

σ = F / A (2)

где

σ = напряжение (Н / м 2 , фунт / дюйм 2 , psi)

F = приложенная сила (Н, фунт)

A = площадь напряжения объекта (м 2 , дюйм 2 )

  • растягивающее напряжение — напряжение, которое стремится к растягивает или удлиняет материал — действует перпендикулярно напряженной области
  • сжимаемое напряжение — напряжение, которое имеет тенденцию сжимать или сокращать материал — действует нормально по отношению к напряженной области
  • напряжение сдвига — напряжение, которое имеет тенденцию к сдвигу материала — действует в плоскости напряженной области под прямым углом к ​​сжимаемому или растягивающему напряжению

Модуль Юнга — Модуль упругости при растяжении, Модуль упругости — E

Модуль Юнга может быть выражен как

E = напряжение / деформация

= σ / ε

= (F / A) / (dL / L) (3)

, где

E = Модуль упругости Юнга (Па, Н / м 2 , фунт / дюйм 2 , psi)

  • , названный в честь XVIII века. Английский врач и физик Томас Янг

Эластичность

Эластичность — это свойство объекта или материала, указывающее, как он восстановит его первоначальную форму после искажения.

Пружина — это пример упругого объекта: при растяжении она оказывает восстанавливающую силу, которая стремится вернуть его к исходной длине. Эта восстанавливающая сила в целом пропорциональна растяжению, описанному законом Гука.

Закон Гука

Чтобы растянуть пружину вдвое дальше, требуется примерно вдвое большее усилие. Эта линейная зависимость смещения от силы растяжения называется законом Гука и может быть выражена как

F s = -k dL (4)

, где

F s = усилие в пружине (Н)

k = жесткость пружины (Н / м)

dL = удлинение пружины (м)

Обратите внимание, что можно также применить закон Гука к материалам, испытывающим трехмерное напряжение (трехосное нагружение).

Предел текучести — σ y

Предел текучести определяется в инженерии как величина напряжения (предел текучести), которому может подвергаться материал перед переходом от упругой деформации к пластической деформации.

  • Податливость — материал постоянно деформируется

Предел текучести для низко- или среднеуглеродистой стали представляет собой напряжение, при котором происходит заметное увеличение деформации без увеличения нагрузки. В других сталях и цветных металлах этого явления не наблюдается.

Предел прочности на разрыв — σ u

Предел прочности при растяжении — UTS — материала — это предельное напряжение, при котором материал фактически разрывается с внезапным высвобождением накопленной упругой энергии.

направление, ориентация, сложение, умножение, скаляры

Определение вектора

Пусть $ A $ и $ B $ — две разные точки на плоскости.

Направленный отрезок прямой $ \ overrightarrow {AB} $ — это отрезок прямой, на котором мы точно знаем, какая точка является начальной, а какая конечной.

Два направленных отрезка эквивалентны, если существует перевод, при котором один переводится в другой.

Вектор — это набор всех ориентированных линейных сегментов, которые эквивалентны друг другу.

Любой направленный отрезок линии мы будем называть вектором из-за простоты речи. Векторы мы будем обозначать через $ \ overrightarrow {AB}, \ overrightarrow {CD}, \ ldots $ или просто как $ \ overrightarrow {a}, \ overrightarrow {b}, \ ldots $.

Векторы однозначно определяются своей величиной, направлением и ориентацией.

Рисование векторов в двумерных декартовых координатах

Каждый вектор определяется двумя точками. Это позволяет довольно просто рисовать их в координатной плоскости. Например, если нам даны две точки с координатами $ A = (1, 2) $ и $ B = (5, 6) $ и наша задача нарисовать вектор $ \ overrightarrow {AB} $, мы должны сначала нарисовать отрезок линии $ \ overline {AB} $, а затем просто нарисуйте стрелку, обозначающую нашу конечную точку.

Каждой точке на плоскости может быть назначен уникальный вектор, начальная точка которого находится в начале координат, а конечная точка находится в данной точке.Эти векторы очень важны в векторной геометрии, и они называются позиции или радиус-векторами .

Величина векторов

Величина вектора $ \ overrightarrow {AB} $ — это длина отрезка $ \ overline {AB} $.

Некоторые дополнительные имена для величины вектора, такие как: норма вектора, модуль вектора или абсолютное значение вектора.

Величина любого вектора определяется положением его начальной и конечной точки и вычисляется точно так же, как длина отрезка линии.2}. $$

Нулевой вектор или нулевой вектор — это вектор, длина которого равна $ 0 $. Нулевой вектор обозначается $ \ overrightarrow {0} $.

Единичный вектор — это вектор, длина которого равна $ 1 $, однако он может следовать в любом направлении. Для вектора $ \ overrightarrow {a} $ длины $ | \ overrightarrow {a} | $ единичный вектор $ \ overrightarrow {a_0} $ определяется как

$$ \ overrightarrow {a_0} = \ frac {\ overrightarrow {a}} {| \ overrightarrow {a} |}.2} = \ sqrt {50} = \ sqrt {2 \ cdot 25} = 5 \ sqrt {2} $.

3. $ \ overrightarrow {EF} = 0 $, потому что $ E = F $.

Направление векторов

Направление вектора — это мера угла, который он охватывает с осью $ y $. Его можно наблюдать как наклон линии, на которой он лежит, потому что его наклон рассчитывается так же, как мы вычисляем наклон линии. Мы обозначим направление вектора с помощью $ \ varphi $.

Если у нас есть вектор $ \ overrightarrow {PQ} $, $ P = (x_1, y_1) $, $ Q = (x_2, y_2) $, то

$$ tan (\ varphi) = \ frac {y_2 — y_1} {x_2 — x_1}.{\ circ} $.

Ориентация векторов

Ориентация вектора связана исключительно с коллинеарными векторами. Коллинеарные векторы — это векторы, которые лежат на одной прямой или на параллельной прямой. Например, если у нас есть два вектора $ \ overrightarrow {AB} $ и $ \ overrightarrow {CD} $, то их ориентация может быть только равной или противоположной.

Как мы можем таким образом определить ориентацию, предполагая, что эти два вектора коллинеарны? Сначала мы должны взять один вектор и перевести его так, чтобы его начальная точка попадала в начальную точку другого вектора.Это означает, что мы переводим вектор $ \ overrightarrow {CD} $ так, чтобы $ C = A $. Если точки $ B $ и $ D $ находятся по одну сторону от точки $ A $, то они обе имеют одинаковую ориентацию, однако, если они находятся по разные стороны от точки $ A $, то они имеют противоположную ориентацию. .

Векторов с одинаковой ориентацией:

Векторов с противоположной ориентацией:

Примечание: два вектора равны, если они имеют одинаковую величину, направление и ориентацию.Если два коллинеарных вектора имеют одинаковую длину, хотя и разную ориентацию, они называются противоположными векторами . Если $ \ overrightarrow {a} $ — вектор, который мы наблюдаем, то его противоположный вектор обозначается $ \ overrightarrow {- a} $.

Сложение вектора

Добавляя векторы $ \ overrightarrow {AB} $ и $ \ overrightarrow {CD} $, мы получим новый вектор $ \ overrightarrow {AD} $, начальная точка которого совпадает с первым слагаемым, а конечная точка нового вектор такой же, как и второе слагаемое.При применении этого правила получается треугольник. Вот почему этот метод сложения называется правилом треугольника . Когда у нас есть два вектора, которые мы должны сложить вместе, сначала мы переводим один вектор на другой таким образом, чтобы конечная точка первого была начальной точкой второго. Затем все, что осталось, — это завершить треугольник и отметить ориентацию нашего нового вектора.

Сложение с нулевым вектором:

$ \ overrightarrow {a} $ + $ \ overrightarrow {0} $ = $ \ overrightarrow {a}

$

$ \ overrightarrow {0} $ + $ \ overrightarrow {a} $ = $ \ overrightarrow {a} $.

Параллелограммный закон сложения векторов

Если у нас есть два вектора, которые имеют одинаковую начальную точку, то мы можем использовать закон параллелограмма вектора сложение . Мы просто рассматриваем эти два вектора как смежные стороны параллелограмма, их сумма будет диагональю параллелограмма. Начальная точка суммы этих двух векторов будет их начальной точкой.

Шаг за шагом:

Свойства дополнения

Для каждых двух векторов $ \ overrightarrow {a} $ и $ \ overrightarrow {b} $ действительно:

$$ \ overrightarrow {a} + \ overrightarrow {b} = \ overrightarrow {b} + \ overrightarrow {a}.

$

Это означает, что сложение векторов коммутативно.

Для каждых трех векторов $ \ overrightarrow {a} $, $ \ overrightarrow {b} $ и $ \ overrightarrow {c} $ действительно:

$$ (\ overrightarrow {a} + \ overrightarrow {b}) + \ overrightarrow {c} = \ overrightarrow {a} + (\ overrightarrow {b} + \ overrightarrow {c}). $$

Следовательно, сложение векторов ассоциативно.

Сложение более двух векторов

Сложение $ n $ взаимосвязанных векторов $ \ overrightarrow {A_1 A_2}, \ overrightarrow {A_2 A_3}, \ overrightarrow {A_3 A_4},…, \ overrightarrow {A_ {n-1} A_n} $ равно вектор $ \ overrightarrow {A_1 A_n} $

Примечание. Как мы уже знаем, $ \ overrightarrow {-a} $ — это вектор, ориентация которого противоположна ориентации вектора $ \ overrightarrow {a} $, однако их величина и направление равны.Используя это выражение, мы знаем, как вычитать векторы. Если у нас есть два вектора, $ \ overrightarrow {a} $ и $ \ overrightarrow {b} $, и нам нужно вычесть $ \ overrightarrow {b} $ из $ \ overrightarrow {a} $ $ (\ overrightarrow {a} — \ overrightarrow {b}) $, мы просто меняем ориентацию вектора $ \ overrightarrow {b} $ и добавляем их как таковые $ \ overrightarrow {a} + (\ overrightarrow {-b}) $.

Умножение векторов и действительных чисел

Произведение действительного числа $ k \ not = 0 $ и вектора $ \ overrightarrow {a} $ — это вектор, который мы обозначаем как $ k \ overrightarrow {a} $, с правилами:

  • Векторы $ \ overrightarrow {a} $ и $ k \ vec {a} $ являются коллинеарными векторами одной ориентации, если $ k> 0 $, и противоположной ориентации, если $ k <0 $
  • Величина вектора $ k \ overrightarrow {a} $ равна $ \ mid k \ mid \ cdot \ mid \ overrightarrow {a} \ mid $
  • Произведение вектора и нуля является нулевым вектором
  • Произведение вектора и $ 1 $ — это один и тот же вектор

Например, если у нас есть вектор $ \ overrightarrow {AB} $, где $ A = (2, 4) $, $ B = (5, 6) $, вычислить $ 2 \ overrightarrow {AB} $ и $ — 2 \ overrightarrow {AB} $ произведение вектора и действительного числа всегда будет находиться на линии, на которой лежит наблюдаемый вектор.Поэтому первое, что мы должны сделать, это нарисовать линию, на которой лежит вектор $ \ overrightarrow {AB} $.

Теперь нам нужно вычислить $ 2 \ overrightarrow {AB} $. Его величина будет вдвое больше, чем у вектора $ \ overrightarrow {AB} $. Вектор будет расположен на той же линии и будет иметь ту же ориентацию, потому что $ 2> 0 $. Теперь у нас есть все необходимые данные:

Теперь нам нужно вычислить $ -2 \ cdot \ vec {AB} $. Поскольку $ -2 <0 $, этот вектор будет иметь противоположную ориентацию вектору $ \ overrightarrow {AB} $, двойную величину и то же направление.

Свойства умножения вектора на действительное число

Это верно для любых двух действительных чисел $ k $ и $ l $, а также для каждых двух векторов $ \ overrightarrow {a} $ и $ \ overrightarrow {b} $:

$ k (\ overrightarrow {a} + \ overrightarrow {b}) = k \ overrightarrow {a} + k \ overrightarrow {b}

$

$ (k + l) \ overrightarrow {a} = k \ overrightarrow {a} + l \ overrightarrow {a}

$

$ (kl) \ overrightarrow {a} = k (l \ overrightarrow {a})

$

Линейная комбинация — линейная зависимость и независимость

Если $ \ overrightarrow {a} $ и $ \ overrightarrow {b} $ — векторы, а действительные числа $ \ alpha $ и $ \ beta $, то вектор

$ \ overrightarrow {c} = \ alpha \ overrightarrow {a} + \ beta \ overrightarrow {b}

$

называется линейной комбинацией векторов $ \ overrightarrow {a} $ и $ \ overrightarrow {b} $ с коэффициентами $ \ alpha $ и $ \ beta $.

Если $ \ overrightarrow {a} $ и $ \ overrightarrow {b} $ — два коллинеарных, а не нулевых вектора с одинаковой ориентацией, где $ \ overrightarrow {a} $ в $ k $ раз длиннее, чем $ \ overrightarrow {b} $, то можно написать:

Это означает, что один вектор может быть представлен с помощью другого и что $ \ overrightarrow {a} $ и $ \ overrightarrow {b} $ являются линейно зависимыми .

Векторы $ \ overrightarrow {a_1}, \ overrightarrow {a_2}…, \ overrightarrow {a_n} $ считаются линейно зависимыми, если существуют действительные числа $ \ alpha_1, \ alpha_2,…, \ alpha_n $ такие, что:

$ \ overrightarrow {0} = \ alpha_1 \ overrightarrow {a_1} + \ alpha_2 \ overrightarrow {a_2},…, \ alpha_n \ overrightarrow {a_n} $.

Если линейная комбинация $ \ alpha_1 \ overrightarrow {a_1} + \ alpha_2 \ overrightarrow {a_2},…, \ alpha_n \ overrightarrow {a_n} $ равна $ \ overrightarrow {0} $, только когда $ \ alpha_1, \ alpha_2, …, \ Alpha_n $ все равны нулю, тогда говорят, что векторы $ \ overrightarrow {a_1}, \ overrightarrow {a_2}…, \ overrightarrow {a_n} $ являются линейно независимыми .

Каждые два коллинеарных вектора на плоскости линейно зависимы, а каждые два неколлинеарных вектора линейно независимы.

Каждый вектор на плоскости может быть представлен уникальным образом как линейная комбинация двух неколлинеарных векторов.

Векторы в координатной плоскости

Пусть $ E $ — единичная точка на оси $ x $, $ F $ — единичная точка на оси $ y $, а точка $ O $ — начало координат. Тогда радиус-вектор $ \ overrightarrow {OE} $ равен единичному вектору $ \ overrightarrow {i} $, а радиус-вектор $ \ overrightarrow {OF} $ равен единичному вектору $ \ overrightarrow {j} $.

Используя эти два вектора, мы можем уникальным образом представить любой вектор на плоскости.

Если точка $ P $ имеет координаты $ (x, y) $, то радиус-вектор $ \ overrightarrow {OP} $ имеет представление $ \ overrightarrow {OP} = x \ overrightarrow {i} + y \ overrightarrow {j} $.

Если $ A_1 = (x_1, y_1) $ и $ A_2 = (x_2, y_2) $ — две точки плоскости, то: $ \ overrightarrow {A_1A_2} = (x_2 — x_1) \ overrightarrow {i} + (y_2 — y_1) \ overrightarrow {j} $.

Например, если у нас есть две точки $ A = (1, 3) $ и $ B = (2, 5) $, то вектор $ \ overrightarrow {AB} $ равен:

$ \ overrightarrow {AB} = (x_2 — x_1) \ vec {i} + (y_2 — y_1) \ overrightarrow {j} = (2 — 4) \ overrightarrow {i} + (5 — 3) \ overrightarrow {j } = \ overrightarrow {i} + 2 \ overrightarrow {j} $.

Скалярное произведение или скалярное произведение

Допустим, есть два вектора на плоскости, оба отличные от $ \ overrightarrow {0} $. Если у них разная начальная точка, мы просто переводим один вектор на другой так, чтобы они имели одинаковую начальную точку.
Угол между этими двумя векторами — это меньший угол из двух углов, заключенных половинными линиями, на которых лежат эти два вектора.

Если $ \ overrightarrow {a} $ и $ \ overrightarrow {b} $ — два вектора, отличные от $ \ overrightarrow {0} $, произведение

$$ \ overrightarrow {a} \ cdot \ overrightarrow {b} = | \ overrightarrow {a} | \ cdot | \ overrightarrow {b} | cos \ angle (\ overrightarrow {a}, \ overrightarrow {b}) $$

называется скалярным произведением или скалярным произведением векторов $ \ overrightarrow {a} $ и $ \ overrightarrow {b} $.

Свойства скалярного произведения

1. $ \ cdot \ overrightarrow {a} \ cdot \ overrightarrow {b} = \ overrightarrow {b} \ cdot \ overrightarrow {a} $, для каждых двух векторов $ \ overrightarrow {a} $ и $ \ overrightarrow {b } $

2. $ (\ overrightarrow {a} + \ overrightarrow {b}) \ cdot \ overrightarrow {c} = \ overrightarrow {a} \ cdot \ overrightarrow {c} + \ overrightarrow {b} \ cdot \ overrightarrow {c} $, для каждых трех векторов $ \ overrightarrow {a} $, $ \ overrightarrow {b} $ и $ \ overrightarrow {c} $

3.2 $, для каждого вектора $ \ overrightarrow {a}

$

5. $ \ overrightarrow {a} \ cdot \ overrightarrow {b} = 0 $, если $ \ cos \ angle (\ overrightarrow {a}, \ overrightarrow {b}) = 0 $

Для единичных векторов $ \ overrightarrow {i} $ и $ \ overrightarrow {j} $ действительно:

$$ \ overrightarrow {i} \ cdot \ overrightarrow {j} = \ overrightarrow {j} \ cdot \ overrightarrow {i} = 0. $$

Задания

Именование вершин и векторов (419,4 КиБ, 610 совпадений)

Измерение векторов углов (490.3 КиБ, 5,453 просмотров)

10+ примеров использования CountVectorizer

Scikit-learn CountVectorizer используется для преобразования корпуса текста в вектор количества терминов / токенов. Он также предоставляет возможность предварительной обработки ваших текстовых данных перед генерацией векторного представления, что делает его очень гибким модулем представления функций для текста.

В этой статье мы собираемся углубиться в различные способы использования CountVectorizer, чтобы вы не только вычисляли количество слов, но и предварительно обрабатывали ваши текстовые данные, а также извлекали дополнительные функции из ваш текстовый набор данных.

Пример работы CountVectorizer

Чтобы показать вам пример того, как работает CountVectorizer, возьмем название книги ниже (для контекста: это часть серии книг, которые нравятся детям):

 doc = ["Один цент, два цента, Старый цент, Новый цент: все о деньгах"] 

Этот текст преобразуется в разреженную матрицу , как показано на Рисунке 1 (b) ниже:

Рисунок 1: Разреженное матричное представление слов в CountVectorizer. (а) то, как вы визуально думаете об этом.(б) так оно и есть на практике.

Обратите внимание, что здесь у нас 9 уникальных слов . Итак 9 столбцов. Каждый столбец матрицы представляет собой уникальное слово в словаре, а каждая строка представляет документ в нашем наборе данных. В этом случае у нас есть только одно название книги (то есть документ), и, следовательно, у нас есть только 1 строка. Значения в каждой ячейке — это количество слов. Обратите внимание, что при таком представлении количество слов может быть равно 0, если слово не появилось в соответствующем документе.

Хотя визуально легко представить представление матрицы слов, как на рисунке 1 (a), на самом деле эти слова преобразуются в числа, и эти числа представляют позиционный индекс в разреженной матрице , как показано на рисунке 1 (b) .

Почему формат разреженной матрицы?

С помощью CountVectorizer мы преобразуем необработанный текст в числовое векторное представление слов и n-граммов. Это упрощает прямое использование этого представления в качестве функций (сигналов) в задачах машинного обучения, например, для классификации текста и кластеризации.

Обратите внимание, что эти алгоритмы понимают только концепцию числовых признаков независимо от их основного типа (текст, пиксели изображения, числа, категории и т. Д.), Что позволяет нам выполнять сложные задачи машинного обучения с различными типами данных.

Боковое примечание: Если все, что вас интересует, это подсчет слов, то вы можете обойтись без счетчика Python. Нет реальной необходимости использовать CountVectorizer. Однако, если вы все еще хотите использовать CountVectorizer, вот пример извлечения счетчиков с помощью CountVectorizer.

Набор данных и импорт

В этом уроке мы будем использовать названия 5 кошек в шляпных книгах (как показано ниже).

из sklearn.feature_extraction.text импорт CountVectorizer

cat_in_the_hat_docs = [
       "Один цент, два цента, старый цент, новый цент: все о деньгах (Кот в учебной библиотеке шляпы",
       «Внутри себя снаружи: все о человеческом теле (Кот в учебной библиотеке шляпы)»,
       «О, то, что вы можете делать, полезно для вас: все о том, чтобы оставаться здоровым (Кот в учебной библиотеке шляпы)»,
       «За пределами ошибок: все о насекомых (Кот в учебной библиотеке шляпы)»,
       «Нет места лучше космоса: все о нашей солнечной системе (Кот в учебной библиотеке шляпы)»
      ] 

Я намеренно сделал для него несколько коротких текстов, чтобы вы могли увидеть, как в полной мере использовать CountVectorizer в ваших приложениях.Имейте в виду, что каждый заголовок выше считается документом.

CountVectorizer Обычный и простой

  из sklearn.feature_extraction.text импорт CountVectorizer
cv = CountVectorizer (cat_in_the_hat_docs)
count_vector = cv.fit_transform (cat_in_the_hat_docs)  

Что происходит выше, так это то, что названия 5 книг предварительно обрабатываются, токенизируются и представляются в виде разреженной матрицы, как объяснено во введении. По умолчанию CountVectorizer делает следующее:

  • переводит текст в нижний регистр (установите в нижний регистр = false , если вы не хотите использовать нижний регистр)
  • использует кодировку utf-8
  • выполняет токенизацию (преобразует исходный текст в меньшие единицы текста) word обрабатывается как отдельный токен)
  • игнорирует отдельные символы во время токенизации (попрощайтесь с такими словами, как «a» и «I»)

Теперь давайте посмотрим на словарь (набор уникальных слов из наших документов):

 # показать полученный словарь; числа не являются счетами, это позиция в разреженном векторе.cv.vocabulary_
 
 # форма вектора счета: 5 документов (названий книг) и 43 уникальных слова
count_vector.shape
 
 (5,43) 

У нас есть 5 (строк) документов и 43 уникальных слова (столбца)!

CountVectorizer и стоп-слова

Теперь первое, что вы, возможно, захотите сделать, — это удалить стоп-слова из текста, поскольку они имеют ограниченную предсказательную силу и могут не помочь в последующих задачах, таких как классификация текста. С CountVectorizer удалить стоп-слово очень просто, и это можно сделать несколькими способами:

  1. Используйте настраиваемый список стоп-слов, который вы предоставляете
  2. Используйте встроенный в sklearn список стоп-слов на английском языке (не рекомендуется)
  3. Создайте стоп-слова для конкретных корпусов, используя max_df и min_df (настоятельно рекомендуется и будет рассмотрено позже в этой статье) учебник)

Давайте рассмотрим 3 способа использования стоп-слов.

Пользовательский список стоп-слов

 cv = CountVectorizer (cat_in_the_hat_docs, stop_words = ["all", "in", "the", "is", "and"])
count_vector = cv.fit_transform (cat_in_the_hat_docs)
count_vector.shape
 
 (5,40)
 

В этом примере мы предоставляем список слов, которые действуют как наши стоп-слова. Обратите внимание, что форма изменилась с (5,43) на (5,40) из-за удаленных стоп-слов. Обратите внимание, что на самом деле мы можем загружать стоп-слова непосредственно из файла в список и предоставлять их в качестве списка стоп-слов.

Чтобы проверить используемые стоп-слова (если они явно указаны), просто откройте cv.stop_words .

 # какие-либо стоп-слова, которые мы явно указали?
cv.stop_words
 
 ["все", "в", "то", "есть", "и"]
 

В то время как cv.stop_words дает вам стоп-слова, которые вы явно указали, как показано выше, cv.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *