Индукция магнитного поля показывает чему равна сила действующая на элемент: Тест по физике Основы электродинамики 11 класс

Содержание

Тест по физике Основы электродинамики 11 класс

Тест по физике Основы электродинамики. Магнитное поле 11 класс с ответами. Тест состоит из 2 вариантов. В каждом варианте по 6 заданий.

Вариант 1

A1. Индукция магнитного поля — это векторная физиче­ская величина, равная отношению:

1) силы, действующей на элемент длины проводника, помещенный в данную точку поля, к произведению силы тока на длину элемента
2) силы тока, действующей на элемент длины провод­ника, помещенный в данную точку поля, к произве­дению силы на длину элемента
3) напряжения, действующего на элемент длины про­водника, помещенный в данную точку поля, к про­изведению силы тока на длину элемента
4) напряжения, действующего на элемент длины про­водника, помещенный в данную точку поля, к про­изведению работы тока на длину элемента

А2. При увеличении тока в контуре в 4 раза индукция маг­нитного поля:

1) увеличится в 4 раза
2) уменьшится в 4 раза
3) увеличится в 16 раз
4) не изменится

А3. Три частицы влетели в однородное магнитное поле. На рисунке траектории их движения показаны штриховой линией.

Линии магнитной индукции направлены от наблюдателя. Отрицательный заряд имеет:

1) только частица 1
2) только частица 2
3) только частица 3
4) частицы 2 и 3

А4. Доказательством реальности существования магнит­ного поля может служить:

1) наличие источника поля
2) отклонение заряженной частицы, движущейся в поле
3) взаимодействие двух проводников с током
4) существование электромагнитных волн

В1. Горизонтальный проводник длиной l = 0,20 ми мас­сой m = 0,01 кг, подвешенный на двух тонких нитях, находится в однородном вертикальном магнитном поле с индукцией В = 0,25 Тл. На какой угол α от вертикали отклонятся нити, если по проводнику пропустить ток I = 2,0 А?

C1. Протон с энергией W = 1,0 МэВ влетел в однородное магнитное поле, перпендикулярное линиям индукции. Какой должна быть минимальная протяженность поля l в направлении движения протона, чтобы направление его движения изменилось на противоположное? (Магнитная индукция поля В = 1 Тл.)

Вариант 2

A1. Индукция магнитного поля показывает, чему равна:

1) сила, действующая на элемент проводника с током единичной длины, если по нему идет ток единичной силы
2) сила, действующая на проводник с током, если по нему идет ток единичной силы
3) сила тока, действующая на элемент проводника с то­ком единичной длины
4) сила тока, действующая на проводник с током единичной длины

А2. На рисунке изображен проводник с током. Символ «+» означает, что ток в проводнике направлен от наблю­дателя. Куда направлен вектор магнитной индукции поля в точке а?

1) только в направлении 1
2) только в направлении 2
3) в направлении 1 или 3
4) только в направлении 4

А3. В горизонтально расположенном проводнике длиной 50 см и массой 10 г сила тока равна 20 А. Найдите индук­цию магнитного поля, в которое нужно поместить провод­ник, чтобы сила тяжести уравновесилась силой Ампера.

1) 10-2 Тл
2) 10 Тл
3) 0,1 мТл
4) 100 Тл

А4. Для двух параллельных проводников, находящихся в вакууме, модуль силы взаимодействия между элемен­тами токов, на которые можно разложить любые участки проводников, прямо пропорционален токам, протекаю­щим по проводникам, длинам элементов и обратно про­порционален квадрату расстояния между ними — гласит закон:

1) Ампера
2) Фарадея
3) Ленца
4) Ньютона

В1. На горизонтальных рельсах, расстояние между ко­торыми l = 60 см, перпендикулярно им стоит стержень. Определите силу тока I, который надо пропустить по стержню, чтобы он начал двигаться. Рельсы и стержень находятся в однородном вертикальном поле с индукцией B = 0,6 Тл. Масса стержня m = 0,5 кг, коэффициент тре­ния стержня о рельсы µ = 0,1.

C1. Электрон, ускоренный разностью потенциалов U = 400 В, влетел в однородное магнитное поле с индукци­ей В = 1,5 мТл и описал дугу окружности. Найдите радиус этой окружности R.

Ответы на тест по физике Основы электродинамики. Магнитное поле 11 класс
Вариант 1
А1-1
А2-2
А3-1
А4-2
В1. 45°
С1. 14 см
Вариант 2
А1-1
А2-1
А3-1
А4-1
В1. 1,4 А
С1. 4,5 см

тестовая работа по физике для 11 класса за 1 полугодие | Тест по физике (11 класс) по теме:

1 вариант

А1. Индукция магнитного поля – это векторная физическая величина, равная отношению:

1. силы, действующей на элемент длины проводника, помещенный в данную точку поля, к произведению силы тока на длину элемента

2. силы тока,  действующей на элемент длины проводника, помещенный в данную точку  поля, к произведению силы на длину элемента

3. напряжения, действующей на элемент длины проводника, помещенный в данную точку поля, к произведению силы тока на длину элемента

4. напряжения, действующей на элемент длины проводника, помещенный в данную точку поля, к произведению работы тока на длину элемента

А2. Прямой проводник длиной 80 см движется в магнитном поле со скоростью 36 км/ч под углом 30º к вектору магнитной индукции. В проводнике возникает ЭДС 5 мВ. Чему равна магнитная индукция?

1. 3 мТл

2. 0,8 кТл

3. 2,5 мТл

4. 1,25 мТл

А3. Заряженная частица движется в магнитном поле  со скоростью υ. ( См. рисунок, точками указано направлении линий магнитной индукции к читателю.) В каком направлении отклонится частица?

1. вправо

2. влево

3. к нам

4. от нас

А4. Какой энергией обладает колебательный контур в моменты, когда заряд конденсатора максимален?

1. энергией электрического поля

2. энергией магнитного поля

3. энергией магнитного и электрического полей

4. энергией гравитационного, магнитного и электрического полей

А5. Сила тока в цепи изменяется по закону І = 3sin(20t). Чему равна частота электрических колебаний?

1. 3 Гц

2. 20 Гц

3. 20t Гц

4. 10/π Гц

А6. Ν1/Ν2 = К.Что такое К?

1. коэффициент пропорциональности

2. коэффициент трансформации

3. постоянная Больцмана

4. нет правильного ответа

А7. Как изменится период колебаний груза на пружине, если жесткость пружины уменьшить в 4 раза?

1. увеличится в 4 раза

2. увеличится в 2 раза

3. уменьшится в 2 раза

4. уменьшится в 4 раза

А8. Рыбак заметил, что гребни волны проходят мимо его лодки, стоящей на якоре, через каждые 6 с, а расстояние между соседними гребнями равно 20 см. Какова скорость волны?

1. 0,03 м/с

2. 3,3 м/с

3. 3,6 м/с

4. 0,06 м/с

        

В1. На каком диапазоне волн работает радиопередатчик, если емкость его колебательного контура может меняться от С1 = 60 пФ до С2 = 240 пФ, а индуктивность L = 50 мкГн?

С1. Протон с энергией W = 1,0 МэВ влетел в однородное магнитное поле, перпендикулярно  линиям индукции. Какой должна быть минимальная протяженность поля ℓ в направлении движения протона, чтобы направление его движения изменилось на противоположное? Магнитная индукция поля В = 1 Тл.

2 вариант

А1. Индукция магнитного поля показывает, чему равна:

1. сила, действующая на элемент проводника с током единичной длины, если по нему идет ток единичной силы

2. сила, действующая на проводник с током, если по нему идет ток единичной силы

3. сила тока, действующая на элемент проводника с током единичной длины

4. сила тока, действующая на проводник с током, если по нему идет ток единичной силы

А2. Чему равна ЭДС самоиндукции в катушке с индуктивностью 0,4 Гн при равномерном уменьшении силы тока с 15 до 10 А за 0,2 с?

1. 0

2. 10 В

3. 50 В

4. 0,4 В

А3. Куда направлена сила, действующая на проводник с током в магнитном поле. ( См. рисунок.)

1. вправо

2. влево

3. к нам

4. от нас

А4. . Какой энергией обладает колебательный контур в моменты, когда заряд конденсатора равен нулю?

1. энергией электрического поля

2. энергией магнитного поля

3. энергией магнитного и электрического полей

4. энергией гравитационного, магнитного и электрического полей

А5. Единицей измерения индуктивности в системе СИ является:

1. В/м

2. Гн

3. Дж/с*Гн

4. Ом/с

А6. Сила тока в первичной обмотке трансформатора 0,5 А, напряжение на ее концах 220 В. Сила тока во вторичной обмотке трансформатора 11 А, напряжение на ее концах 9,5 В. Найдите КПД трансформатора

1. 65 %

2. 75 %

3. 85 %

4. 95 %

А7. Математический маятник колеблется с частотой 100 Гц. За какое время маятник совершает 10 полных колебаний?

1. 10 с

2. 1 с

3. 0,1 с

4. 0,01 с

А8. Волна с частотой колебания распространяется в среде, в которой скорость волны равна 330 м/с. Чему равна длина волны?

1. 1 м

2. 2 м

3. 3 м

4. 3,5 м

В1. Какую электроемкость должен иметь конденсатор, чтобы колебательный контур радиоприемника, состоящего из этого конденсатора и катушки с индуктивностью L = 10 мГн, был настроен на волну λ = 1000 м?

С1. Электрон, ускоренный разностью потенциалов U = 400 В, влетел в однородное магнитное поле с индукцией В = 1,5 мТл и описал дугу окружности. Найдите радиус этой окружности R.

 

Тест с ответами по физике “Основы электродинамики” для 11 класса

1. Тела, в которых заряженные частицы не перемещаются:
а) диэлектрики +
б) полупроводники
в) проводники

2. Пылинка с зарядом 2 Кл влетает в вакууме в однородное магнитное поле со скоростью 500 м/с перпендикулярно линиям магнитной индукции. Величина магнитной индукции магнитного поля 6 Тл. Определите силу, действующую на пылинку со стороны магнитного поля:
а) 8 кН
б) 6 кН +
в) 7 кН

3. Электрон, ускоренный разностью потенциалов U = 400 В, влетел в однородное магнитное поле с индукци­ей В = 1,5 мТл и описал дугу окружности. Найдите радиус этой окружности R:
а) 45 см
б) 14,5 см
в) 4,5 см +

4. Тела, в которых заряженные частицы перемещаются свободно:
а) проводники +
б) диэлектрики
в) полупроводники

5. Индукция магнитного поля показывает, чему равна:
а) сила, действующая на проводник с током, если по нему идет ток единичной силы
б) сила тока, действующая на элемент проводника с током единичной длины
4) сила тока, действующая на проводник с током единичной длины
в) сила, действующая на элемент проводника с током единичной длины, если по нему идет ток единичной силы +

6. За единицу электрического заряда в СИ принимается:
а) Ампер
б) Кулон +
в) Вебер

7. Доказательством реальности существования магнитного поля может служить:
а) существование электромагнитных волн
б) взаимодействие двух проводников с током
в) отклонение заряженной частицы, движущейся в поле +

8. При увеличении тока в контуре в 4 раза индукция магнитного поля:
а) уменьшится в 4 раза +
б) увеличится в 4 раза
в) увеличится в 16 раз

9. Тела, в которых движение зарядов несколько затруднено (при определённых условиях движение свободно, при других – нет):
а) диэлектрики
б) проводники
в) полупроводники +

10. Индукция магнитного поля – это векторная физическая величина, равная отношению:
а) силы тока, действующей на элемент длины провод­ника, помещенный в данную точку поля, к произведению силы на длину элемента
б) силы, действующей на элемент длины проводника, помещенный в данную точку поля, к произведению силы тока на длину элемента +
в) напряжения, действующего на элемент длины проводника, помещенный в данную точку поля, к произведению силы тока на длину элемента

11. Как изменится сила тока, протекающего по проводнику, если напряжение на его концах и площадь поперечного сечения увеличить в 2 раза:
а) увеличится в 4 раза +
б) уменьшится в 4 раза
в) уменьшится в 2 раза

12. Сторонние силы действуют:
а) внутри источника тока
б) на всех участках цепи +
в) на внешних участках цепи

13. На какую длину волны рассчитан открытый колебательный контур, если он обладает индуктивностью 40 мГн и емкостью 1 мкФ:
а) 377 км +
б) 400 км
в) 377 м

14. В проводнике индуктивностью 5 мГн сила тока в течение 0,2 с равномерно возрастает с 2 А до какого-то конечного значения. При этом в проводнике возбуждается ЭДС самоиндукции, равная 0,2 В. Определите конечное значение силы тока в проводнике:
а) 6 А
б) 20 А
в) 10 А +

15. Как изменится сила кулоновского взаимодействия между двумя маленькими заряженными частицами, если величина заряда частиц увеличится в 5 раз:
а) увеличится в 25 раз +
б) уменьшится в 25 раз
в) увеличится в 5 раз

16. Какой процесс объясняется явлением электромагнитной индукции:
а) отклонение магнитной стрелки вблизи проводника с током
б) появление тока в замкнутой катушке при опускании в нее постоянного магнита +
в) взаимодействие двух проводников с током

17. За единицу электроёмкости в СИ принимается:
а) Вебер
б) Кулон
в) Фарад +

18. Почему энергию электростатического поля считают потенциальной:
а) потому что существует разность потенциалов
б) потому что работа кулоновских сил не зависит от формы траектории движения зарядов +
в) потому что энергия измеряется в джоулях

19. Прибор для накопления зарядов и электрической энергии:
а) генератор
б) камера Вильсона
в) конденсатор +

20. Какой процесс объясняется явлением электромагнитной индукции:
а) отклонение магнитной стрелки вблизи проводника с током
б) появление тока в замкнутой катушке при опускании в нее постоянного магнита +
в) взаимодействие двух проводников с током

21. Проводник находится в однородном магнитном поле с индукцией 1 Тл. Длина проводника 0,1 м. Какой ток надо пропустить по проводнику, чтобы он выталкивался из этого поля с силой 2,5 Н? Угол между проводником с током и вектором магнитной индукции равен 30°:
а) 50 А +
б) 45 А
в) 67 А

22. Чему равно электрическое сопротивление участка цепи постоянного тока, если сила тока в цепи 4А, а напряжение на концах участка 2В:
а) 0.5 Ом +
б) 1 Ом
в) 1.5 Ом

23. Укажите силовую характеристику электрического поля:
а) потенциал
б) кулоновская сила
в) напряжённость +

24. Как изменится количество теплоты, выделяемое за единицу времени в проводнике с постоянным сопротивлением, если сила тока увеличится в 4 раза:
а) увеличится в 16 раз +
б) увеличится в 4 раза
в) уменьшится в 16 раз

25. В однородное магнитное поле с индукцией 7 Тл в вакууме влетает пылинка, несущая заряд 0,1 Кл, со скоростью 800 м/с и под углом 30° к направлению линий магнитной индукции. Определите силу, действующую на пылинку со стороны магнитного поля:
а) 300 Н
б) 345 Н
в) 280 Н +

26. Какими носителями создаётся электрический ток в металлах:
а) положительными и отрицательными ионами
б) электронами и положительными ионами
в) только электронами +

27. Катушка диаметром 20 см, имеющая 50 витков, находится в переменном магнитном поле. Найдите скорость изменения индукции поля в тот момент, когда ЭДС индукции, возбуждаемая в обмотке, равна 100 В:
а) 63,7 Тл/с +
б) 73,7 Тл/с
в) 66,7 Тл/с

28. Как изменится сила кулоновского взаимодействия между двумя маленькими заряженными частицами, если расстояние между ними увеличится в 5 раз:
а) увеличится в 25 раз
б) увеличится в 5 раз
в) уменьшится в 25 раз +

29. С помощью какого опыта можно показать возникновение индукционного тока:
а) проводник, концы которого присоединены к гальванометру, надо двигать вдоль магнитных линий +
б) проводник, концы которого присоединены к гальванометру, надо поместить в магнитное поле
в) оба варианта верны

30. Когда металлический стержень присоединили к одному из полюсов источника тока, то вокруг него образовалось поле:
а) при таком условии поле не образуется
б) электрическое +
в) магнитное

Высшее образование БГПУ

Сила Ампера. Сила взаимодействия параллельных токов. Контур с то-ком в магнитном поле. Магнитный момент тока. Действие электриче-ского и магнитного полей на движущиеся заряды. Сила Лоренца. Опре-деление удельного заряда электрона. Эффект Холла и его применение. Принцип работы магнитогидродинамических генераторов.

20.1. Сила Ампера. Взаимодействие параллельных токов

При исследовании действия магнитного поля на расположенный в нем прямолинейный проводник с током французский физик А. Ампер пришел к выводу, что модуль этой силы можно рассчитать по формуле

                                                      .                                            (20.1)

Позднее эта сила была названа силой Ампера, а формула – законом Ампера. Направление силы Ампера определяется по правилу левой руки: если левую руку расположить так, чтобы нормальная к проводнику составляющая B вектора индукции магнитного поля B входила в ладонь, четыре вытянутых пальца были направлены по току, то отогнутый на 90° большой палец покажет направление силы Ампера, которая действует на проводник с током (рис.20.1).

 

Рис. 20.1

На основе закона Ампера можно объяснить взаимодействие параллельных проводников с током (рис.20.2).

 

Рис. 20.2

 

Ток I1 создает в месте расположения проводника с током I2 магнитное поле B1, которое действует на ток I2 с силой F12=B1I2l. Ток I2 в свою очередь также создает магнитное поле, индукция которого в месте расположения проводника с током I1 равна B2. Это поле действует на ток I1 с силой F21=B2I1l. Силы F12 и F21 находятся в одной плоскости с проводниками и являются силами притяжения, если токи направлены в одну сторону, и силами отталкивания, если токи направлены в противоположные стороны (рис.20.2).

Если расстояние между проводниками равно d, то индукция магнитного поля, созданного током I1 в тех точках пространства, где находится второй проводник,

                                                          .                                               (20. 2)

Соответственно индукция магнитного поля, созданного током I2 в тех точках пространства, где расположен первый проводник,

                                                         .                                               (20.3)

Таким образом, для проводников длиной l:

                                                    .                                         (20.4)

Если проводники находятся в вакууме (μ=1) на расстоянии d=1 м м и токи в них одинаковые и равны единице, то сила взаимодействия между участками проводников длиной по 1 м F00/2π=2·10–7 Н. Эта формула используется для определения единицы силы тока – ампера – в СИ.

20.2. Контур с током в магнитном поле

Поместим замкнутый контур с током в однородное магнитное поле. Пусть плоскость контура перпендикулярна линиям индукции поля. Если разделить контур на элементы dl, то на каждый из них действует сила dF=IBdl, которая лежит в плоскости контура и направлена к его центру (рис. 20.3).

 

Рис. 20.3

Если изменить направление тока на противоположное, то сила dF будет направлена в противоположную сторону (рис.20.4).

 

Рис. 20.4

Значит, силы, которые действуют на замкнутый контур с током в однородном перпендикулярном магнитном поле, могут только деформировать его (растянуть или сжать). Перемещение контура при этом не происходит.

Если расположить контур параллельно направлению линий магнитной индукции (рис.20.5), то на контур будет действовать вращательный момент сил M. Под действием этого момента контур поворачивается так, чтобы его плоскость стала перпендикулярной линиям магнитной индукции.

 

Рис. 20.5

Определим величину вращательного момента. Для этого разделим контур на малые элементы Δl. Выделим два элемента Δl1 и Δl2, заключенные между двумя параллельными линиями магнитной индукции, отстоящими друг от друга на расстоянии Δh. На эти элементы со стороны поля действуют силы ΔF1 и ΔF2, направленные соответственно перпендикулярно плоскости контура «от нас» и «к нам». Модули этих сил равны: ΔF1=IBΔl1sinα1 и ΔF2=IBΔl2sinα2. Если учесть, что Δl1sinα1h, а Δl2sinα2h, то очевидно, что эти силы равны по модулю и направлены в противоположные стороны. Они образуют пару сил, момент которой ΔMFx=IBΔhx=IBΔS, где x – среднее расстояние между элементами Δl1 и Δl2, ΔS=Δhx – площадь, ограниченная линиями магнитной индукции и элементами контура Δl1 и Δl2. Очевидно, что весь контур состоит из суммы всех пар элементов. Поэтому суммарный момент действующий на контур, равен

.

Если контур расположен в магнитном поле так, что угол между его нормалью n и вектором магнитной индукции B поля равен β, то под действием проекции вектора B на нормаль к контуру равную B=Bcosβ контур будет растягиваться (сжиматься), а под действием проекции B на плоскость контура Bsinβ – поворачиваться.

Поэтому в общем случае формула расчета вращательного момента имеет вид:

                                                     .                                           (20.5)

Как уже отмечалось, величину pm=IS называют магнитным моментом контура с током. Это величина векторная, и она совпадает по направлению с еди­ничным вектором нормали n: pm=ISn. Тогда формулу (20.5) можно записать в векторном виде:

                                                      .                                           (20.6)

Если контур с током поместить в неоднородное магнитное поле, то кроме ориентирующего действия вращательного момента на контур будет действовать сила f в направлении возрастания магнитного поля (рис.20.6).

g

Рис. 20.6

Эта сила является равнодействующей всех сил dF на каждый элемент тока со стороны составляющей поля B. Расчет показывает, что модуль силы, которая действует на весь контур, равен:

                                     ,                          (20.7)

где α – угол между векторами pm и B;  – градиент индукции магнитного поля.

20.3. Сила Лоренца

Как уже отмечалось, на проводник с током, который находится в магнитном поле, действует сила Ампера FA=IBlsinα. Поскольку ток представляет упорядоченное движение свободных электрических зарядов, то это означает, что магнитное поле действует на каждый из этих зарядов. Сила, действующая на заряд, который движется в магнитном поле, называется силой Лоренца. Х.Лоренц (1853–1928), нидерландский физик, создатель классической электронной теории.

Если учесть, что сила тока в проводнике

,

где q – заряд носителей тока; n – концентрация носителей тока; υ – скорость их упорядоченного движения; S – площадь поперечного сечения проводника, то формула (20.1) примет вид:

.

Силу Лоренца можно выразить, как

,

где N – общее количество носителей тока в проводнике (N=nV=nSl). С учетом того, что Sl=V (V – объем проводника):

                                                      ,                                           (20. 8)

где α – угол между направлением вектора индукции магнитного поля и направлением вектора скорости движения положительного заряда. Направление силы Лоренца, как и силы Ампера, также определяется по правилу левой руки.

20.4. Определение удельного заряда электрона

Под действием силы Лоренца частицы, обладающие электрическим зарядом, движутся в магнитном поле по криволинейным траекториям. Причем если скорость частицы υ B, то траектория ее движения в магнитном поле представляет окружность (рис.20.7).

 

Рис. 20.7

Определив радиус этой окружности, скорость частицы и величину индукции магнитного поля, можно рассчитать удельный заряд этой частицы. Этот метод используется для определения удельного заряда электрона.

Так, ввиду малости величины силы тяжести, действующей на электрон, движущийся в перпендикулярном магнитном поле, можно записать в соответствии со вторым законом Ньютона:

 или ,

откуда радиус окружности равен

,

а удельный заряд электрона:

                                                          .                                                (20.9)

Для определения скорости необходимо знать ускоряющую разность потенциалов электрического поля. Известно, что на заряженную частицу со стороны электрического поля действует сила

,

где q – заряд частицы, E – напряженность электрического поля. Если скорость частицы υ<<c и электрическое поле является однородным, то она будет двигаться в поле с постоянным ускорением.

Если скорость частицы в момент включения электрического поля равна нулю, то изменение ее кинетической энергии происходит за счет работы сил поля, т.е.

,

где U – напряжение между точками входа и выхода частицы из электрического поля. Поэтому скорость частицы при выходе из электрического поля

                                                         .                                            (20.10)

С учетом (20.10)выражение (20.9) примет вид:

                                                          .                                              (20.11)

Опыты, проведенные таким образом, позволили рассчитать отношение

Если заряженная частица влетает в магнитное поле так, что направление ее скорости υ образует с вектором индукции магнитного поля B угол α (причем α≠0, α≠π), то траектория движения частицы представляет винтовую линию (рис.20.8).

 

Рис. 20.8

На частицу, которая движется вдоль линий индукции магнитного поля со скоростью υy, сила Лоренца не действует.

Перпендикулярная составляющая скорости υx обеспечивает движение частицы по окружности радиуса R. Таким образом, под действием двух составляющих скорости υy и υx частица движется по винтовой линии.

Радиус винтовой траектории согласно формуле (20.9) будет равен:

                                                       ,                                          (20. 12)

а шаг винта

                                                      ,                                         (20.13)

где  – период обращения по окружности радиуса R.

Как уже отмечалось ранее, электрическое и магнитное поля являются частями единого электромагнитного поля. Поэтому в произвольной системе отсчета полная сила, с которой электромагнитное поле действует на заряженную частицу, равна векторной сумме электрической Fэ и магнитной Fм составляющих, т.е.

.

 

20.5. Эффект Холла

Если пластинку, вдоль которой течет постоянный ток, поместить в перпендикулярное к ней магнитное поле, то между гранями, параллельными направлению тока и поля, возникает разность потенциалов. Это явление впервые исследовал американский физик Е.Холл (1811–1890) в 1879 г., и оно впоследствии было названо эффектом Холла (рис.20.9).

 

Рис. 20.9

Экспериментально определено, что разность потенциалов Холла определяется по формуле:

                              ,                  (20.14)

где b – ширина пластинки, j – плотность тока, B – магнитная индукция поля, R – коэффициент пропорциональности, который называется постоянной Холла.

Эффект Холла можно объяснить согласно электронной теории. Если магнитное поле отсутствует, ток в пластинке обусловлен электрическим полем E0 (рис.20.10).

 

Рис. 20.10

Потенциал во всех точках поверхности одинаков, в том числе и в точках 1 и 2. Электроны как носители отрицательного заряда двигаются со скоростью υ против вектора плотности тока j. При включении магнитного поля на каждый электрон действует сила Лоренца, направленная вдоль стороны b и численно равная Fл=eυB. Поэтому электроны приобретают составляющую скорости, которая направлена к верхней грани пластинки. Значит, на этой грани накапливается отрицательный заряд, на нижней – положительный. Таким образом, возникает поперечное электрическое поле EB. Если сила FB=eEB уравновесит силу Лоренца Fл=eυB, то установится стационарное равновесие: eEB=eυB. Откуда EB=υB. Результирующее поле E равно векторной сумме полей E0 и EB. Так как эквипотенциальные линии перпендикулярны вектору напряженности поля E, то точки 1 и 2, которые ранее лежали на одной эквипотенциальной поверхности, уже имеют разный потенциал.

Значит, разность потенциалов между этими точками равна:

                                               .                                   (20.15)

Сравнивая выражения (20.14) и (20.15), определим постоянную Холла:

                                                           .                                              (20.16)

Из формулы (20.14) следует, что величина постоянной Холла, как и разности потенциалов Холла, зависит от концентрации носителей заряда в проводящей пластинке. Так как концентрация носителей тока в полупроводниках значительно меньше, чем в металлах, то и эффект Холла в полупроводниках наблюдать легче.

Эффект Холла используется в датчиках Холла, которые используют для измерения напряженности постоянных и переменных магнитных полей, силы и мощности электрического тока, превращения постоянного ток в переменный, модулирования и детектирования сигналов, анализа спектра частот, «чтения» магнитных записей и во многих элементах автоматики и вычислительной техники.

20.6. Принцип работымагнитогидродинамических генераторов

Магнитогидродинамический (МГД) генератор – энергетическая установка, в которой тепловая энергия рабочего тела (плазмы) превращается в электрическую. Принцип работы МГД-генератора основан на взаимодействии магнитного поля с заряженными частицами, которые движутся в нем (рис.20.11).

 

Рис. 20.11

Если создать поток плазмы в магнитном поле, линии индукции B которого перпендикулярны скорости зарядов υ, то под действием силы Лоренца произойдет их разделение. Это значит, положительные заряды магнитным полем будут отклоняться в одну сторону, а отрицательные – в другую. В результате один электрод заряжается положительно, а второй – отрицательно. Между ними возникает разность потенциалов. Если электроды соединить проводником, то в нем возникнет электрический ток.

Использование МГД-генераторов является перспективным направлением развития тепловой энергетики, так как позволяет получать КПД 60 %, в то время как КПД тепловых станций достигает 40 %. Органическое топливо, которое используется в МГД-генераторах, вместе с нагретым воздухом поступает в камеру сгорания с температурой 3000°C. Там они превращаются в плазму. С целью увеличения электропроводности плазмы в нее могут добавлять специальные присадки – соли калия или цезия, уменьшающие выброс серы в атмосферу, тем самым решая часть экологических проблем.

 

ФИЗИКА Конспект лекций по разделу Основы электродинамики Часть III ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ для студентов 1 курса всех форм обучения

Министерство образования, науки и молодежной политики Краснодарского края

ГБПОУ КК «Колледж Ейский»

ФИЗИКА

Конспект лекций

по разделу Основы электродинамики

Часть III

ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ

для студентов 1 курса всех форм обучения

Ейск

2016

Рассмотрено на

заседании ПЦК математических

и естественнонаучных дисциплин

Протокол №___

от «___»___________2016г.

Председатель ПЦК__________Л.С.Черных

Рассмотрено

ОМК ГБПОУ КК

«Колледж Ейский»

_________Е.Н.Литвинова

Протокол №___

от «___»_______2016г.

Конспект лекций по физике состоит из трех частей: Электростатика, Постоянный ток, Электромагнетизм, в которых в доступной форме излагаются физические основы электродинамики. Данный конспектнацелен на систематизацию и конкретизацию знаний, приобретенных в процессе изучения учебной дисциплины Физика, и содержит материал, достаточный для успешного прохождения студентами текущей и промежуточной аттестации.

Конспект лекций подготовлен согласно тематике рабочей программы учебной дисциплины и включает широкий спектр вопросов для самоконтроля.

СОДЕРЖАНИЕ

Электромагнетизм

Тема 3.1. Магнитное поле в вакууме

Лекция 18. Магнитное поле и его основные характеристики4

Лекция 19. Закон Био-Савара-Лапласа8

Тема 3.2. Магнитное поле в веществе

Лекция 20. Описание магнитного поля в веществе16

Лекция 21. Магнетики21

Тема 3.3. Действие магнитного поля на токи и заряды

Лекция 22. Закон Ампера29

Лекция 23. Сила Лоренца33

Тема 3.4. Электромагнитная индукция

Лекция 24. Явление электромагнитной индукции40

Лекция 25. Самоиндукция. Индуктивность45

Лекция 26. Энергия магнитного поля49

Список использованных источников55

Электромагнетизм

Тема 3.1. Магнитное поле в вакууме

Лекция № 18. Магнитное поле и его основные характеристики

Цель: ознакомиться с понятием «магнитое поле»; изучить свойства магнитного поля и его характеристики.

Основные понятия:

Магнитное (магнитостатическое) поле – частный случай электромагнитного поля постоянных магнитов или постоянных токов; силовое поле, действующее на движущиеся электрические заряды и на тела, обладающие магнитным моментом, независимо от состояния их движения.

Магнитный момент – физическая величина, определяющая магнитные свойства контура с током, равная произведению силы тока, протекающего по контуру, на площадь последнего, и направленная по нормали к данному контуру.

Магнитная индукция – физическая величина, являющаяся силовой характеристикой магнитного поля, равная отношению максимального механического момента сил, действующих на контур с током, помещенный в данное поле, к магнитному моменту этого контура.

Магнитное поле проявляется тогда, когда имеется электрическое поле и когда при этом электрическое поле перемещается. Например, магнитным полем всегда окружен проводник, по которому идет ток. Оно создается также током в электролитах, электрическими разрядами в газах, катодными и анодными лучами. Оно проявляется при движении наэлектризованных тел, при движении электронов в атомах, при вибрациях атомных ядер в молекулах, при изменении ориентации элементарных диполей в диэлектриках и т. д.

Магнитное поле порождается движением электрического поля. Если электрическое поле перемещается, то в той области, где перемещается электрическое поле, всегда возникает магнитное поле. Магнитное поле возникает также всегда, когда изменяется напряженность электрического поля.

Магнитное поле – это та же форма материи, которая представляет собой основу электрического поля, но в состоянии иных скрытых движений, возникающих вследствие перемещения электрического поля и проявляющихся в пространстве (даже в совершенном вакууме) в виде особого рода сил, которые легко распознаются по своему действию на магниты либо на проводники с током.

Хотя, т. о., природа магнитного поля более сложна, чем природа электрического поля, но исторически магнитные силы были открыты и стали использоваться раньше, чем электрические.

Магнитные свойства постоянных магнитов, их способность притягивать железные предметы были известны еще древним грекам. Земля также является магнитом, и явления земного магнетизма были использованы китайцами для создания компаса, т. е. свободно вращающейся магнитной стрелки, указывающей ориентацию стран света.

В пространстве, окружающем намагниченные тела, возникает магнитное поле (магнитное поле и в данном случае связано с движением зарядов – с микротоками внутри намагниченных тел). Помещенная в это поле маленькая магнитная стрелка устанавливается в каждой его точке вполне определенным образом, указывая тем самым направление поля. Тот конец стрелки, который в магнитном поле Земли указывает на север, называется северным, а противоположный конец – южным. При отклонении стрелки от направления магнитного поля на стрелку действует механический крутящий момент, стремящийся повернуть ее вдоль указанного направления.

Как мы видим, взаимодействие постоянных магнитов отличается от взаимодействия электрических зарядов, но сходно с взаимодействием электрических диполей, испытывающих в однородном электрическом поле результирующий момент сил, но не силу. Подобно электрическому диполю, постоянный магнит в однородном магнитном поле стремится повернуться по полю, но не перемещается в нем.

Существенное отличие постоянных магнитов от электрических диполей заключается в следующем. Электрический диполь всегда состоит из зарядов, равных по величине и противоположных по знаку. Эти заряды можно отделить друг от друга и расположить на различных телах, например, разрезав диполь пополам по плоскости, перпендикулярной к оси диполя. Постоянный же магнит, будучи разрезан таким образом пополам, превращается в два меньших магнита, каждый из которых имеет и северный и южный полюсы. Никакое деление не дает возможности получить отдельно источники северного и южного магнетизма – магнитные заряды. Причина этого состоит в том, что «магнитных зарядов» в природе не существует.

В 1820 г. Эрстед открыл явление отклонения магнитной стрелки гальваническим током и тем самым сделал первый существенный шаг в выяснении характера связи электрических и магнитных явлений. Затем Гей-Люссак и Араго наблюдали намагничение железа постоянным током, идущим в проводнике. Ампер обнаружил притяжение между проводами, по которым проходят параллельные токи, и отталкивание между противоположно направленными токами. Им же была выдвинута гипотеза о том, что свойства постоянных магнитов обусловлены циркулирующими в их толще постоянными круговыми токами (молекулярными токами).

Многочисленные последующие опыты показали, что магнитное поле тесно связано с электрическим током. Электрический ток порождает в пространстве вокруг себя магнитное поле, а проходя в магнитном поле другого тока, испытывает со стороны последнего механические воздействия.

П одобно тому, как для исследования электрического поля мы использовали пробный точечный заряд, применим для исследования магнитного поля пробный ток, циркулирующий в плоском замкнутом контуре очень малых размеров. Ориентацию контура в пространстве будем характеризовать направлением нормали к контуру, связанной с направлением тока правилом правого винта. Такую нормаль мы будем называть положительной.

Внеся пробный контур в магнитное поле, мы обнаружим, что поле оказывает на контур ориентирующее действие, устанавливая его положительной нормалью в определенном направлении. Примем это направление за направление поля в данной точке. Если контур повернуть так, чтобы направления нормали и поля не совпадали, возникает вращательный момент, стремящийся вернуть контур в равновесное положение. Величина момента зависит от угла между нормалью и направлением поля, достигая наибольшего значения Мmах при = 90 (при = 0 момент равен нулю).

Вращательный момент зависит как от свойств поля в данной точке, так и от свойств контура. Внося в одну и ту же точку разные пробные контуры, мы обнаружим, что величина Мmах пропорциональна силе тока I в контуре и площади контура S и совершенно не зависит от формы контура. Таким образом, действие магнитного поля на плоский контур с током определяется величиной

pm = IS,

которую называют магнитным моментом контура (аналогично вращательный момент, действующий в электрическом поле на диполь, пропорционален электрическому моменту диполя р = ql).

Кроме силы тока I и площади S, контур характеризуется также ориентацией в пространстве. Поэтому магнитный момент следует рассматривать как вектор, направление которого совпадает с направлением положительной нормали:

,

( – единичный вектор).

Введенное выше понятие о магнитном моменте плоского контура с током можно распространить также и на контур тока, имеющий произвольную форму:

,

где – единичный вектор нормали к элементарному участку dS поверхности S, ограниченной контуром, I – сила тока в контуре.

Очевидно, что в случае плоского контура поверхностьS тоже плоская и все векторы одинаково направлены (из конца вектора ток в контуре должен быть виден идущим против часовой стрелки). Поэтому

и.

На пробные контуры, отличающиеся значением, действуют в данной точке поля разные по величине вращательные моменты Мmах. Однако отношение Мmах / pm будет для всех контуров одно и то же и может быть принято для количественной характеристики поля. Физическую величинуВ, пропорциональную этому отношению, называют магнитной индукцией:

.

Магнитная индукция – вектор, направление которого определяется равновесным направлением положительной нормали к пробному контуру (мы назвали его направлением поля). Последняя формула определяет модуль вектора .

Направление вектора определяется из выражения для вращательного момента, действующего на контур с током в магнитном поле

,

причем модуль , а максимальное значение модуль будет принимать при = 90:.

Помимо макроскопических токов, идущих в проводниках, в любом теле существуют микроскопические токи, создаваемые движением электронов в атомах и молекулах. Эти микроскопические молекулярные токи создают свое магнитное поле и могут поворачиваться в магнитных полях внешних токов.

Поле вектора можно представить наглядно с помощью линий магнитной индукции – линий, проведенных в магнитном поле так, что вектор в каждой точке этой линии направлен по касательной к ней.

Для примера на рисунках представлены линии магнитной индукции стержневого магнита и кругового тока.

Из сказанного вытекает, что характеризует силовое действие магнитного поля на ток и, следовательно, является аналогом напряженности электрического поля , которая характеризует силовое действие электрического поля на заряд.

Вопросы для самоконтроля:

1. Что называется магнитным полем?

2. Что называется магнитным моментом контура с током?

3. Какая величина является силовой характеристикой магнитного поля? Дайте ее определение.

4. Что называется линиями магнитной индукции? Как устанавливается их направление? Нарисуйте линии магнитной индукции для простейших магнитных полей.

5. В чем состоит гипотеза Ампера о природе магнетизма?

Лекция № 19. Закон Био-Савара-Лапласа

Цель: познакомить обучающихся с методами нахождения индукции магнитного поля по известному распределению токов, применить их для расчета индукции заданных токов.

Основные понятия:

Магнитный диполь – круговой ток, поле которого рассматривается на расстояниях, значительно превышающих размер последнего.

Циркуляция вектора магнитной индукции – интеграл по замкнутому контуру .

Вихревое поле – силовое поле, не имеющее источников, а порождаемое вихрями.

Соленоид – намотанный на цилиндрическую поверхность изолированный проводник, по которому течёт электрический ток.

Тороид – свернутый в тор соленоид.

19.1. Магнитное поле элемента тока и принцип суперпозиции.

Одной из основных задач электромагнетизма является расчет магнитных полей по заданным токам.

Ж . Био и Ф. Савар провели в 1820 г. исследование магнитных полей токов различной формы. Они установили, что магнитная индукция во всех случаях пропорциональна силе тока, создающего магнитное поле, и более или менее сложным образом зависит от расстояния до той точки, в которой определялась . П. Лаплас проанализировал экспериментальные данные, полученные Био и Саваром, и нашел, что магнитное поле любого тока может быть вычислено как векторная сумма (суперпозиция) полей, создаваемых отдельными элементарными участками тока. Для магнитной индукции поля, создаваемого элементом тока длины dl, Лаплас получил формулу

.

гдеI – сила тока, – вектор, совпадающий с элементарным участком тока и направленный в ту сторону, в какую течет ток, – вектор, проведенный от элемента тока в ту точку, в которой определяется ,r – модуль этого вектора, скалярная величина 0=410-7Тлм/А, характерная для вакуума, называется магнитной постоянной.

Данное соотношение носит название закона Био-Савара- Лапласа.

Направлен вектор перпендикулярно к плоскости, проходящей через и точку, в которой вычисляется поле, причем так, что вращение вокруг в направлении связано с правилом правого винта. Для модуля можно написать следующее выражение:

,

где – угол между векторами и. Единица магнитной индукции в СИ называется тесла (Тл).

Полная индукция находится суммированием по всем элементам тока, связанного с полем:

.

Последняя формула выражает принцип суперпозиции для магнитного поля, согласно которому индукция результирующего магнитного поля есть векторная сумма индукций полей, создаваемых отдельными элементами тока.

Рассмотрим несколько примеров применения закона Био-Савара-Лапласа.

1 ) Рассмотрим поле, создаваемое током, текущим по бесконечному прямому проводу. Все в данной точке имеют одинаковое направление (в нашем случае за чертеж). Поэтому сложение векторов можно заменить сложением их модулей. Точка, для которой мы вычисляем магнитную индукцию, находится на расстоянии b от провода. Из рисунка видно, что

,.

Подставим эти значения в формулу для :

.

У гол для всех элементов бесконечного прямого тока изменяется в пределах от 0 до . Следовательно,

.

Линии магнитной индукции поля прямого тока представляют собой систему охватывающих провод концентрических окружностей.

2 ) Рассмотрим поле, создаваемое током, текущим по тонкому проводу, имеющему форму окружности радиуса R (круговой ток). Определим магнитную индукцию в центре кругового тока. Каждый элемент тока создает в центре индукцию, направленную вдоль положительной нормали к контуру. Поэтому векторное сложение сводится к сложению их модулей. По формуле для

( ). Проинтегрируем это выражение по всему контуру:

.

Т еперь найдем на оси кругового тока, на расстоянии х от плоскости, в которой лежит контур. Векторы перпендикулярны к плоскостям, проходящим через соответствующие и. Следовательно, они образуют симметричный конический веер. Из соображений симметрии можно заключить, что результирующий вектор направлен вдоль оси тока. Каждый из составляющих векторов вносит в результирующий вектор вклад, равный по модулю . Угол между и прямой, поэтому

.

Проинтегрировав по всему контуру и заменив r на , получим

.

Прих = 0 эта формула переходит для магнитной индукции в центре кругового тока.

Площадь, охватываемая круговым витком . Поэтому магнитная индукция в произвольной точке C оси кругового витка с током

.

Т. к. произведение тока I в витке на площадь S этого витка есть магнитным моментом pm витка с током, то

.

С учетом того, что магнитный момент – векторная величина, направленная вдоль оси витка с током в ту же сторону, что и индукция его магнитного поля, выражение для последней можно записать в векторном виде:

.

Если точка С лежит далеко от центра кругового тока, т. е. x >> R, то величиной R в знаменателе правой части последней формулы можно пренебречь:

.

Д анная формула по виду аналогична выражению для напряженности электрического поля в точках, лежащих на оси электрического диполя достаточно далеко от него. Поэтому магнитное поле кругового тока часто рассматривают как магнитное поле некоторого условного «магнитного диполя», причем положительным или северным полюсом называют ту сторону плоскости витка, из которой линии магнитной индукции выходят, а отрицательным или южным магнитным полюсом – ту сторону плоскости витка, в которую они входят.

На рисунке изображены линии магнитной индукции поля кругового тока. Даны лишь линии, лежащие в одной из плоскостей, проходящих через ось тока. Подобная же картина имеет место в любой из этих плоскостей.

19.2. Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции.

Закон Био-Савара-Лапласа удобно применять для нахождения индукции магнитного поля не во всех случаях. Иногда значительно удобнее применять теорему о циркуляции вектора магнитной индукции. Теорема о циркуляции тесно связана с законом Био-Савара-Лапласа, выводится из него и по сути эквивалентна последнему.

Данная теорема гласит, что циркуляция вектора магнитной индукции по замкнутому контуру равна полному току, охватываемого контуром, умноженному на 0:

,

гдеI – сила полного тока, охватываемого контуром. Если сила полного тока равна нулю, то и циркуляция равна нулю. Этот случай реализуется не только тогда, когда контур не охватывает никакого тока, но и тогда, когда охватываемые токи текут в противоположных направлениях и в сумме дают нуль. Например, циркуляция по контуру, охватывающему два равных по силе тока, текущих в противоположных направлениях, равна нулю. В последней формуле знак тока I учитывается по следующему правилу: если направление обхода контура и направление тока связаны правилом правого винта, то знак I положителен. В противном случае знак I отрицателен.

Величины и являются основными силовыми характеристиками соответствующих полей. Сопоставление выражений для циркуляции и позволяет заключить, что между этими полями имеется принципиальное различие. Циркуляция напряженности электростатического поля всегда равна нулю, следовательно, электростатическое поле потенциально и может быть охарактеризовано потенциалом. Циркуляция магнитной индукции отлична от нуля, если контур, по которому берется циркуляция, охватывает ток. Поля, обладающие таким свойством, называются вихревыми (или соленоидальными). Магнитному полю нельзя приписать потенциал, который был бы связан с магнитной индукцией соотношением, аналогичным формуле . Этот потенциал не был бы однозначным – после каждого обхода по контуру, охватывающему ток, и возвращения в первоначальную точку он получал бы приращение, равное 0I.

Далее, линии напряженности электростатического поля начинаются и заканчиваются на зарядах. Как показывает опыт, линии магнитной индукции, напротив, всегда замкнуты. Это указывает на то, что магнитных зарядов в природе не существует.

Применим теорему о циркуляции для вычисления магнитной индукции поля бесконечно длинного соленоида. Соленоид представляет собой тонкий провод, навитый плотно, виток к витку, на цилиндрический каркас. В отношении создаваемого им поля соленоид эквивалентен системе одинаковых круговых токов с общей прямой осью. Бесконечно длинный соленоид симметричен относительно любой перпендикулярной к его оси плоскости. Взятые попарно симметричные относительно такой плоскости витки создают поле, магнитная индукция которого перпендикулярна к плоскости. Следовательно, в любой точке внутри и вне соленоида вектор может иметь лишь направление, параллельное оси.

В озьмем прямоугольный контур 1–2–3–4. Циркуляцию по этому контуру можно представить следующим образом:

.

Из четырех интегралов, стоящих в правой части, второй и четвертый равны нулю, так как вектор перпендикулярен к участкам контура, по которым они берутся. Взяв участок 3–4 на большом расстоянии от соленоида (где поле заведомо должно быть очень слабым), третьим слагаемым можно пренебречь. Следовательно, можно утверждать, что

,

здесьВ – магнитная индукция поля в тех точках, где располагается отрезок 1–2, l – длина этого отрезка.

Если отрезок 1–2 проходит внутри соленоида на любом расстоянии от его оси, контур охватывает суммарный ток nlI, где n – число витков соленоида, приходящееся на единицу его длины, I – сила тока в соленоиде (произведениеnI называется числом ампер-витков на метр). Поэтому согласно теореме о циркуляции

,

откуда

.

Отметим, что полученный результат не зависит от того, на каком расстоянии от оси (но внутри соленоида) располагается отрезок 1–2. Если этот отрезок располагается вне соленоида, то охватываемый контуром ток равен нулю, вследствие чего

,

откудаВ = 0. Таким образом, вне бесконечно длинного соленоида магнитная индукция равна нулю, внутри – всюду одинакова и имеет величину . По этой причине в учении о магнетизме бесконечно длинный соленоид играет такую же роль, как плоский конденсатор в учении об электричестве. В обоих случаях поле однородно и полностью заключено внутри конденсатора (электрическое) и внутри соленоида (магнитное).

О бе половины бесконечно длинного соленоида принимают равное участие в создании поля . Поэтому, если половину соленоида убрать, то у конца оставшегося «полубесконечного» соленоида магнитная индукция будет равна половине значения поля бесконечного соленоида:

.

Практически, если длина соленоида значительно больше, чем его диаметр, формула будет справедлива для точек в средней части соленоида, а формула для точек вблизи его концов.

На рисунке показана примерная картина линий магнитной индукции для соленоида конечной длины.

Т ороид представляет собой тонкий провод, плотно навитый на каркас, имеющий форму тора. Он эквивалентен системе одинаковых круговых токов, центры которых расположены по окружности. Возьмем контур в виде окружности радиуса r, центр которой совпадает с центром тороида. В силу симметрии вектор в каждой точке должен быть направлен по касательной к контуру. Следовательно,

.

гдеВ – магнитная индукция в тех точках, где проходит контур.

Если контур проходит внутри тороида, он охватывает ток 2RnI (R – радиус тороида, n – число витков на единицу его длины). В этом случае

,

откуда

.

Контур, проходящий вне тороида, токов не охватывает, поэтому для него . Таким образом, вне тороида магнитная индукция равна нулю.

Для тороида, радиус которого R значительно превосходит радиус витка, отношение R/r для всех точек внутри тороида мало отличается от единицы и для тороида получается такая же формула, как для бесконечно длинного соленоида:

.

В этом случае поле можно считать однородным в каждом из сечений тороида. В разных сечениях поле имеет различное направление, поэтому говорить об однородности поля в пределах всего тороида можно только условно, имея в виду модуль вектора .

Вопросы для самоконтроля:

1. В чем состоит закон Био–Савара–Лапласа?

2. В чем состоит принцип суперпозиции для магнитного поля?

3. Чему равен и как направлен магнитный момент плоского контура с током?

4. Почему кольцевой ток часто называют магнитным диполем?

5. Сформулируйте теорему о циркуляции вектора магнитной индукции.

6. От каких величин зависит магнитная индукция в точке, лежащей на оси бесконечно длинного соленоида?

Тема 3.2. Магнитное поле в веществе

Лекция № 20.Описание магнитного поля в веществе

Цель: ввести новые физические величины для характеристики магнитного поля в веществе; выяснить их физический смысл.

Основные понятия:

Макротоки – электрические токи проводимости, а также конвекционные токи, связанные с движением заряженных макроскопических тел.

Микротоки – токи, обусловленные движением электронов в атомах, ионах и молекулах.

Вектор намагничивания – магнитный момент единицы объема.

Напряженность магнитного поля – векторная величина, являющаяся количественной характеристикой магнитного поля,ине зависящая от магнитных свойств вещества.

Магнитная восприимчивость – величина, характеризующая способность вещества намагничиваться в магнитном поле и равная отношению намагниченности единицы объёма вещества к напряжённости намагничивающего магнитного поля.

Магнитная проницаемость – физическая величина, характеризующая изменение магнитной индукции среды при воздействии внешнего магнитного поля; показывает, во сколько раз усиливается поле в магнетике.

При изучении магнитного поля в веществе (магнетике) различают два типа токов – макротоки и микротоки. Под макротоками понимают электрические токи проводимости, а также конвекционные токи, связанные с движением заряженных макроскопических тел. Микротоками или молекулярными токами называют токи, обусловленные движением электронов в атомах, ионах и молекулах.

В веществе на магнитное поле макротоков (его часто называют внешним) накладывается дополнительное магнитное поле микротоков (его соответственно называют внутренним). Вектор магнитной индукции характеризует результирующее магнитное поле в веществе, т. е. он равен геометрической сумме магнитных индукций внешнего ( ) и внутреннего ( ) полей:

.

Из сказанного ясно, что вектор должен зависеть от магнитных свойств магнетика. Магнитное поле микротоков возникает в результате намагничивания магнетика при его помещении во внешнее магнитное поле. Для объяснения намагничения тел Ампер предположил, что в молекулах вещества циркулируют круговые токи. Каждый такой ток обладает магнитным моментом и создает в окружающем пространстве магнитное поле. В отсутствие внешнего поля микротоки ориентированы беспорядочным образом, вследствие чего обусловленное ими результирующее поле равно нулю. В силу хаотической ориентации магнитных моментов отдельных молекул суммарный магнитный момент тела также равен нулю. Под действием поля магнитные моменты молекул приобретают преимущественную ориентацию в одном направлении, вследствие чего магнетик намагничивается – его суммарный магнитный момент становится отличным от нуля. Магнитные поля отдельных молекулярных токов в этом случае уже не компенсируют друг друга и возникает поле .

Намагничение магнетика характеризуется магнитным моментом единицы объема. Эту величину называют вектором намагничивания и обозначают . Если магнетик намагничен неоднородно, вектор намагничения в данной точке определяется следующим выражением:

,

гдеV – физически бесконечно малый объем, взятый в окрестности рассматриваемой точки, – магнитный момент отдельной молекулы. Суммирование производится по всем молекулам, заключенным в объеме V.

В вакууме поле создают только макротоки, а в веществе – макротоки и микротоки. Следовательно, для поля в веществе теорема о циркуляции индукции магнитного моля имеет вид:

.

Циркуляция вектора пропорциональна алгебраической сумме макроскопических токов, охватываемых контуром, по которому берется циркуляция. Аналогично циркуляция вектора должна быть пропорциональна сумме всех, охватываемых контуром молекулярных токов. Следовательно, циркуляция вектора результирующего поля пропорциональна сумме всех охватываемых контуром токов:

,

гдеI и I – алгебраические суммы соответственно макро- и микротоков, охватываемых замкнутым контуром.

В итоге, чтобы определить , нужно знать не только токи, текущие по проводам, но и молекулярные токи. Чтобы обойти это затруднение, подберем такую вспомогательную величину, которая связана простым соотношением с вектором и определяется лишь макроскопическими токами.

Ч тобы установить вид этой вспомогательной величины, попробуем выразить суммарные микротоки I через вектор намагничения магнетика. Будем считать, что молекула с магнитным моментом эквивалентна замкнутому «витку» молекулярного тока

,

гдеSмол – площадь «витка». Вклад в I дают только те молекулярные токи, «витки» которых «нанизаны» на рассматриваемый контур, как бусы на нитку. В самом деле, молекулярные токи, не удовлетворяющие этому условию, либо вообще не пересекают поверхность, натянутую на контур и заштрихованную на рисунке («виток» a), либо пересекают ее дважды («виток» b) во взаимно противоположных направлениях.

Рассмотрим малый элемент dl этого контура, образующий с направлением намагничения угол . Данный элемент dlпересекает те молекулярные токи, центры которых попадают внутрь косого цилиндра с объемом Sмолcosdl. Если n – число молекул в единице объема, то суммарный ток, охватываемый элементомdl, равен IмолnSмолcosdl. Произведение IмолSмол равно магнитному моменту рm отдельного молекулярного тока. Следовательно, выражение IмолSмолn представляет собой магнитный момент единицы объема, т. е. дает модуль вектора. Тогда – суммарный молекулярный ток, охватываемый элементом dl, а сумма молекулярных токов, охватываемых всем контуром:

.

Тогда можно получить следующее соотношение:

.

Выражение, стоящее в скобках под знаком интеграла, и есть искомая вспомогательная величина. Ее обозначают буквой и называют напряженностью магнитного поля.

Итак, напряженностью магнитного поля называется физическая величина, определяемая соотношением

.

Тогда с помощью данной величины можно записать

.

Данная формула выражают теорему о циркуляции вектора : циркуляция вектора напряженности магнитного поля по некоторому контуру равна алгебраической сумме макроскопических токов, охватываемых этим контуром.

Вектор намагничения принято связывать не с магнитной индукцией, а с напряженностью поля. Как показывает опыт, вектор связан с вектором в той же точке магнетика соотношением

,

где  – характерная для данного магнетика величина, называемая магнитной восприимчивостью. Размерность совпадает с размерностью ,  – безразмерная величина.

Подставив в формулу для напряженности последнее выражение для , получим

,

откуда

.

Безразмерная величина

 = 1 +

называется относительной магнитной проницаемостью или просто магнитной проницаемостью вещества.

Магнитная восприимчивость бывает как положительной, так и отрицательной. Поэтому магнитная проницаемость может быть как больше, так и меньше единицы.

Используя два последних выражения, придем к соотношению

,

которое и является тем простым соотношением между векторами и , о котором упоминалось выше.

Таким образом, напряженность магнитного поляесть вектор, имеющий то же направление, что и вектор , но в 0 раз меньший по модулю (в анизотропных средах векторы и могут не совпадать по направлению).

Перейдем к выяснению физического смысла величини. Рассмотрим однородное магнитное поле в вакууме, которое можно задать с помощью либо вектора , либо вектора . Вектор мы назовем напряженностью внешнего поля. Внесем в это поле бесконечно длинный круглый стержень из однородного магнетика и расположим его вдоль . Под действием поля молекулярные токи установятся так, что их магнитные моменты расположатся вдоль оси стержня, а направление совпадет с направлением . Вне стержня равна нулю.

Можно показать, что

.

Складывая векторы и , находим вектор магнитной индукции результирующего поля

.

Наконец, получим выражение для :

.

Итак, в рассмотренном нами случае напряженность поля в магнетике совпадает с вектором магнитной индукции внешнего поля, деленным на 0, т. е. оказывается равной напряженности внешнего поля.

Умножив на 0, мы получим индукцию :

.

Отсюда следует, что относительная магнитная проницаемость показывает, во сколько раз усиливается поле в магнетике.

Заметим, что поскольку поле отлично от нуля только внутри стержня, магнитное поле вне стержня остается без изменений.

Вопросы для самоконтроля:

1. Как действует внешнее магнитное поле на орбитальный магнитный момент электрона в атоме?

2. Что называется вектором намагниченности и как он связан с индукцией магнитного поля?

3. Как связаны между собой векторы магнитной индукции, напряженности магнитного поля и намагниченности?

4. Чему равна циркуляция вдоль замкнутого контура: а) вектора напряженности магнитного поля; б) вектора намагниченности; в) вектора магнитной индукции?

5. Каков физический смысл относительной магнитной проницаемости ?

Лекция № 21. Магнетики

Цель: рассмотреть и объяснить поведение различных групп магнетиков в магнитном поле.

Основные понятия:

Диамагнетики– вещества, магнитные моменты атомов или молекул которых при отсутствии внешнего магнитного поля равны нулю.

Парамагнетики– вещества, магнитные моменты атомов или молекул которых при отсутствии внешнего магнитного поля отличны от нуля.

Ферромагнетики – вещества, которые ниже определённой температуры способны обладать намагниченностью в отсутствие внешнего магнитного поля.

Орбитальный магнитный момент – магнитный момент, вызванный движением электрона по орбите.

Орбитальный момент импульса – физическая величина, характеризующая количество вращательного движения; определяется как векторное произведение радиуса-вектора частицы на ее импульс.

Прецессия – явление, при котором ось вращающегося объекта совершает колебательные движения.

Магнитное насыщение – состояние вещества, при котором его намагниченность достигает насыщения (предельного значения) не изменяющегося при дальнейшем возрастании напряжённости намагничивающего поля.

Гистерезис – неоднозначная (необратимая) зависимость намагниченности (или индукции) магнитоупорядоченного вещества (магнетика) от напряженности магнитного поля.

Остаточное намагничение – намагничение, которую имеет ферромагнитный материал при напряжённости внешнего магнитного поля равного нулю.

Коэрцитивная сила – значение напряженности магнитного поля, необходимое для полного размагничивания ферромагнитного вещества.

Домен – макроскопическая область ферромагнетика, характеризующаяся спонтанным (самопроизвольным) намагничением.

Точка Кюри – определенная температура, при которой области спонтанного намагничения распадаются и вещество утрачивает ферромагнитные свойства.

21.1. Классификация магнетиков.

Магнитные свойства разных веществ принято характеризовать магнитной восприимчивостью, определяющей величину намагничения единицы объема вещества.

В зависимости от знака и величины магнитной восприимчивости все магнетики подразделяются на три группы:

1) диамагнетики, у которых отрицательна и мала по абсолютной величине;

2) парамагнетики, у которых тоже невелика, но положительна;

3) ферромагнетики, у которых положительна и достигает очень больших значений.

Кроме того, в отличие от диа- и парамагнетиков, для которых постоянна, магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряженности магнитного поля.

Таким образом, вектор намагничения может как совпадать по направлению с (у пара- и ферромагнетиков), так и быть направленным в противоположную сторону (у диамагнетиков).

21.2. Поведение атомов и молекул в магнитном поле.

Для выяснения причины различия магнитных свойств сред и их влияния на индукцию магнитного поля необходимо изучить процессы, происходящие в веществе под действием внешнего магнитного поля, т. е. необходимо исследовать действие магнитного поля на атомы и молекулы вещества. Подобно тому, как диэлектрик, помещенный во внешнее электрическое поле, поляризуется и в нем возникает внутреннее электрическое поле, так и в любом веществе, помещенном во внешнее магнитное поле, возникает особое состояние намагниченности и создается внутреннее магнитное поле.

Рассмотрим, прежде всего, изолированный атом, не подверженный действию внешнего магнитного поля. Согласно представлениям классической физики, электроны в атомах движутся по некоторым замкнутым орбитам. Такое движение каждого электрона эквивалентно замкнутому контуру тока – своеобразной «ниточке» тока. Поэтому любой атом или молекулу, о точки зрения их магнитных свойств, можно рассматривать как некоторую совокупность электронных микротоков.

Магнитный момент электрического тока, вызванного движением электрона по орбите, называется орбитальным магнитным моментом электрона. Предположим для простоты, что электрон в атоме движется со скоростью по круговой орбите радиуса r. Направления движения электрона и токаI указаны на рисунке стрелками. Согласно определению магнитного момента тока, орбитальный магнитный момент электрона численно равен

.

гдеS – площадь орбиты электрона. Вектор направлен в ту же сторону, что и магнитное поле в центре кругового тока I. Обозначим через n число оборотов электрона в секунду.

Тогда

,.

Сдругой стороны, каждый электрон массыm, равномерно вращающийся по орбите, обладает моментом импульса

,

численно равным

L = mvr.

Тогда можно получить

.

Отношение числового значения орбитального магнитного момента электрона к числовому значению его орбитального момента импульса не зависит ни от скорости электрона на орбите, ни от радиуса орбиты.

Орбитальный магнитный момент электрона пропорционален его орбитальному моменту импульса, причем оба момента противоположны по направлению.

Полученные результаты справедливы для любого из электронов, находящихся в атоме. Вектором орбитального магнитного момента атома называется векторная сумма орбитальных магнитных моментов всех его электронов. Аналогично этому, вектором орбитального момента импульса атома называется векторная сумма орбитальных моментов импульса всех электронов атома.

Рассмотрим влияние магнитного поля на движение электронов в атомах вещества. Предположим для простоты, что электрон в атоме движется с угловой скоростью 0 по круговой орбите, плоскость которой перпендикулярна вектору индукции магнитного поля.

Когда магнитное поле отсутствует, на электрон действует электрическая сила притяжения его ядром, играющая роль центростремительной силы:

.

В магнитном поле на электрон помимо силы действует еще сила Лоренца , которая в данном случае направлена в сторону, противоположную . Поэтому центростремительная сила численно равна разности . Изменение силы, действующей на электрон, приводит к изменению угловой скорости его вращения по орбите.

Изменение угловой скорости вращения электрона происходит в процессе нарастания того магнитного поля, в которое вносится атом. Процесс «включения» магнитного поля, действующего на атом, происходит в течение некоторого промежутка времени. При этом возникает индукционное вихревое электрическое поле, направленное по касательной к орбите электрона, приводящее к изменению угловой скорости вращения электрона

.

Е сли орбита электрона расположена произвольным образом относительно вектора , так что орбитальный магнитный момент электрона составляет с направлением вектора магнитной индукции угол , то влияние поля оказывается более сложным: в этом случае вся орбита приходит в такое движение, при котором угол сохраняется неизменным, а вектор (перпендикулярный плоскости орбиты электрона) вращается вокруг направления с угловой скоростью

.

Такое движение в механике называется прецессионным. Оно аналогично движению оси вращающегося волчка.

Изменение угловой скорости вращения электрона, или, в общем случае, появление прецессии, приводит к изменению орбитального тока, т. е. к появлению дополнительного тока, которому соответствует наведенный орбитальный магнитный момент электрона, направленный противоположно вектору магнитной индукции .

21.3. Диамагнетики.

Диамагнетиками называются вещества, магнитные моменты атомов или молекул которых при отсутствии внешнего магнитного поля равны нулю. Иначе говоря, в атомах или молекулах диамагнитных веществ векторная сумма орбитальных магнитных моментов всех электронов равна нулю. Диамагнетиками являются инертные газы, большинство органических соединений, многие металлы (висмут, цинк, золото, медь, серебро, ртуть и др. ), смолы, вода, стекло, мрамор.

П ри внесении диамагнитного вещества в магнитное поле в каждом его атоме наводится магнитный момент , направленный противоположно вектору индукции магнитного поля.

Д иамагнетики, помещенные в магнитное поле, ведут себя соответствующим образом. Стержень из диамагнитного материала (например, из висмута) намагничивается в направлении, противоположном вектору индукции внешнего магнитного поля. Поэтому в неоднородном магнитном поле диамагнетик выталкивается в область более слабого поля и устанавливается так, чтобы его ось была перпендикулярна вектору . Газы, входящие в состав продуктов сгорания, также обладают диамагнитными свойствами. Поэтому в неоднородном магнитном поле пламя свечи отклоняется в сторону более слабого поля.

21.4. Парамагнетики.

Если векторная сумма орбитальных магнитных моментов всех электронов атома (или молекулы) не равна нулю, то атом в целом обладает некоторым магнитным моментом. Такие атомы (молекулы) называются парамагнитными, а состоящие из них вещества – парамагнетиками. К парамагнетикам относятся кислород, окись азота, алюминий, платина, редкоземельные элементы, щелочные и щелочноземельные металлы и другие вещества.

Р ассмотрим, что произойдет при внесении парамагнетика в однородное магнитное поле, индукция которого . Внешнее магнитное поле стремится установить магнитные моменты атомов вдоль и вызывает прецессию результирующих магнитных моментов атомов вокруг направления , тепловое движение стремится разбросать их равномерно по всем направлениям. Результирующий магнитный момент отдельного атома имеет очень малое значение, но совокупное действие магнитных моментов всех атомов, заключенных в единице объема вещества, приводит к эффекту намагничивания, значительно превосходящему диамагнитный эффект. Поэтому в парамагнитном теле появляется собственное магнитное поле, обусловленное наличием преимущественной ориентацией моментов, направленное в ту же сторону, что и внешнее магнитное поле.

То, что намагничивание парамагнетика действительно происходит в направлении, совпадающем с вектором индукции магнитного поля можно показать на опыте. При внесении парамагнитного стержня в магнитное поле, созданное между полюсами электромагнита, он устанавливается вдоль линий индукции этого поля.

21.5. Ферромагнетики.

Ферромагнитными веществами – ферромагнетиками – называются такие вещества, в которых внутреннее (собственное) магнитное поле может в сотни и тысячи раз превышать вызвавшее его внешнее магнитное поле. К ферромагнетикам относятся железо, никель, кобальт и ряд сплавов, причем ферромагнетизм обнаружен только в кристаллическом состоянии перечисленных веществ.

Ферромагнетики являются сильномагнитными веществами – их намагничение в огромное число раз превосходит намагничение диа- и парамагнетиков, принадлежащих к категории слабомагнитных веществ.

¦ Намагничение слабомагнитных веществ изменяется с напряженностью поля линейно. Намагничение ферромагнетиков зависит от Н сложным образом. На рисунке дана кривая намагничения ферромагнетика. Начиная с некоторого значения Н = Нн числовое значение вектора намагниченности практически остается постоянным и равным Jн. Это явление называется магнитным насыщением. График зависимости магнитной индукции В от Н отличается от графика J = f(H) отсутствием горизонтальной части: как только наступает насыщение, магнитная индукция растет по линейному закону в зависимости от напряженности внешнего магнитного поля. Существенной особенностью ферромагнетиков является зависимость от Н. Относительная магнитная проницаемость ферромагнетика вначале быстро растет с возрастанием Н, достигает максимума и затем убывает, стремясь к единице при сильных намагничивающих полях.

Кроме нелинейной зависимости между Н и J (или Н и В) для ферромагнетиков характерно также наличие гистерезиса. Если довести намагничение до насыщения (точка А) и затем уменьшать напряженность магнитного поля, то намагничение следует не первоначальной кривой, а по кривой лежащей выше кривой 0 – А.В результате, когда напряженность внешнего поля станет равной нулю, намагничение не исчезает и характеризуется величинойВост, которая называется остаточной индукцией. Намагничение имеет при этом значениеJост, называемое остаточным намагничением. Намагничение обращается в нуль лишь под действием поля Нк, имеющего направление, противоноложное полю, вызвавшему намагничение. Напряженность Нк называется коэрцитивной силой.

С уществование остаточного намагничения делает возможным изготовление постоянных магнитов, т. е. тел, которые без затраты энергии на поддержание макроскопических токов обладают магнитным моментом и создают в окружающем их пространстве магнитное поле. Очевидно, что постоянный магнит тем лучше сохраняет свои свойства, чем больше коэрцитивная сила материала, из которого он изготовлен.

О тветственными за такие уникальные магнитные свойства ферромагнетиков являются собственные (спиновые) магнитные моменты электронов. При определенных условиях в кристаллах могут возникать силы, которые заставляют магнитные моменты электронов выстраиваться параллельно друг другу. В результате возникают области спонтанного (самопроизвольного) намагничения, которые называются также доменами. В пределах каждого домена ферромагнетик спонтанно намагничен до насыщения и обладает определенным магнитным моментом. Направления этих моментов для разных доменов различны и показаны на рисунке, так что в отсутствие внешнего поля суммарный момент всего тела равен нулю. Домены имеют размеры порядка 10-4 – 10-3 см.

Действие поля на домены на разных стадиях процесса намагничения оказывается различным. Вначале, при слабых полях, наблюдается смещение границ доменов, в результате чего происходит увеличение тех доменов, моменты которых составляют с Н меньший угол, за счет доменов, у которых угол между магнитными моментами и Н больше. Например, домены 1 и 3 увеличиваются за счет доменов 2 и 4. С увеличением напряженности поля этот процесс идет все дальше и дальше, пока домены с меньшими углами (которые обладают в магнитном поле меньшей энергией) не поглотят целиком энергетически менее выгодные домены. На следующей стадии имеет место поворот магнитных моментов доменов в направлении поля. При этом моменты электронов в пределах домена поворачиваются одновременно, без нарушения их строгой параллельности друг другу. Эти процессы (исключая небольшие смещения границ между доменами в очень слабых полях) являются необратимыми, что и служит причиной гистерезиса.

Для каждого ферромагнетика имеется определенная температура Тк, при которой области спонтанного намагничения распадаются и вещество утрачивает ферромагнитные свойства. Эта температура называется точкой Кюри. Для железа она равна 768 °С, для никеля 365 °С. При температуре выше точки Кюри ферромагнетик становится обычным парамагнетиком. При охлаждении ферромагнетика ниже точки Кюри в нем снова возникают домены.

Вопросы для самоконтроля:

1. Как действует внешнее магнитное поле на орбитальный магнитный момент электрона в атоме?

2. Какие вещества называются диамагнетиками? Что происходит с диамагнетиком при его внесении в магнитное поле?

3. Какие вещества называются парамагнетиками? Что происходит с парамагнетиком при его внесении в магнитное поле?

4. Чем различаются магнитные свойства диа- и парамагнетиков?

5. Каковы особенности магнитных свойств ферромагнетиков?

6. Что называется доменом?

7. Что происходит с доменной структурой ферромагнетика при внесении его в магнитное поле?

8. Дайте определение точки Кюри?

Тема 3.3. Действие магнитного поля на токи и заряды

Лекция № 22. Закон Ампера

Цель: изучить закон силового воздействия магнитного поля на проводник с током.

Основные понятия:

Элемент тока – векторная величина, равная произведению тока проводимости вдоль линейного проводника и бесконечно малого отрезка этого проводника.

Центральная сила – сила, линия действия которой при любом положении тела, к которому она приложена, проходит через точку, называемую центром силы. Тело при этом, как правило, рассматривается как материальная точка, а центр также считается точечным.

Действие магнитного поля на проводники с током было обнаружено Г. Эрстедом и А. Ампером. Ампер подробно исследовал это явление и пришел к выводу, что сила F, которая действует на прямолинейный проводник с током, находящийся в однородном магнитном поле, пропорциональна силе тока I в проводнике, его длине l, магнитной индукции В и синусу угла между направлением тока в проводнике и вектором :

.

Э то выражение носит название закона Ампера.

Далее опыты показали, что если провод с током изогнуть, как показано на рис. а, то он не производит магнитного действия. И, обратно, такой проводник не испытывает действия силы со стороны других проводников. Магнитное действие не наблюдается и в том случае, если одну часть провода (и притом произвольным образом) обвить вокруг другой (рис. б).

И з этих результатов вытекает заключение, что какие-либо элементы проводника dl1,dl2 и dl3 совместно производят такое же магнитное действие, как один элемент dl, замыкающий эти отрезки. В частности, действие изогнутых отрезков 12 и 23 проводника на рис. б оказывается таким, как если бы вместо них был прямолинейный отрезок, соединяющий точки 1 и 3, действие 34 и 45 равно действию 35 и т.д., поэтому действие всего этого проводника такое же, как и проводника на рис. а, т.е. равно нулю. Из сказанного следует, что магнитное действие бесконечно малого отрезка dl провода зависит от произведения , где I – сила тока, a – вектор, имеющий длину отрезка dl и направленный вдоль тока. Это произведение называют элементом тока.

Сила взаимодействия контуров конечных размеров складывается из взаимодействия отдельных элементов тока. Она зависит от размеров контуров, их формы и взаимного расположения, и поэтому сформулировать общий закон взаимодействия контуров с током нельзя. Однако такой закон можно дать для элементов тока. Понятие элемента тока в законах магнитного взаимодействия играет ту же роль, что и понятие точечного заряда в законах электрического взаимодействия.

Т . к., бесконечно малый элемент dl проводника любой формы можно считать прямолинейным, а магнитное поле в области, занятой элементом dl, можно считать однородным, то в общем случае закон Ампера можно записать в виде

,

гдеdF – сила, действующая на элемент проводника длиной dl,– угол между векторами (проведенным в направлении тока I) и .

Закон Ампера позволяет определить числовое значение магнитной индукции В. Предположим, что элемент проводника dl с током I перпендикулярен направлению магнитного поля ( ), тогда закон Ампера можно записать в виде

.

Из данной формулы следует, что магнитная индукция В численно равна силе, действующей со стороны поля на единицу длины проводника, по которому течет электрический ток единичной силы и который расположен перпендикулярно направлению магнитного поля. Таким образом, магнитная индукция является силовой характеристикой магнитного поля, подобно тому, как напряженность Е является силовой характеристикой электростатического поля.

З акон Ампера не указывает направления силы и поэтому не определяет ее полностью. Как показали опыты, направление силы можно найти по правилу левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы в нее входили линии магнитной индукции, а четыре вытянутых пальца расположить по направлению электрического тока в проводнике, то отставленный большой палец укажет направление силы, действующей на проводник со стороны поля. Это правило очень удобно, когда элемент проводника с током перпендикулярен направлению магнитного поля. Во всех остальных случаях оно нуждается в дополнительных пояснениях. Поэтому для отыскания направления силы лучше пользоваться более универсальным правилом: вектор направлен перпендикулярно плоскости, образованной векторами и таким образом, чтобы из конца вектора вращение от вектора к вектору по кратчайшему пути происходило против часовой стрелки. Иными словами, вектор совпадает по направлению с векторным произведением . Из математики известно, что модуль векторного произведения равен произведению модулей векторов на синус угла между ними:

.

П оэтому можно записать закон Ампера в векторной форме следующим образом:

.

Взаимное расположение векторов , и представлено на рисунке. Если элемент проводника перпендикулярен , то при заданном значении силы тока I сила максимальна: .

Т. о., можно указать еще один способ нахождения направления вектора магнитной индукции. Вектор образует с векторами и правую тройку, т.е. направлен перпендикулярно плоскости этих векторов таким образом, чтобы из его конца вращение от к по кратчайшему пути было видно происходящим против часовой стрелки.

Остановимся теперь на существенной особенности сил электромагнитного взаимодействия, которая выражена в законе Ампера. В электростатике мы имели дело с центральными силами, так как сила взаимодействия между двумя точечными зарядами направлена по линии, соединяющей эти заряды. Примером центральных сил являются также силы тяготения (гравитационные силы). Сила, действующая на точечный заряд q, помещенный в электростатическое поле с напряженностью , совпадает по величине и направлению с вектором , т. е. направлена по касательной к силовой линии электростатического поля. Силы же электромагнитного взаимодействия, как видно из закона Ампера, не являются центральными. Они всегда направлены перпендикулярно линиям магнитной индукции и проводникам с токами, т.е. их абсолютные значения и направления существенным образом зависят от ориентации в магнитном поле рассматриваемых элементов проводников с токами.

Применим закон Ампера для вычисления силы взаимодействия двух находящихся в вакууме параллельных бесконечно длинных прямых токов. Если расстояние между токами b, то каждый элемент тока I2 будет находиться в магнитном поле, индукция которого (согласно закону Био-Савара-Лапласа) . Угол между элементами тока I2и вектором прямой. Следовательно, на единицу длины тока I2 действует сила

.

Для силы , действующей на единицу длины тока I1 получается аналогичное выражение. С помощью правила левой руки легко установить, что при одинаковом направлении токов они притягивают друг друга, а при различном – отталкивают.

Вопросы для самоконтроля:

1. Что называется элементом тока и как он находится?

2. В чем состоит закон Ампера?

3. Сформулируйте правило для определения направления силы Ампера.

4. Дайте определение магнитной индукции исходя из закона Ампера.

5. Какова особенность сил электромагнитного взаимодействия?

Лекция № 23. Сила Лоренца

Цель: изучить закон силового воздействия магнитного поля на движущийся заряд; рассмотреть примеры движения заряженных частиц в природе и технике.

Основные понятия:

Циклотрон – циклический резонансный ускоритель тяжёлых частиц (протонов, ионов), в котором и управляющее магнитное поле и частота ускоряющего электрического поля постоянны во времени.

Дуант – один из двух ускоряющих D-образных электродов, находящихся в циклотроне.

Космические лучи – поток заряженных частиц высокой энергии, преимущественно протонов, приходящих к Земле приблизительно изотропно со всех направлений космического пространства.

Солнечныйветер – поток ионизированных частиц (в основном гелиево-водородной плазмы), истекающий из солнечной короны со скоростью 300 – 1200 км/с в окружающее космическое пространство.

Магнитное поле действует не только на проводники с током, но и на отдельные электрические заряды, движущиеся в поле. Этот вывод подтверждается целым рядом опытных фактов и, в частности, тем, что пучок свободно летящих заряженных частиц, например, электронный пучок, отклоняется магнитным полем.

Найдем выражение для силы, действующей на заряд, движущийся в магнитном поле. По закону Ампера, на элемент dl проводника с током I, находящийся в магнитном поле, действует сила

.

Если ток I в проводнике обусловлен движением частиц, заряд которых равен q, то

и

,

где n – концентрация заряженных частиц, – число частиц в объеме проводника длинойdl,– скорость их упорядоченного движения.

Поскольку векторы и параллельны друг другу (при q>0], при q<0, так что при любом знаке заряда q), то

.

Поэтому

.

Поделив обе части данного равенства на число частиц dN, найдем силу действующую на каждую заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле:

.

Это выражение впервые было получено Г. А. Лоренцем. Поэтому сила называется силой Лоренца.

Сила Лоренца численно равна

,

где – угол между векторами и .

Взаимная ориентация векторов , и для случая положительных зарядов (q>0) и для случая отрицательных зарядов (q<0) показана на рисунке.

Очевидно, что магнитное поле не действует на заряженную частицу в двух случаях: если , т. е. частица неподвижна, или если и , когда частица движется вдоль линий магнитного поля.

Обозначим массу движущейся частицы через m. Тогда по второму закону Ньютона частица получает ускорение :

.

или с учетом выражения для силы Лоренца

.

При произвольном движении вектор ускорения имеет две составляющие – касательное ускорение и нормальное . Анализируя последнюю формулу, мы видим, что при движении заряда в магнитном поле его ускорение перпендикулярно к скорости , т. е. всегда направлено по нормали к траектории. Это следует из того, что вектор , в соответствии с правилами векторного умножения, перпендикулярен к вектору (и, конечно, к вектору ). Следовательно, в этом случае

.

Вспомним, что изменение величины вектора скорости обусловлено составляющей ускорения , в то время как составляющая ускорения изменяет направление вектора скорости, не меняя его величины. Следовательно, в нашем случае имеем

, или .

Значит, при движении заряженной частицы в постоянном магнитном поле скорость ее движения может изменяться лишь по направлению. Абсолютная же величина скорости v остается неизменной, а значит, не меняется и кинетическая энергия частицы:

,

т. е. постоянное магнитное поле не совершает работы над движущейся в нем заряженной частицей. Это может быть получено и из непосредственного рассмотрения выражения для силы , действующей на заряд, движущийся в магнитном поле. Эта сила перпендикулярна к скорости, т. е. перпендикулярна к направлению траектории частицы, и поэтому работа силы равна нулю.

Следует подчеркнуть, что неизменность величины скорости и кинетической энергии заряженной частицы в магнитном поле имеет место лишь в том случае, если это поле постоянно, не зависит от времени. Переменное магнитное поле ускоряет заряженные частицы (точнее, меняет не только направление, но и величину скорости).

Нормальное ускорение всегда равно , где r есть радиус кривизны траектории в данной точке. Тогда получим соотношение

,

позволяющее определить радиус кривизны во всех точках траектории частицы

.

Разберем два простейших примера.

1. Заряженная частица влетает в однородное магнитное поле с начальной скоростью , направленной перпендикулярно к вектору напряженности магнитного поля ( ).

Поскольку и тоже перпендикулярны к , то в дальнейшем вектор скорости будет оставаться перпендикулярным к , и вся траектория будет лежать в плоскости, перпендикулярной к вектору индукции магнитного поля. Тогда и для радиуса кривизны получаем

.

Т. е. радиус кривизны траектории остается постоянным, а сама траектория есть окружность радиуса r. Этот радиус для частиц данной природы (т. е. для данных значений m и q или для частиц с данным отношением q/m) прямо пропорционален скорости частицыv и обратно пропорционален индукции магнитного поля B. Длина окружности

также пропорциональна скорости частицы, а период обращения ее в поле

з ависит не от скорости v, а только от индукции магнитного поля, заряда q и массы m частицы.

Направления силы Лоренца и вызываемого ею отклонения заряженной частицы в магнитном поле зависят от знака ее заряда q. Если частица движется в плоскости чертежа слева направо, а магнитное поле направлено из-за чертежа перпендикулярно его плоскости, то при q > 0 частица отклоняется вниз, а при q < 0 – вверх. Таким образом, по характеру отклонения частицы в магнитном поле можно судить о знаке ее заряда. Этим широко пользуются в исследованиях элементарных частиц.

2. Частица влетает в однородное магнитное поле , и направление вектора ее скорости составляет с линиями магнитного поля угол , отличный от 90°. Мы можем разложить на две составляющие – перпендикулярную ( ) и параллельную ( ) полю, как показано на рисунке. Величины этих составляющих равны

и.

Сила, действующая на частицу,

,

лежит в плоскости, перпендикулярной к , определяется величиной вектора и изменяет его направление.

Движение частицы при этом можно представлять как сумму двух независимых движений. Одно из них происходит в направлении, а другое – в плоскости, перпендикулярной к , в которой действует сила . Испытывая эту силу, частица будет вращаться по окружности радиуса

в плоскости, перпендикулярной к вектору напряженности магнитного поля, и будет совершать один оборот за время .

Сдругой стороны, поскольку и , то частица будет двигаться вдоль линий магнитного поля с постоянной поступательной скоростью . Вследствие наложения этих двух движений – поступательного вдоль линий поля и вращательного в перпендикулярной к ним плоскости – частица будет двигаться по винтовой линии с шагом винта

.

Рассмотренные простейшие примеры показывают, что заряженные частицы, влетающие в постоянное магнитное поле, изменяют направление своего движения и начинают «навиваться» на линии вектора . Этим свойством пользуются в некоторых приборах, чтобы удержать пучки заряженных частиц от расплывания. Если частица движется точно вдоль линии , то магнитное поле не оказывает на нее никакого воздействия (и ). Если же частица по каким-либо причинам получит составляющую скорости , перпендикулярную к линиям поля, то она все равно не уйдет далеко в сторону от заданной траектории и будет двигаться по винтовой линии, навиваясь на эту траекторию.

И з мирового пространства на Землю приходят потоки заряженных частиц большой энергии – космические лучи. Кроме того, на Землю падает поток заряженных частиц, испускаемых Солнцем. При приближении к земной поверхности эти частицы начинают испытывать действие магнитного поля Земли. На рисунке показано изменение их траекторий. Те из них, которые направляются к магнитным полюсам Земли, будут двигаться почти вдоль линий земного магнитного поля и навиваться на последние. Так как по мере приближения к земной поверхности индукция магнитного поля B возрастает, то радиус окружности винтовой линии будет уменьшаться.

Заряженные частицы, подходящие к Земле вблизи экваториальной плоскости, направлены почти перпендикулярно к линиям магнитного поля и отклоняются в сторону от своего первоначального направления. Лишь самые быстрые из них (R~v) смогут дойти до поверхности Земли. Такова причина так называемого широтного эффекта, заключающегося в том, что интенсивность космических лучей, доходящих до Земли вблизи экватора, заметно меньше, чем в более высоких широтах. Этим же обстоятельством объясняется и то, что свечение в верхних слоях атмосферы, вызываемое корпускулярным излучением Солнца (солнечным ветром), наблюдается главным образом в полярных областях (полярные сияния).

Независимость периода обращения Т от скорости частицы в однородном магнитном поле была использована в ускорителе заряженных частиц, названном циклотроном, применяемом для исследований атомных ядер.

Ц иклотрон состоит из двух металлических дуантовМ и N, представляющих собой две половины невысокой тонкостенной цилиндрической коробки, разделенные узкой щелью. Дуанты заключены в плоскую замкнутую камеруА, помещенную между полюсами сильного электромагнита. Магнитное поле направлено перпендикулярно плоскости чертежа. Дуанты с помощью электродов m и n присоединены к полюсам электрического генератора, создающего в щели между ними переменное электрическое поле. Введем в точку С положительный ион в тот момент, когда электрическое поле между дуантами максимально и направлено снизу вверх. Под действием электрического поля ион начнет равноускоренно перемещаться в плоскости чертежа снизу вверх. Как только он войдет в дуант М, ускоряющее действие электрического поля прекратится, так как металлические стенки дуанта практически полностью экранируют его внутреннюю полость от электрического поля в зазоре. Внутри дуанта М ион под действием магнитного поля опишет полуокружность радиуса . К тому моменту времени, когда ион, двигаясь в дуанте М, будет подходить к зазору между дуантами, направление электрического поля изменится на противоположное первоначальному и поле снова будет ускорять движение иона. Затем внутри дуанта N ион опишет полуокружность но уже несколько большего радиуса, соответствующего возросшей скорости. К моменту вылета иона в зазор электрическое поле снова изменит свое направление и будет ускорять движение иона. В результате многократного ускорения иона электрическим полем его кинетическая энергия может стать очень большой.

Для уменьшения вероятности торможения ионов из-за столкновения с молекулами воздуха в камере А создается высокий вакуум.

Описанный процесс непрерывного ускорения ионов возможен только в том случае, если движение иона и изменение электрического поля в зазоре будут происходить строго синхронно. В противном случае ион при прохождении через зазор будет то ускоряться, то замедляться. Таким образом, для нормальной работы циклотрона необходимо, чтобы период T0 колебаний электрического поля совпадал с периодом Т обращения иона:

.

Вопросы для самоконтроля:

1. Какая сила действует на электрический заряд, движущийся в магнитном поле? Чему она равна и как направлена?

2. Как движется заряженная частица в магнитном поле, если начальная скорость частицы перпендикулярна линиям магнитной индукции?

3. Почему сила Лоренца меняет направление скорости, но не меняет ее модуль?

4. Может ли магнитное поле изменить величину скорости заряженной частицы?

5. Каков характер движения заряженной частицы, влетающей в однородное магнитное поле под некоторым углом к ее линиям?

6. Для чего предназначен циклотрон и как он действует?

Тема 3.4. Электромагнитная индукция

Лекция № 24. Явление электромагнитной индукции

Цель: ввести понятие «электромагнитная индукция»; вывести основной закон электромагнитной индукции.

Основные понятия:

Индукционный ток – электрический ток, возникающий в замкнутом проводящем контуре при изменении потока магнитной индукции, пронизывающего этот контур.

Электромагнитная индукция – явление возникновения электрического тока в замкнутом контуре при изменении во времени магнитного поля или при движении контура в магнитном поле.

Магнитный поток – физическая величина, равная количеству силовых линий, проходящих через некоторую площадку.

24.1. Опыты Фарадея по индуцированию электрического тока.

Мы знаем, магнитное поле создается электрическим током. Долгое время было непонятно, имеется ли обратная связь и можно ли возбудить ток в контуре с помощью магнитного поля.

Фарадей дал положительный ответ на этот вопрос, осуществив опыт, имевший огромное значение для дальнейшего развития физики и техники. Принципиальная схема установки Фарадея приведена на рисунке. На деревянный стержень М намотаны два длинных куска изолированного медного провода. Концы одного из них через ключ К присоединены к батарее гальванических элементов Б, а концы другого – к гальванометру G. При неизменной силе тока в первой цепи гальванометр показывал отсутствие тока во второй. Однако при замыкании и размыкании ключа К стрелка гальванометра слегка отклонялась и затем быстро возвращалась в положение равновесия, что свидетельствовало о возникновении в проводнике 2 кратковременного тока, названного Фарадеем индукционным током. Направления индукционных токов при замыкании и размыкании ключа К были прямо противоположными. Заменив ключ К реостатом, Фарадей заметил, что при изменении силы тока I1 в первом проводнике во втором по-прежнему наводится индукционный ток, направление которого зависит от того, уменьшаетсяI1 или увеличивается.

И зменение тока I1 сопровождалось одновременным изменением его магнитного поля. Поэтому неясно было, что же является причиной возникновения индукционного тока: изменение тока I1 или его магнитного поля в той части пространства, где находится второй проводник? Ответ на этот вопрос был получен Фарадеем с помощью следующих опытов. Надо взять две катушки, одна из которых, К1 замыкается на батарею Б; по этой катушке идет постоянный ток I1. Катушка К2 замкнута на гальванометр. Если катушкуК1приближать к К2, в последней возникает индукционный токI2, направление которого показано на рисунке. При удалении катушки К1 от К2 ток I2 также возникает, но имеет противоположное направление.

Аналогичная картина наблюдается при удалении или приближении катушки К2 к неподвижной катушке К1. Наконец, ток I2 отсутствует, когда взаимное расположение катушек не изменяется.

Опыты Фарадея ясно показали, что причиной возникновения индукционного тока I2 является изменение магнитного поля, пронизывающего катушку К2. Чтобы окончательно убедиться в этом, Фарадей провел еще один опыт. Катушка с током была заменена длинным полосовым магнитом. При перемещении магнита вдоль оси катушки К2 было обнаружено возникновение в ней индукционного тока, направление которого зависело от того, каким полюсом был обращен к катушке магнит и удалялся он от нее или приближался к ней. Результаты опыта полностью подтвердили сделанный выше вывод о причине возникновения индукционного тока.

Далее перед Фарадеем встал вопрос – изменение какой из двух величин, характеризующих магнитное поле, или , определяет индукционный ток? Ведь в переменном магнитном поле и , и изменяются. Заметим, что в рассмотренных нами опытах Фарадея относительная магнитная проницаемость материала сердечников катушек (дерево и воздух) практически не отличалась от единицы.

Ответ и на этот вопрос был дан Фарадеем на основании опытов. Мы знаем, что для магнитного поля в однородной и изотропной среде верна формула

,

причем напряженность не зависит от свойств среды, в которой создается магнитное поле тока. Наоборот, прямо пропорционально относительной магнитной проницаемости среды.

Ф арадей провел следующий опыт. На деревянное тороидальное кольцо наматывались две обмотки. Одна из них через ключ К была присоединена к батарее Б, а другая – замкнута на гальванометр G. При замыкании и размыкании ключа К в цепи гальванометра возникал кратковременный индукционный ток. О силе этого тока можно было приближенно судить по показанию гальванометра. Затем деревянный сердечник тороида заменялся таким же по размерам железным: было замечено, что при прочих равных условиях индукционный ток возрастал. Этот опыт доказывал, что в явлении возникновения индукционного тока основную роль играла магнитная индукция, а не напряженность магнитного поля.

Открытое Фарадеем явление получило название электромагнитной индукции.

24.2. Магнитный поток.

Прежде чем двигаться дальше, введем понятие магнитного потока.

Р ассмотрим сначала плоскую площадку S, находящуюся в однородном магнитном поле с индукцией В. Магнитным потоком или потоком вектора магнитной индукции сквозь площадку S называют величину

,

где – угол между направлением нормали к площадке и направлением индукции . Магнитный поток есть скалярная величина, равная полному числу линий магнитной индукции, проходящих через данную поверхность.

Магнитный поток характеризуется не только своей величиной, но и знаком, который зависит от того, какой знак имеет cos. Этот знак зависит от выбора положительного направления нормали . Во всех электромагнитных явлениях всегда приходится рассматривать магнитный поток в связи с током, обтекающим контур, ограничивающий рассматриваемую поверхность. Поэтому положительное направление нормали естественно связать с направлением этого тока. Мы будем везде считать, что положительное направление нормали к площадке совпадает с направлением перемещения буравчика с правой нарезкой, вращаемого в направлении тока. Отсюда, в частности, следует, что магнитный поток, создаваемый каким-либо проволочным контуром с током, сквозь поверхность, ограниченную им самим, всегда положителен.

Если магнитное поле неоднородно, а рассматриваемая поверхность не плоская, то ее можно разбить на бесконечно малые элементы dS. Каждый элемент поверхности можно рассматривать как плоскую площадку, а любое поле на протяжении этого элемента – как однородное. Поэтому магнитный поток через элемент поверхности есть

,

а полный магнитный поток через всю поверхность

.

Магнитный поток выражается в системе СИ в веберах (Вб).

24.3. Основной закон электромагнитной индукции.

Ток проводимости в замкнутой цепи может возникнуть только под действием стороннего электрического поля. Следовательно, в замкнутом контуре, находящемся в переменном магнитном поле, появляется так называемое индуктированное электрическое поле. Энергетической мерой этого поля служит электродвижущая сила электромагнитной индукции Ei.

Дальнейшие исследования индукционного тока в контурах различной формы и размеров показали, что ЭДС электромагнитной индукции Ei в контуре пропорциональна скорости изменения магнитного потока  сквозь поверхность, натянутую на этот контур (закон Фарадея):

Ei.

Профессор Петербургского университета Ленц исследовал связь между направлением индукционного тока и характером вызвавшего его изменения магнитного потока. Он установил следующее правило (правило Ленца): при всяком изменении магнитного потока сквозь поверхность, натянутую на замкнутый контур, в последнем возникает индукционный ток такого направления, что его магнитное поле противодействует изменению магнитного потока.

И нтересной иллюстрацией закона Ленца служит следующий опыт. На вертикальный железный сердечник катушки с большим числом витков провода свободно надето алюминиевое кольцо А. Катушку можно включить в цепь аккумуляторной батареи Б с помощью ключа К. При замыкании цепи катушки кольцо подскакивает вверх и падает на стол рядом с ней. Чтобы вновь надеть это кольцо на сердечник катушки, находящейся под током, требуется приложить некоторое усилие. В момент выключения тока кольцо, надетое на сердечник, прижимается к катушке. Такое поведение кольца объясняется возникновением в нем индукционного тока. Если ток в катушке отсутствует, то магнитный поток сквозь поверхность, ограниченную кольцом (магнитный поток, сцепленный с кольцом), равен нулю. При замыкании цепи катушки магнитный поток, сцепленный с кольцом, резко возрастает. В кольце возникает индукционный ток, магнитное поле которого, согласно закону Ленца, должно быть противоположно по направлению магнитному полю тока в катушке. Поэтому индукционный ток в кольце направлен противоположно току в витках катушки. Между такими токами действует сила взаимного отталкивания, и кольцо подбрасывается вверх. При размыкании цепи катушки магнитный поток, сцепленный с кольцом, быстро уменьшается. Теперь в кольце возникает индукционный ток, совпадающий по направлению с током в катушке. Поэтому кольцо притягивается к ней.

Направления индукционного тока Ii при увеличении и уменьшении магнитного потока, сцепленного с кольцом, показаны на рисунке.

У словимся считать ЭДС электромагнитной индукции в контуре положительной, если магнитный момент соответствующего ей индукционного тока образует острый угол с линиями магнитной индукции того поля, которое наводит этот ток. Тогда в случае, изображенном на рисунке а, Ei < 0, а в случае показанном на рисункеб, Ei > 0.

Объединяя закон Фарадея и правило Ленца, получим формулу

Ei,

являющуюся математическим выражением основного закона электромагнитной индукции: электродвижущая сила электромагнитной индукции в замкнутом контуре численно равна и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока сквозь поверхность, натянутую на контур.

Вопросы для самоконтроля:

1. В чем состоит явление электромагнитной индукции? Опишите опыты Фарадея.

2. Как должен двигаться замкнутый проводящий контур в однородном магнитном поле, не зависящем от времени, поступательно или вращательно, чтобы в нем возник индукционный ток?

3. Что называется магнитным потоком?

4. Сформулируйте закон Фарадея и правило Ленца для электромагнитной индукции. Проиллюстрируйте их примерами.

5. Как определяется направление индукционного тока?

6. Сформулируйте основной закон электромагнитной индукции.

Лекция № 25. Самоиндукция. Индуктивность

Цель: рассмотреть явление самоиндукции, его законы и применения.

Основные понятия:

Самоиндукция – это явление возникновения ЭДС индукции в проводящем контуре при изменении протекающего через контур тока.

Индуктивность – параметр электрической цепи, определяющий величину ЭДС самоиндукции, наводимой в цепи при изменении протекающего по ней тока и (или) при её деформации; коэффициент пропорциональности между электрическим током, текущим в каком-либо замкнутом контуре, и магнитным потоком, создаваемым этим током через поверхность, краем которой является этот контур.

25.1. Явление самоиндукции.

Электрический ток I, текущий в любом контуре, создает пронизывающий этот контур магнитный поток Ф. При изменениях I будет изменяться также W и, следовательно, в контуре будет индуцироваться ЭДС. Это явление называется самоиндукцией. В соответствии с законом Био – Савара – Лапласа магнитная индукция В пропорциональна силе тока, вызвавшего поле. Отсюда вытекает, что ток в контуреI и создаваемый им полный магнитный поток через контур Ф друг другу пропорциональны:

Ф = LI.

Коэффициент пропорциональности L между силой тока и полным магнитным потоком называется индуктивностью контура.

Линейная зависимость Ф от I имеет место лишь в том случае, если относительная магнитная проницаемость, среды, которой окружен контур, не зависит от напряженности поля H, т. е. в отсутствие ферромагнетиков. В противном случае является сложной функцией от I (через H), и, поскольку , зависимость Ф от I также будет довольно сложной. Однако последнее соотношение распространяют и на этот случай, считая индуктивностьL функцией от I. При неизменной силе тока I полный поток Ф может изменяться за счет изменений формы и размеров контура.

Из сказанного следует, что индуктивностьL зависит от геометрии контура (т. е. его формы и размеров) и от магнитных свойств (от ) окружающей контур среды.

Если контур жесткий и поблизости от него нет ферромагнетиков, индуктивность L будет постоянной величиной.

За единицу индуктивности в СИ принимается индуктивность такого проводника, у которого при силе тока в нем в 1 А возникает полный поток Ф, равный 1 Вб. Эту единицу называют генри (Гн).

Вычислим индуктивность соленоида. Возьмем соленоид такой длины, чтобы его можно было практически считать бесконечным. При протекании по нему тока I внутри соленоида возбуждается однородное поле, магнитная индукция которого равна. Поток через каждый из витков будет BS, а полный магнитный поток, сцепленный с соленоидом, равен

,

гдеl – длина соленоида (которая предполагается очень большой), S – площадь поперечного сечения, n – число витков на единицу длины (произведение nl дает полное число витков N).

Тогда для индуктивности очень длинного соленоида получим следующее выражение:

,

гдеV = lS – объем соленоида. Заменив n через N/l получим

.

При изменениях силы тока в контуре возникает ЭДС самоиндукции Es , равная

Es.

ЕслиL при изменениях силы тока остается постоянной (что, как уже отмечалось, возможно лишь при отсутствии ферромагнетиков), выражение для Es имеет вид

Es.

Данное соотношение дает возможность определить индуктивность L как коэффициент пропорциональности между скоростью изменения силы тока в контуре и возникающей вследствие этого ЭДС самоиндукции. Однако такое определение правильно лишь в случае, когда L = const. В этом случае изменение силы тока со скоростью 1 А/сек в проводнике с L = 1 Гн приводит к возникновению Es = 1 В.

Остановимся на интересном примере, иллюстрирующем явление самоиндукции.

25.2. Ток при замыкании и размыкании цепи.

П о правилу Ленца дополнительные токи, возникающие в проводниках вследствие самоиндукции, всегда направлены так, чтобы воспрепятствовать изменениям тока, текущего в цепи. Это приводит к тому, что установление тока при замыкании цепи и убывание тока при размыкании цепи происходит не мгновенно, а постепенно.

Найдем сначала характер изменения тока при размыкании цепи. Пусть в цепь с не зависящей от I индуктивностью L и сопротивлением R включен источник

I0 = E / R

(сопротивление источника тока считаем пренебрежимо малым).

В момент времени t = 0 отключим источник тока, замкнув одновременно цепь накоротко переключателемП. Как только сила тока в цепи станет убывать, возникнет ЭДС самоиндукции. Следовательно, после отключения источника ЭДС сила тока в цепи будет в соответствию с законом Ома удовлетворять уравнению

I R = Es.

Перепишем это выражение следующим образом:

.

Решение этого уравнения имеет вид

,

где в момент времени .

Итак, после отключения источника ЭДС сила тока в цепи не обращается мгновенно в нуль, а убывает по экспоненциальному закону и чем больше отношение , т. е. чем больше сопротивление цепи и меньше ее индуктивность, тем быстрее происходит убывание тока.

Теперь рассмотрим случай замыкания цепи. После подключения к источнику тока, до тех пор, пока сила тока не примет установившегося значения I0 = E / R, в цепи кроме ЭДС E будет действовать ЭДС Es самоиндукции.

Следовательно, в соответствии с законом Ома можно написать, что

I R = E +Es = E.

Преобразуем это уравнение к следующему виду:

E / L.

Решение этого уравнения имеет вид

,

где в момент времени .

Итак, при включении источника ЭДС сила тока в цепи не возрастает мгновенно до значения , а растет по экспоненциальному закону и чем больше отношение , т. е. чем больше сопротивление цепи и меньше ее индуктивность, тем круче происходит нарастание тока.

Из сказанного следует важный практический вывод: контур, содержащий индуктивность, нельзя резко размыкать. Если он рассчитан на рабочее напряжение E, то при резком размыкании возникающие в нем большие Es могут привести к пробою изоляции и порче электроприборов. Сопротивление в такой контур надо вводить постепенно, с тем чтобы Es не превысила дозволенных значений. Опасным может быть и резкое включение E, что может вызвать на отдельных участках контура недопустимо большие Es.

Вопросы для самоконтроля:

1. В чем состоит явление самоиндукции?

2. Что называется индуктивностью проводящего контура?

3. От чего зависят индуктивность проводящего контура и каков ее физический смысл?

4. Напишите выражение для ЭДС самоиндукции.

5. Приведите пример, иллюстрирующий явление самоиндукции.

Лекция № 26. Энергия магнитного поля

Цель: определить энергию различных магнитных систем, определить энергию и плотность энергии магнитного поля.

Основные понятия:

Однородное магнитное полеполе, в котором магнитная индукция одинакова по модулю и направлению в любой точке пространства.

Плотность энергии магнитного поля – количество энергии приходящееся на единицу объема, заполняемого полем.

Взаимная индукция – возникновение ЭДС индукции в одном проводнике вследствие изменения силы тока в другом проводнике или вследствие изменения взаимного расположения проводников.

Взаимная индуктивность – физическая величина, характеризующая магнитную связь электрических контуров и равная отношению потока магнитной индукции, пронизывающего площадь, ограниченную первым контуром, к силе тока во втором контуре, создающем этот поток индукции.

Рассмотрим цепь, изображенную на рисунке. Сначала замкнем соленоид L на батарею E ; в нем установится ток I, который обусловит магнитное поле, сцепленное с витками соленоида. Если, отключив соленоид от батареи, замкнуть его через сопротивление R, то в образовавшейся цепи будет некоторое время течь постепенно убывающий ток, подчиняющийся закону Ома для полной цепи

I = Es/R

где Es – ЭДС самоиндукции (предполагаем, что проводники с током находятся в неферромагнитной однородной и изотропной среде, сопротивлением соленоида пренебрегаем).

Таким образом

Es =IR.

Умножим обе части данного выражения наIdt:

EsIdt =I2Rdt.

Правая часть равенства представляет собой количество теплоты, выделяемое в проводнике при протекании в нем тока.

Левая часть данного равенства представляет собой работу, совершаемую током за времяdt, обусловленную индукционными явлениями, и равную

.

Проинтегрировав это выражение по I в пределах от первоначального значенияI до нуля, получим работу, совершаемую в цепи за все время, в течение которого происходит исчезновение магнитного поля:

.

Данная работа идет на приращение внутренней энергии проводников, т. е. на их нагревание. Совершение этой работы сопровождается исчезновением магнитного поля, которое первоначально существовало в окружающем соленоид пространстве. Поскольку никаких других изменений в окружающих электрическую цепь телах не происходит, остается заключить, что магнитное поле является носителем энергии, за счет которой и совершается данная работа. Таким образом, мы приходим к выводу, что проводник с индуктивностью L, по которому течет ток I, обладает энергией

,

которая локализована в возбуждаемом током магнитном поле.

Выразим энергию магнитного поля через величины, характеризующие само поле. В случае бесконечного соленоида

,,

откуда

.

Подставляя эти значения L и I в выражение для энергии и производя преобразования, получим

,

с учетом того, что .

Магнитное поле бесконечно длинного соленоида однородно и отлично от нуля только внутри соленоида. Следовательно, энергия заключена в пределах соленоида и распределена по его объему с постоянной плотностью w, которую можно получить, разделив W на V. Произведя это деление, получим

.

Полученное выражение для плотности энергии магнитного поля имеет вид, аналогичный выражению для плотности энергии электрического поля, с тем лишь отличием, что электрические величины в нем заменены соответствующими магнитными.

Если магнитное поле неоднородно, то его можно разбить на бесконечно малые элементы объема dV, в каждом из которых поле можно считать однородным. Энергия, заключенная в элементе объема dV, есть wdV. Полная энергия любого магнитного поля равна

,

где интегрирование распространяется на весь объем V, занятый магнитным полем.

Н айдем теперь энергию магнитного поля, создаваемого двумя контурами 1 и 2, расположенными друг относительно друга не очень далеко. Если в первом контуре течет ток силы I1, он создает через другой контур пропорциональный I1 поток

(поле, создающее этот поток, изображено на рисунке сплошными линиями).

При изменениях тока I1 во втором контуре индуцируется ЭДС

Ei2

Аналогично, при протекании во втором контуре тока силы I2 возникает связанный с первым контуром поток

(поле, создающее этот поток, изображено пунктирными линиями).

При изменениях тока I2 в контуре 1 индуцируется ЭДС

Ei1

Контуры 1 и 2 называются связанными, а явление возникновения ЭДС в одном из контуров при изменениях силы тока в другом называется взаимной индукцией.

Коэффициенты пропорциональности L12 и L21 называются взаимной индуктивностью (или коэффициентом взаимной индукции) контуров.

Эти коэффициенты всегда равны друг другу:

L12 = L21.

Взаимная индуктивность L12 зависит от формы, размеров и взаимного расположения контуров, а также от магнитной проницаемости, окружающей контуры среды. Измеряется L12 в тех же единицах, что и индуктивностьL.

Вычислим энергию магнитного поля, создаваемого обоими контурами. Если ток течет только в одном из контуров, например в первом, энергия магнитного поля равна

,

а плотность энергии –

,

гдеH1 – напряженность поля, создаваемого током I1.

Аналогично, если ток течет только во втором контуре, энергия поля равна

,

а ее плотность

гдеН2 – напряженность поля, создаваемого током I2.

В случае, когда ток в обоих контурах одновременно отличен от нуля, напряженность поля в любой точке будет согласно принципу суперпозиции равна

,

так что, вообще говоря,

.

Отсюда следует, что

,

и полная совместная энергия контуров W не равна сумме энергий W1 и W2.

Можно показать, что выражение для энергии W магнитного поля имеет вид:

,

где первое и второе слагаемое в правой части представляют собой собственные энергии токов, а третье и четвертое слагаемые – так называемые взаимные энергии токов.

В общем случае, для энергии N связанных друг с другом контуров получается аналогичное выражение

,

где – взаимная индуктивность i-ro и k-ro контуров, a – индуктивность i-ro контура.

Вопросы для самоконтроля:

1. Приведите выражение для объемной плотности энергии магнитного поля.

2. Как распределена энергия магнитного поля соленоида в пространстве?

3. В чем состоит явление взаимной индукции?

4. Напишите выражения для ЭДС взаимной индукции.

5. Что называется взаимной индуктивностью двух контуров? От чего она зависит и каков ее физический смысл?

Список использованных источников

Бутиков Е. И., Кондратьев А. С. Физика для углубленного изучения, т. 2. Электродинамика. Оптика. М., 2004 г.

Васильев А. Э. Курс общей физики. Электричество и магнетизм. СПб., 2003 г.

Векштейн Е. Г. Сборник задач по электродинамике. М., 1966 г.

Гершензон Е. М., Малов Н. Н., Мансуров А. Н. Электродинамика. М., 2002 г.

Детлаф А. А., Яворский Б. М., Милковская Л. Б. Курс физики, т. 2. Электричество и магнетизм. М., 1977 г.

Калашников С. Г. Электричество. М., 2003 г.

Огурцов А. Н. Лекции по физике. Электричество. М., 2004 г.

Путилов К. А. Курс физики, т. 2. Учение об электричестве. M., 1963 г.

Ревинская О.Г., Кравченко Н. С. Электростатическое поле. Томск, 2014 г.

Савельев И. В. Курс общей физики, т. 2. Электричество. М., 1970 г.

Сивухин Д. В. Общий курс физики, т. 3. Электричество. М., 1977 г.

Фриш С. Э., Тиморева А. В. Курс общей физики, т. 2. Электрические и электромагнитные явления. Л., 1962 г.

Зисман Г. А., Тодес О. М. Курс общей физики, т. 2. Электричество и магнетизм. М., 1972 г.

Дмитриева В. Ф. Физика. М., 2005 г.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/204922-fizika-konspekt-lekcij-po-razdelu-osnovy-jele

Вектор индукции магнитного поля

Определение

Силовой характеристикой магнитного поля является вектор магнитной индукции $\overrightarrow{B}$. Вектор магнитной индукции является основной характеристикой магнитного поля. Он равен пределу отношения силы, с которой магнитное поле действует на элементарный ток ($Idl$) к произведению тока $(I)$ и величины элемента проводника ($dl$):

Вектор индукции направлен перпендикулярно направлению элементарного тока (или чаще говорят элементу проводника ($\overrightarrow{dl}$)) из (1) и перпендикулярен направлению силы, которая действует со стороны магнитного поля.

Если $\overrightarrow{B}$=const, то магнитное поле называют однородным. Если магнитное поле неизменно во времени, то его называют постоянным.

Иногда модуль вектора индукции однородного магнитного поля определяют как:

где $M_{max}$ — максимальный вращающий момент, действующий на контур с током, который помещен в магнитное поле, $p_m=IS$ — магнитный момент контура ($S$- площадь контура). За направление вектора $\overrightarrow{B}$ принимают направление, в котором устанавливается под действием поля положительная нормаль к контуру с током. Или иначе, говорят, что вектор магнитной индукции направлен в сторону поступательного перемещения правого винта, если его вращать по направлению течения тока в контуре.

Очень часто, определение для вектора магнитной индукции записывают в виде:

где $\overrightarrow{dF}$ — сила, действующая на элемент с током. В том случае, если проводник прямолинейный и магнитная индукция во всех точках постоянна, то формулу (2) можно преобразовать в выражение:

Рис. 1

Модуль вектора индукции можно определить, так же исходя из силы Лоренца ($\overrightarrow{F}$), которая действует на движущуюся, со скоростью $\overrightarrow{v}$ заряженную частицу (заряд q) в магнитном поле:

Основной единицей измерения магнитной индукции в системе СИ является тесла (Тл).

Принцип суперпозиции вектора индукции магнитного поля

Эмпирический доказано, что для магнитного поля выполняется принцип суперпозиции:

Если магнитное поле порождается несколькими токами (движущимися зарядами), то оно равно векторной сумме отдельных полей:

Пример 1

Задание: Проводник имеет форму квадрата, сторона которого равна d, по нему течет ток силы I. Найдите магнитную индукцию поля в точке пересечения диагоналей квадрата.

Решение:

Допустим, что плоскость проводника совпадает с плоскостью рис.2. Зададим направление токов.

Рис. 2

В точке О магнитное поле создают четыре прямолинейные проводника с током. Напряженности всех четырех полей направлены в соответствии с правилом правого винта от нас, перпендикулярно плоскости рисунка. Следовательно, векторную сумму полей в принципе суперпозиции заменим на алгебраическую, запишем:

\[B=B_1+B_2+B_3+B_4\left(1.1\right).\]

Причем из симметрии, очевидно, что модули всех индукций равны, значит, запишем, что:

\[B=4B_1\left(1.2\right).\]

В разделе «Электромагнетизм» мы нашли, формулу для расчета модуля вектора магнитной индукции прямолинейного проводника с током. В применении к нашему случаю модуль $\overrightarrow{B}$ будет иметь вид:

\[B_1=\frac{{\mu }_0I}{4\pi b}\left(cos\alpha -cos\beta \right)\left(1. 3\right),\]

углы $\alpha $ и $\beta $ указаны на рис.1. В (1.3) $\beta =\pi -\alpha \to cos\beta ={cos \left(\pi -\alpha \right)\ }=-cos\alpha .$ Перепишем (1.3):

\[B_1=\frac{{\mu }_0I}{2\pi b}cos\alpha \left(1.4\right).\]

Так как мы имеем дело с квадратом, то заметим, что: $b=\frac{d}{2},\alpha =\frac{\pi }{4}\to cos\alpha =\frac{\sqrt{2}}{2}.$ Подставим в (1.4), то что мы получили и (1.4) подставим в (1.2), имеем:

\[B=4\cdot \frac{{\mu }_0I}{\pi d}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{2\sqrt{2}}{\pi d}{\mu }_0I.\]

Ответ: $B=\frac{2\sqrt{2}}{\pi d}{\mu }_0I.$

Пример 2

Задание: Бесконечно длинный проводник с током (I) согнут под прямым углом (рис.2). Найдите магнитную индукцию поля в точке А, которая указана на рис. 3.

Рис. 3

Решение:

В точке А поле создается двумя частями проводника:

\[\overrightarrow{B}=\overrightarrow{B_{II}}+\overrightarrow{B_{\bot }}\left(2.1\right).\]

Рассмотрим горизонтальный участок, на продолжении которого лежит точка А. 3}}\left(2.2\right),\]

где $\overrightarrow{r}$ — радиус-вектор, проведенный от элемента тока $Id\overrightarrow{l}$ к точке, в которой ищется индукция магнитного поля ($\overrightarrow{B}$).

Индукция магнитного поля бесконечного прямолинейного проводника с током (I) в точке А была бы равна:

\[B’=\frac{{\mu }_0}{2\pi }\frac{I}{b}\left(2.3\right).\]

У нас полу бесконечный проводник, следовательно, из принципа суперпозиции получим, что для нашего проводника индукция равна:

\[{B=B}_{\bot }=\frac{1}{2}B’=\frac{{\mu }_0}{\pi }\frac{I}{b}.\]

Ответ: $B=\frac{{\mu }_0}{\pi }\frac{I}{b}.$

Магнитные поля, магнитные силы и проводники

Эффект Холла

Когда ток проходит по проводу, находящемуся в магнитном поле, в проводнике создается потенциал, поперечный току.

Цели обучения

Экспресс-напряжение Холла для металла, содержащего только один тип носителей заряда

Основные выводы

Ключевые моменты
  • Эффект Холла — это явление, при котором разность напряжений (называемая напряжением Холла) возникает на электрическом проводнике, который перпендикулярен электрическому току проводника, когда прикладывается магнитное поле, перпендикулярное току проводника.
  • Движущиеся заряды в проводе меняют траекторию в присутствии магнитного поля, «изгибаясь» к нему. Таким образом, эти заряды накапливаются на одной стороне материала. С другой стороны остался избыток противоположного заряда. Таким образом создается электрический потенциал.
  • [latex] \ text {V} _ \ text {H} = — \ frac {\ text {IB}} {\ text {net}} [/ latex] — это формула для напряжения Холла (V H ). Это фактор силы тока (I), магнитного поля (B), толщины проводящей пластины (t) и плотности носителей заряда (n) электронов-носителей.
Ключевые термины
  • elementary charge : Электрический заряд одиночного протона.
  • поперечный : не касательный, поэтому между двумя пересекающимися объектами образуется невырожденный угол.

Эффект Холла — это явление, при котором разность напряжений (называемая напряжением Холла) возникает на электрическом проводнике, поперек электрического тока проводника, когда прикладывается магнитное поле, перпендикулярное току проводника.

Когда присутствует магнитное поле, не параллельное движению движущихся зарядов внутри проводника, на заряды действует сила Лоренца. В отсутствие такого поля заряды движутся примерно по прямой траектории, иногда сталкиваясь с примесями.

В присутствии магнитного поля с перпендикулярной составляющей пути, по которым проходят заряды, становятся искривленными, так что они накапливаются на одной стороне материала. С другой стороны, остается избыток противоположного заряда.Таким образом, электрический потенциал создается, пока идет заряд. Это противодействует магнитной силе, в конечном итоге до точки компенсации, в результате чего поток электронов движется по прямому пути.

Эффект Холла для электронов : Первоначально электроны притягиваются магнитной силой и движутся по изогнутой стрелке. В конце концов, когда электроны накапливаются в избытке на левой стороне и в дефиците на правой, создается электрическое поле ξy. Эта сила становится достаточно сильной, чтобы нейтрализовать магнитную силу, поэтому будущие электроны следуют по прямому (а не по кривой) пути.

Для металла, содержащего только один тип носителя заряда (электроны), напряжение Холла (V H ) можно рассчитать как коэффициент тока (I), магнитного поля (B) и толщины проводящей пластины (t). , и плотность носителей заряда (n) электронов носителей:

[латекс] \ text {V} _ \ text {H} = — \ frac {\ text {IB}} {\ text {net}} [/ latex]

В этой формуле e представляет собой элементарный заряд.

Коэффициент Холла (R H ) является характеристикой материала проводника и определяется как отношение индуцированного электрического поля (E y ) к произведению плотности тока (j x ) и приложенного магнитного поля. (В):

[латекс] \ text {R} _ \ text {H} = \ frac {\ text {E} _ \ text {y}} {\ text {j} _ \ text {xB}} = \ frac {\ text {V} _ \ text {Ht}} {\ text {IB}} = — \ frac {1} {\ text {ne}} [/ latex]

Эффект Холла — довольно распространенное явление в физике и проявляется не только в проводниках, но и в полупроводниках, ионизированных газах и, среди прочего, в квантовом спине.

Магнитная сила на токопроводящем проводнике

Когда электрический провод подвергается воздействию магнита, ток в этом проводе испытывает силу — результат действия магнитного поля.

Цели обучения

Экспресс-уравнение, используемое для расчета магнитной силы электрического провода, находящегося в магнитном поле

Основные выводы

Ключевые моменты
  • Магнитную силу, действующую на ток, можно найти, суммируя магнитную силу на каждом из отдельных зарядов, образующих этот ток.
  • Для провода, подверженного воздействию магнитного поля, [latex] \ text {F} = \ text {IlB} \ sin \ theta [/ latex] описывает взаимосвязь между магнитной силой (F), током (I) и длиной провода. (l), магнитное поле (B) и угол между полем и проводом (θ).
  • Направление магнитной силы может быть определено с помощью правила правой руки , как на рис [[17951]].
Ключевые термины
  • скорость дрейфа : средняя скорость свободных зарядов в проводнике.
  • магнитное поле : Состояние в пространстве вокруг магнита или электрического тока, в котором существует обнаруживаемая магнитная сила и где присутствуют два магнитных полюса.

Когда электрический провод подвергается воздействию магнита, на ток в этом проводе воздействует магнитное поле. Эффект проявляется в виде силы. Выражение магнитной силы, действующей на ток, можно найти, суммируя магнитную силу на каждом из множества отдельных зарядов, составляющих ток.Поскольку все они движутся в одном направлении, силы могут складываться.

Правило правой руки : Используется для определения направления магнитной силы.

Сила (F) магнитного поля (B), действующая на отдельный заряд (q), движущийся со скоростью дрейфа v d , составляет:

[латекс] \ text {F} = \ text {qv} _ \ text {dB} \ sin \ theta [/ latex]

В этом случае θ представляет собой угол между магнитным полем и проводом (магнитная сила обычно рассчитывается как перекрестное произведение). Если B является постоянным по всему проводу и 0 в другом месте, то для провода с N носителями заряда на его общей длине l общая магнитная сила на проводе составляет:

[латекс] \ text {F} = \ text {Nqv} _ \ text {dB} \ sin \ theta [/ latex].

Учитывая, что N = nV, где n — количество носителей заряда в единице объема, а V — объем провода, и что этот объем рассчитывается как произведение площади круглого поперечного сечения A и длины (V = Al) , дает уравнение:

[латекс] \ text {F} = (\ text {nqAv} _ \ text {d}) \ text {lB} \ sin \ theta [/ latex].

Слагаемые в скобках равны току (I), поэтому уравнение можно переписать как:

[латекс] \ text {F} = \ text {IlB} \ sin \ theta [/ latex]

Направление магнитной силы может быть определено с помощью правила для правой руки , продемонстрированного в. Большой палец указывает в направлении тока, а четыре других пальца параллельны магнитному полю. Сгибание пальцев показывает направление магнитной силы.

Момент в токовой петле: прямоугольный и общий

Токоведущий контур, подверженный воздействию магнитного поля, испытывает крутящий момент, который может использоваться для питания двигателя.

Цели обучения

Определите общее предложение крутящего момента на петле любой формы

Основные выводы

Ключевые моменты
  • [латекс] \ tau = \ text {NIAB} \ sin \ theta [/ latex] можно использовать для расчета крутящего момента ([латекс] \ tau [/ latex]) петли из N витков и площади, по которой проходит ток I чувствует себя в магнитном поле B.
  • Хотя силы, действующие на петлю, равны и противоположны, они оба действуют, вращая петлю в одном направлении.
  • Испытываемый крутящий момент не зависит от формы петли. Важна площадь петли.
Ключевые термины
  • крутящий момент : вращательное или скручивающее действие силы; (Единица СИ ньютон-метр или Нм; британская единица измерения фут-фунт или фут-фунт)

Когда ток проходит по петле, на которую воздействует магнитное поле, это поле оказывает крутящий момент на петлю. Этот принцип обычно используется в двигателях, в которых петля соединена с валом, который вращается под действием крутящего момента.Таким образом, электрическая энергия тока преобразуется в механическую энергию при вращении петли и вала, и эта механическая энергия затем используется для питания другого устройства.

Крутящий момент на токовой петле : электрическая энергия тока преобразуется в механическую энергию при вращении петли и вала, и эта механическая энергия затем используется для питания другого устройства.

В этой модели северный и южный полюса магнитов обозначены буквами N и S соответственно. В центре — прямоугольная проволочная петля длиной l и шириной w, по которой проходит ток I.Воздействие магнитного поля B на провод с током вызывает момент τ.

Чтобы понять крутящий момент, мы должны проанализировать силы, действующие на каждый сегмент контура. Предполагая постоянное магнитное поле, мы можем заключить, что силы в верхней и нижней частях петли равны по величине и противоположны по направлению, и, таким образом, не создают результирующей силы. Между прочим, эти силы вертикальны и, следовательно, параллельны валу.

Однако, как показано (а) на рисунке ниже, равные, но противоположные силы создают крутящий момент, действующий по часовой стрелке.

Изменяющийся крутящий момент на заряженном контуре в магнитном поле : Максимальный крутящий момент возникает в (b), когда равен 90 градусам. Минимальный крутящий момент равен 0 и встречается в (c), когда θ составляет 0 градусов. Когда контур вращается после = 0, крутящий момент меняется на противоположное (d).

Учитывая, что крутящий момент рассчитывается по формуле:

[латекс] \ tau = \ text {rF} \ sin \ theta [/ latex]

где F — сила, действующая на вращающийся объект, r — расстояние от точки поворота, к которой приложена сила, а θ — угол между r и F, мы можем использовать сумму двух крутящих моментов (силы действуют по обе стороны от петли), чтобы найти общий крутящий момент:

[латекс] \ tau = \ frac {\ text {w}} {2} \ text {F} \ sin \ theta + \ frac {\ text {w}} {2} \ text {F} \ sin \ theta = \ text {wF} \ sin \ theta [/ latex]

Обратите внимание, что r равно w / 2, как показано.

Чтобы найти крутящий момент, мы по-прежнему должны найти F из магнитного поля B относительно тока I. Прямоугольник имеет длину l, поэтому F = IlB. Замена F на IlB в уравнении крутящего момента дает:

[латекс] \ tau = \ text {wIlB} \ sin \ theta [/ latex]

Обратите внимание, что произведение w и l включено в это уравнение; эти термины можно заменить на площадь (A) прямоугольника. Если используется проволока другой формы, ее площадь можно вставить в уравнение независимо от формы (круглой, квадратной или другой).

Также обратите внимание, что это уравнение крутящего момента для одного оборота. Крутящий момент увеличивается пропорционально количеству оборотов (Н). Таким образом, общее уравнение для крутящего момента на петле любой формы, из N витков, каждая из областей A, несущая ток I и подверженная воздействию магнитного поля B, представляет собой величину, которая колеблется при вращении петли и может быть вычислена по формуле:

[латекс] \ tau = \ text {NIAB} \ sin \ theta [/ latex]

Закон Ампера: Магнитное поле из-за длинного прямого провода

Ток, протекающий по проводу, создает магнитное поле, которое можно рассчитать по закону Био-Савара.

Цели обучения

Выразите взаимосвязь между силой магнитного поля и током, протекающим через провод, в форме уравнения

Основные выводы

Ключевые моменты
  • Закон Ампера гласит, что для замкнутой кривой длиной C магнитное поле (B) связано с током (I C ): [латекс] \ oint_ \ text {C} {\ text {Bd} \ ell = \ mu _0 \ text {I} _ \ text {C}} [/ latex]. В этом уравнении dl представляет собой разницу длины проволоки в изогнутой проволоке, а μ 0 — проницаемость свободного пространства.3} [/ латекс]. В этом уравнении парциальное магнитное поле (дБ) выражается как функция тока для бесконечно малого отрезка провода (dl) в точке на расстоянии r от проводника.
  • После интегрирования направление магнитного поля в соответствии с законом Био-Савара может быть определено с помощью правила правой руки.
Ключевые термины
  • электрическое поле : область пространства вокруг заряженной частицы или между двумя напряжениями; он воздействует на заряженные объекты поблизости.
  • магнитное поле : Состояние в пространстве вокруг магнита или электрического тока, в котором существует обнаруживаемая магнитная сила и где присутствуют два магнитных полюса.

Ток, протекающий по проводу, создает как электрическое, так и магнитное поле. Для замкнутой кривой длиной C магнитное поле (B) связано с током (I C ), как в законе Ампера, выраженном математически как:

[латекс] \ oint_ \ text {C} {\ text {Bd} \ ell = \ mu _0 \ text {I} _ \ text {C}} [/ latex]

Направление магнитного поля : Направление магнитного поля можно определить по правилу правой руки.

В этом уравнении dl представляет собой разность длины провода в изогнутом проводе, а μ 0 — проницаемость свободного пространства. Это может быть связано с законом Био-Савара. Для короткого прямого отрезка проводника (обычно провода) этот закон обычно вычисляет парциальное магнитное поле (дБ) как функцию тока для бесконечно малого отрезка провода (dl) на расстоянии r от проводника:

[латекс] \ text {d} {\ bf \ text {B}} = \ frac {\ mu_0} {4 \ pi} \ frac {\ text {Id} {\ bf \ text {l}} \ times { \ bf \ text {r}}} {\ text {r} ^ 3} [/ latex]. 2}} [/ латекс].

Это соотношение сохраняется для постоянного тока в прямом проводе, в котором магнитное поле в точке, обусловленное всеми токовыми элементами, составляющими прямой провод, одинаково. Как показано, направление магнитного поля может быть определено с помощью правила для правой руки — когда большой палец направлен в направлении тока, сгибание пальцев указывает направление магнитного поля вокруг прямого провода.

Магнитная сила между двумя параллельными проводниками

Параллельные провода, по которым проходит ток, создают значительные магнитные поля, которые, в свою очередь, создают значительные силы для тока.

Цели обучения

Выразите магнитную силу, ощущаемую парой проводов, в форме уравнения

Основные выводы

Ключевые моменты
  • Поле (B 1 ), создаваемое этим током (I 1 ) от провода, может быть вычислено как функция тока и расстояния между проводами (r): [latex] \ text {B} _1 = \ frac {\ mu_0 \ text {I} _1} {2 \ pi \ text {r}} [/ latex] μ 0 — постоянная величина.
  • [latex] \ text {F} = \ text {IlB} \ sin \ theta [/ latex] описывает магнитную силу, ощущаемую парой проводов.Если они параллельны, уравнение упрощается, так как функция синуса равна 1.
  • Сила, ощущаемая между двумя параллельными проводящими проводами, используется для определения ампера — стандартной единицы силы тока.
Ключевые термины
  • ампер : единица электрического тока; стандартная базовая единица в Международной системе единиц. Аббревиатура: amp. Символ: A.
  • ток : Время протекания электрического заряда.
  • магнитное поле : Состояние в пространстве вокруг магнита или электрического тока, в котором существует обнаруживаемая магнитная сила и где присутствуют два магнитных полюса.

Параллельные провода, по которым проходит ток, создают значительные магнитные поля, которые, в свою очередь, создают значительные силы для тока. Сила, ощущаемая между проводами, используется для определения стандартной единицы тока, известной как амфера.

In поле (B 1 ), которое создает I 1 , можно рассчитать как функцию тока и расстояния между проводами (r):

Магнитные поля и сила, создаваемые параллельными токоведущими проводами. : Токи I1 и I2 текут в одном направлении, разделенные расстоянием r.

[латекс] \ text {B} _1 = \ frac {\ mu_0 \ text {I} _1} {2 \ pi \ text {r}} [/ latex]

Поле B 1 воздействует на провод, содержащий I 2 . На рисунке эта сила обозначена как F 2 .

Сила F 2 , действующая на провод 2, может быть рассчитана как:

[латекс] \ text {F} _2 = \ text {I} _2 \ text {lB} _1 \ sin \ theta [/ latex]

Учитывая, что поле однородно вдоль и перпендикулярно проводу 2, sin θ = sin 90 derees = 1. Таким образом, сила упрощается до: F 2 = I 2 lB 1

Согласно Третьему закону Ньютона (F 1 = -F 2 ) силы на двух проводах будут равны по величине и противоположны по направлению, поэтому просто мы можем использовать F вместо F 2 . Учитывая, что провода часто бывают очень длинными, часто бывает удобно найти силу на единицу длины. Преобразуя предыдущее уравнение и используя определение B 1 , получаем:

[латекс] \ frac {\ text {F}} {\ text {l}} = \ frac {\ mu_0 \ text {I} _1 \ text {I} _2} {2 \ pi \ text {r}} [ / латекс]

Если токи в одном направлении, сила притягивает провода. Если токи идут в противоположных направлениях, сила отталкивает провода.

Сила между токоведущими проводами используется как часть рабочего определения ампера.{-7} \ text {N} / \ text {m} [/ latex]

Последние единицы получены при замене Т на 1Н / (А × м).

Между прочим, это значение лежит в основе рабочего определения ампера. Это означает, что один ампер тока через два бесконечно длинных параллельных проводника (разделенных одним метром в пустом пространстве и без каких-либо других магнитных полей) вызывает силу 2 × 10 -7 Н / м на каждый провод.

сила Лоренца | Уравнение, свойства и направление

Сила Лоренца , сила, действующая на заряженную частицу q , движущуюся со скоростью v через электрическое поле E и магнитное поле B . Полная электромагнитная сила F , действующая на заряженную частицу, называется силой Лоренца (в честь голландского физика Хендрика А. Лоренца) и дается формулой F = q E + q v × B .

Первый член вносится электрическим полем. Второй член представляет собой магнитную силу и имеет направление, перпендикулярное как скорости, так и магнитному полю.Магнитная сила пропорциональна q и величине векторного векторного произведения v × B . В терминах угла ϕ между v и B величина силы равна q v B sin ϕ. Интересный результат силы Лоренца — движение заряженной частицы в однородном магнитном поле. Если v перпендикулярно B (т. е.е., с углом ϕ между v и B , составляющим 90 °), частица будет следовать по круговой траектории с радиусом r = м v / q В . Если угол ϕ меньше 90 °, орбита частицы будет представлять собой спираль с осью, параллельной силовым линиям. Если ϕ равно нулю, на частицу не будет действовать магнитная сила, которая продолжит двигаться, не отклоняясь, вдоль силовых линий. Ускорители заряженных частиц, такие как циклотроны, используют тот факт, что частицы движутся по круговой орбите, когда v и B находятся под прямым углом.За каждый оборот тщательно рассчитанное по времени электрическое поле дает частицам дополнительную кинетическую энергию, что заставляет их двигаться по все более большим орбитам. Когда частицы приобрели желаемую энергию, они извлекаются и используются различными способами, от исследования субатомных частиц до лечения рака.

Магнитная сила, действующая на движущийся заряд, определяет знак носителей заряда в проводнике. Ток, протекающий по проводнику справа налево, может быть результатом движения носителей положительного заряда справа налево или движения отрицательных зарядов слева направо или некоторой их комбинации.Когда проводник помещается в поле B , перпендикулярное току, магнитная сила на обоих типах носителей заряда имеет одинаковое направление. Эта сила вызывает небольшую разность потенциалов между сторонами проводника. Это явление, известное как эффект Холла (обнаруженное американским физиком Эдвином Х. Холлом), возникает, когда электрическое поле выравнивается с направлением магнитной силы. Эффект Холла показывает, что электроны определяют проводимость электричества в меди.В цинке же в проводимости преобладает движение носителей положительного заряда. Электроны в цинке, которые возбуждаются из валентной зоны, покидают дырки, которые представляют собой вакансии (то есть незаполненные уровни), которые ведут себя как носители положительного заряда. Движение этих отверстий составляет большую часть проводимости электричества в цинке.

Если провод с током i поместить во внешнее магнитное поле B , как сила, действующая на провод, будет зависеть от ориентации провода? Поскольку ток представляет собой движение зарядов в проводе, сила Лоренца действует на движущиеся заряды.Поскольку эти заряды связаны с проводником, магнитные силы движущихся зарядов передаются на провод. Усилие на небольшой длине проволоки d l зависит от ориентации проволоки по отношению к полю. Величина силы определяется как i d lB sin ϕ, где ϕ — угол между B и d l . Когда ϕ = 0 или 180 °, сила отсутствует, и то и другое соответствует току в направлении, параллельном полю.Сила максимальна, когда ток и поле перпендикулярны друг другу. Усилие составляет d F = i d l × B .

Оформите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту.
Подпишись сейчас

Опять же, векторное произведение обозначает направление, перпендикулярное как d l , так и B .

The Editors of Encyclopaedia Britannica Эта статья была недавно отредактирована и обновлена ​​старшим редактором Эриком Грегерсеном.

Узнайте больше в этих связанных статьях Britannica:

Страница не найдена | MIT

Перейти к содержанию ↓

  • Образование
  • Исследование
  • Инновации
  • Прием + помощь
  • Студенческая жизнь
  • Новости
  • Выпускников
  • О MIT
  • Подробнее ↓

    • Прием + помощь
    • Студенческая жизнь
    • Новости
    • Выпускников
    • О MIT

Меню ↓

Поиск

Меню

Ой, похоже, мы не смогли найти то, что вы искали!
Попробуйте поискать что-нибудь еще!

Что вы ищете?

Увидеть больше результатов

Предложения или отзывы?

Lecture Notes Глава 1

Lecture Notes Глава 1

5. 1. Магнитное поле

Рассмотрим два параллельных прямых провода, по которым течет ток. В
провода являются нейтральными, поэтому между ними отсутствует электрическая сила.
провода. Тем не менее, если ток в обоих проводах течет по одному и тому же
направление, провода притягиваются друг к другу. Если ток в одном из
провода перевернуты, провода отталкиваются друг от друга. Сила
отвечает за притяжение и отталкивание, называется магнитным магнитом
сила
.Магнитная сила, действующая на движущийся заряд q , определяется в
условия магнитного поля :

Векторное произведение требуется, поскольку наблюдения показывают, что сила
действие на движущийся заряд перпендикулярно направлению движущегося
обвинять. В области, где есть электрическое поле и магнитное поле,
Суммарная сила на движущейся силе равна

Это уравнение называется законом силы Лоренца и дает нам
полная электромагнитная сила, действующая на q . Важное отличие
между электрическим полем и магнитным полем заключается в том, что электрическое поле
действует на заряженную частицу (вызывает ускорение или замедление), пока
магнитное поле не действует на движущийся заряд. Это прямой
Следствие закона силы Лоренца:


Мы заключаем, что магнитная сила может изменить направление, в котором
частица движется, но не может изменить свою скорость.

Пример: Проблема
5.1

Частица заряда q попадает в область однородного магнитного
поле

(указывая на страницу). Поле отклоняет частицу на расстояние d
над исходной линией полета, как показано на рисунке 5.1. Это заряд
положительным или отрицательным? В терминах a , d , B и q ,
найти импульс частицы.

Для производства наблюдаемых
отклонения, сила на q на входе в область поля должна быть
направлен вверх (см. рисунок 5.1). Поскольку направление движения частицы
и направление магнитного поля известны, закон силы Лоренца может быть
используется для определения направления магнитной силы, действующей на положительный
заряд и на отрицательный заряд. Векторное произведение между

и

указывает вверх на рис. 5.1 (используйте правило правой руки). Это показывает, что
заряд частицы положительный.

Рисунок
1. Проблема 5.1.

Величина силы, действующей на движущийся заряд, равна
на номер

В результате действия магнитной силы заряженная частица будет следовать за
сферическая траектория. Радиус траектории определяется
требование, чтобы магнитная сила обеспечивала центростремительную силу:

В этом уравнении r — радиус круга, описывающего
Круговая часть траектории заряда q .Уравнение можно использовать для
рассчитать r :

, где p — импульс частицы. Рисунок 5.2 показывает
следующее соотношение между r , d и a :

Это уравнение можно использовать для выражения r через d и
a :

Таким образом, импульс заряда q равен

Рисунок
2. Проблема 5.2.

Электрический ток в проводе возникает из-за движения электронов в
провод. Направление тока определяется как направление, в котором
положительные заряды движутся. Следовательно, в проводнике ток направлен
противоположно направлению электронов. Величина тока равна
определяется как общий заряд за единицу времени, проходящий через заданную точку провода
( I = dq / dt ). Если ток течет в области с ненулевым
магнитное поле, то каждый электрон будет испытывать магнитную силу.Рассмотрим
Крошечный отрезок провода длиной дл . Предположим, что электронная плотность
составляет — λ Кл / м и что каждый электрон движется со скоростью
v . Магнитная сила, действующая со стороны магнитного поля на одиночный электрон
равно

Отрезок провода длиной дл содержит λ дл / э
электроны. Следовательно, магнитная сила, действующая на этом участке, равна
на номер

Здесь мы использовали определение тока I в терминах
dq и dt :


В этом выводе мы определили направление

быть равным направлению тока (и, следовательно, противоположно направлению
направление скорости электронов). Общая сила на проводе составляет
следовательно, равно


Здесь я предположил, что ток постоянен по всему проводу. Если
ток течет по поверхности, обычно это поверхность
плотность тока
, г.
который представляет собой ток на единицу длины, перпендикулярный потоку. Сила на
поверхностный ток равен


Если ток протекает через объем, обычно его описывают в терминах
объемной плотности тока
.Магнитная сила на объемном токе равна


Поверхностный интеграл плотности тока

на поверхности объема В равно общему заряду, выходящему из
объем в единицу времени (сохранение заряда):

Используя теорему о расходимости, мы можем переписать это выражение как

Поскольку это должно выполняться для любого объема V , мы должны потребовать, чтобы


Это уравнение известно как уравнение неразрывности .

5.2. Закон Био-Савара

В этом разделе мы обсудим магнитное поле, создаваемое установкой
валют
т. Постоянный ток — это продолжающийся поток заряда.
навсегда, и будет продолжаться вечно. Эти токи создают магнитные поля
постоянные во времени. Магнитное поле, создаваемое постоянным линейным током
дается законом Био-Савара :


куда

элемент проволоки,

— вектор, соединяющий элемент провода и P , а

— константа проницаемости, равная

Единица измерения магнитного поля — тесла ( Т ).Для поверхности
и объемных токов закон Био-Савара можно переписать как

и

и


куда

указывает из бумаги. Таким образом, полное магнитное поле при P равно
равно

Рисунок
5.3. Проблема 5. 9.

b) Магнитное поле P , создаваемое круглым сегментом
токовая петля равна


куда

указывает из бумаги.Магнитное поле, создаваемое при P каждым
двух линейных сегментов также будут направлены по минусу z
ось. Величина магнитного поля, создаваемого каждым линейным сегментом, равна
только половина поля, создаваемого бесконечно длинным прямым проводом (см. Пример
5 в Гриффитсе):

Таким образом, общее поле в P равно

Пример: Задача 5.12
Предположим, у вас есть два бесконечных
прямолинейные заряды λ , расстояние d друг от друга, движущиеся на
константа v (см. рисунок 5.4). Насколько быстро должно быть v ?
чтобы магнитное притяжение уравновешивало электрическое отталкивание?

Рисунок
5.4. Проблема 5.12.

Когда линейный заряд движется, он выглядит как ток величиной I =
λv . Два параллельных тока притягивают друг друга, и
сила притяжения на единицу длины

и привлекательно.Электричество, генерируемое одним из проводов, можно найти
по закону Гаусса и равно

Электрическая сила на единицу длины, действующая на другой провод, равна
на номер

и является отталкивающим (как заряды). Электрические и магнитные силы равны
сбалансирован при

или

Для этого необходимо, чтобы


Для этого требуется, чтобы скорость v была равна скорости света, и
поэтому этого никогда не достичь.Следовательно, при всех скоростях электрический
сила будет преобладать.

5.3. Дивергенция и завиток B .

Использование закона Био-Савара для объемного тока

мы можем вычислить дивергенцию и ротор
:

и

Это последнее уравнение называется законом Ампера в дифференциальной форме .
Это уравнение можно переписать, используя закон Стокса, как


Это уравнение в интегральной форме называется законом Ампера .
направление вычисления линейного интеграла и направление поверхности
вектор элемента

должно соответствовать правилу правой руки.
Закон Ампера всегда верен,
но это только полезный инструмент для оценки магнитного поля, если симметрия
система позволяет тянуть

вне линейного интеграла. Конфигурации, с которыми может работать Ampere’s
закон:
1. Бесконечные прямые
2. Бесконечные плоскости
3. Бесконечные
соленоиды
4.Тороиды

Пример: Задача 5.14
Толстая плита
от z = — a до z = несет униформу
объемный ток
.
Найдите магнитное поле внутри и снаружи плиты.

Рисунок
5.5. Задача 5.14

Из-за симметрии задачи магнитное поле будет направлено
параллельно оси y . Магнитное поле в области выше
xy плоскость ( z > 0) будет зеркальным отображением поля в
область ниже плоскости xy ( z xy плоскость ( z = 0) будет равна нулю. Рассмотрим амперианца
контур показан на рисунке 5.5. Ток течет из бумаги, и мы
выбрать направление

быть параллельным направлению
.
Следовательно,


Направление вычисления линейного интеграла

должны соответствовать нашему выбору направления

(правило правой руки). Для этого требуется, чтобы линейный интеграл от

должны оцениваться против часовой стрелки. Линейный интеграл от

равно


Применяя закон Ампера, получаем для
:

Таким образом

5.4. Векторный потенциал

Магнитное поле, создаваемое статическим распределением тока, уникально
определяется так называемыми уравнениями Максвелла для магнитостатики :

Точно так же электрическое поле, создаваемое распределением статического заряда, равно
однозначно определяется так называемыми уравнениями Максвелла для
электростатика
:

Дело в том, что расхождение

равен нулю, говорит об отсутствии точечных сборов за
. Поэтому силовые линии магнитного поля нигде не начинаются и не заканчиваются (в отличие от
силовые линии электрического поля, которые начинаются с положительных точечных зарядов и заканчиваются отрицательными
точечные сборы). Поскольку магнитное поле создается движущимися зарядами, магнитное поле
поле не может существовать без электрического поля. В
напротив, будет существовать только электрическое поле, если заряды не
двигаться.
Уравнения Максвелла для магнитостатики показывают, что если ток
плотность известна, дивергенция и ротор магнитного поля равны
известен.Теорема Гельмгольца указывает, что в этом случае существует вектор
потенциал


такое, что

Однако векторный потенциал не определен однозначно. Мы можем добавить к этому
градиент любой скалярной функции f без изменения ее
локон:


Расхождение

равно


Оказывается, всегда можно найти скалярную функцию f такую, что
векторный потенциал

без расхождения. Основная причина введения требования, чтобы

состоит в том, что он упрощает многие уравнения с векторным потенциалом. За
Например, закон Ампера, переписанный в терминах

это

или

Это уравнение похоже на уравнение Пуассона для распределения заряда
ρ :


Следовательно, векторный потенциал

можно рассчитать из текущего

аналогично тому, как мы получили V из ρ .Таким образом,


Примечание: эти решения требуют, чтобы токи стремились к нулю при
бесконечность (аналогично требованию, чтобы ρ стремилось к нулю при
бесконечность).

Пример: Задача 5.22
Найти магнитный вектор
потенциал конечного отрезка прямого провода, по которому проходит ток I .
Убедитесь, что ваш ответ соответствует ур. (5.35) Гриффитса.

ток на бесконечности равен нулю в этой задаче, и поэтому мы можем использовать
выражение для

через линейный интеграл тока I . Считайте провод
расположен вдоль оси z между z 1 и
z 2 (см. Рисунок 5.6) и используйте цилиндрические координаты. В
векторный потенциал в точке P не зависит от φ
(цилиндрическая симметрия) и равняется

Здесь мы предположили, что начало системы координат выбрано
так что P имеет z = 0. Магнитное поле при P может быть
получена из векторного потенциала и равна

, где определены θ 1 и θ 2
на рисунке 5.6. Этот результат идентичен результату примера 5 в
Гриффитс.

Рисунок
5.6. Проблема 5.25.


С

однородна, она не зависит от r , θ и φ и
поэтому второй и третий слагаемые в правой части этого уравнения равны
нуль. Первый член, выраженный в декартовых координатах, равен
.

Четвертый член, выраженный в декартовых координатах, равен


Следовательно, завиток

равно


Расхождение

равно



Пример: Задача 5.26
Найдите вектор-потенциал выше и
ниже плоского поверхностного тока из примера 5.8 в Griffiths.

В примере
5.8 по Гриффитсу, однородный поверхностный ток течет в плоскости xy ,
направлен параллельно оси x :

В области над плоскостью xy ( z > 0) магнитная
поле равно

Следовательно,

В области ниже плоскости xy ( z <0) магнитная поле равно

Следовательно,


Мы можем убедиться, что наше решение для

правильно, вычислив ротор

(которое должно быть равно магнитному полю).Для z > 0:


Векторный потенциал

однако не определен однозначно. Например,

и

также возможные решения, которые создают такое же магнитное поле. Эти
решения также удовлетворяют требованию, чтобы
.

5.5. Три фундаментальных количества
Магнитостатика

5.6. Граничные условия B

В главе 2 мы изучили граничные условия электрического поля и
пришли к выводу, что электрическое поле испытывает разрыв при поверхностном заряде.Точно так же магнитное поле терпит разрыв на поверхности
Текущий.

Рисунок
5.7. Граничные условия для
.

Рассмотрим поверхностный ток

(см. рисунок 5.7). Поверхностный интеграл

над вафельной тонкой дот равен

, где — это площадь верхней и нижней части таблетницы. В
поверхностный интеграл

можно переписать, используя теорему о расходимости:


поскольку

для любого магнитного поля
.Следовательно, перпендикулярная составляющая магнитного поля непрерывна при
поверхностный ток:


Линейный интеграл от

вокруг петли, показанной на рисунке 5.8 (в пределе ε → 0)
равно


Согласно закону Ампера линейный интеграл от

вокруг этого цикла равно

Рисунок
5.8. Граничные условия для
.

Следовательно, граничное условие для составляющей
, г.
параллельно поверхности и перпендикулярно току, равно


Граничные условия для

можно объединить в одно уравнение:


куда

— единичный вектор, перпендикулярный поверхности и поверхностному току, а
указывая «вверх».Векторный потенциал

непрерывна при поверхностном токе, но ее нормальная производная — нет:

5.7. Мультипольное расширение магнитного
Поле

Для вычисления векторного потенциала локализованного распределения тока при
на больших расстояниях мы можем использовать мультипольное разложение. Рассмотрим токовую петлю
с током I . Векторный потенциал этой токовой петли можно записать
как

На большом расстоянии только первая пара членов мультипольного разложения
необходимо учитывать:


Первый член называется монопольным членом и равен нулю.
(поскольку линейный интеграл от

равно нулю для любого замкнутого контура).Второй член, называемый диполем
термин
, обычно является доминирующим термином. Векторный потенциал, порожденный
дипольные члены равны

Это уравнение можно переписать как


куда

называется магнитным дипольным моментом токовой петли. Это определено
как


Если токовая петля является плоской (ток находится на поверхности
самолет) тогда

— площадь треугольника, показанного на рисунке 5.9. Следовательно,

, где a — это область, ограниченная токовой петлей. В этом случае
дипольный момент токовой петли равен


где направление

должно соответствовать направлению тока в контуре (правый
правило).

Рисунок
5.9. Расчет
.

Предполагая, что магнитный диполь расположен в начале нашего
система координат и что

указывает вдоль положительной оси z , получаем для
:

Соответствующее магнитное поле равно


Форма поля, создаваемого магнитным диполем, идентична форме поля.
форма поля, создаваемого электрическим диполем.

Пример: Проблема
5.33

Покажите, что магнитное поле диполя можно записать в виде
в произвольной форме координат:

Рисунок
5.10. Проблема 5.33.

Рассмотрим конфигурацию, показанную на рисунке 5.10. Скалярное произведение
между

и

равно


Скалярное произведение между

и

равно

Следовательно,



Пример: Задача 5.34
Круглая проволочная петля с радиусом
R , лежит в плоскости xy с центром в начале координат и несет
ток I вращается против часовой стрелки, если смотреть со стороны плюса z
ось.
а) Каков его магнитный дипольный момент?
б) Что это (приблизительно)
магнитное поле в точках, удаленных от начала координат?
c) Покажите, что для точек на
z , ваш ответ соответствует точному полю, вычисленному в
Пример 6 Гриффитса.

a) Поскольку токовая петля является плоской, ее
дипольный момент легко вычислить. Равно

б) Магнитное поле на больших расстояниях примерно равно
на номер

c) Для точек на положительной оси z θ = 0 °.
Следовательно, для z > 0

Передние точки на отрицательной оси z θ = 180 °.Следовательно, для z <0


Точное решение для

на положительной оси z

Для z » R поле примерно равно


что согласуется с дипольным полем тока
петля.

Пример: Задача 5.35
Фонографическая запись радиуса
R , несущий однородный поверхностный заряд σ , вращается на
постоянная угловая скорость ω .Найдите его магнитный диполь
момент.

Период вращения диска равен

Считайте, что диск состоит из большого количества тонких колец. Рассмотрим
одинарное кольцо с внутренним радиусом r и dr . Заряд на такой
кольцо равно

Поскольку заряд вращается, движущийся заряд соответствует току
dI :

Следовательно, дипольный момент этого кольца равен

Полный дипольный момент диска равен

Фотоника | Бесплатный полнотекстовый | Оптические силы, действующие на двойную ДНК-подобную спираль, ее разматывание и разрыв нитей

1.Введение

Эта статья основана на исследованиях, проведенных в последние годы по воздействию электромагнитного излучения на молекулу ДНК. Эти исследования показывают, что молекула ДНК может быть значительно повреждена электромагнитным излучением с его особыми характеристиками, такими как интенсивность, длительность импульса, частота и другие. Хотя мы говорим о влиянии электромагнитных волн различного диапазона, механизм этих эффектов еще не изучен на уровне электромагнитной теории.В этой статье рассматривается проблема применения законов классического электромагнетизма для описания эффектов световой волны на двойной спирали, подобной ДНК, и для расчета сил, действующих на нити. Решить такую ​​задачу невозможно без учета специфического механизма проводимости молекулы ДНК. В настоящее время четкий вывод об электропроводности молекулы ДНК не сделан, поскольку она проявляет очень разные проводящие свойства в различных условиях, таких как изолятор, проводник или полупроводник.Поэтому в статье используется модель ДНК-образной спирали как идеального электрического проводника, которая может служить основой для дальнейших более глубоких исследований и сравнения с экспериментальными данными.

За последние несколько лет активизировались исследования различных состояний молекулы ДНК: изучаются суперспиральные, релаксированные и линейные состояния [1,2,3,4]. Рассмотрены различные возможные механизмы переходов молекулы ДНК между этими состояниями, в том числе переходы под действием электронов или интенсивного инфракрасного (ИК) излучения.Эти переходы могут происходить в результате разрывов одной или обеих цепей, образующих двойную спираль молекулы ДНК. Большой интерес представляют также исследования различных аспектов процесса репликации ДНК, в том числе механических. Например, в недавно опубликованной статье [5] обсуждаются механические и топологические свойства хроматина, позволяющие разделять нити ДНК без запутывания. Изучается возможное расположение суперспирали относительно движущейся реплисомы, при котором происходит мягкое разделение цепей, и репликация ДНК происходит без повреждения генов.Очень важной особенностью, изученной в [5], является одновременное присутствие силы, распрямляющей молекулу, и момента, раскручивающего двойную спираль в процессе репликации. Эффекты электромагнитных сил, действующих в процессе репликации ДНК, остаются за рамками статьи [5] и других исследований. В этой статье мы изучаем электромагнитные силы, индуцированные в молекулах ДНК внешними электромагнитными волнами. Мы используем электродинамический подход и рассматриваем одновременно возникающие силы и моменты, связанные между собой и действующие вдоль оси двойной спирали.Причина возникновения таких сил уже не в действии реплисомы, как в [5], а во влиянии внешней электромагнитной волны. Поиск возможностей манипулировать молекулами ДНК (перемещать, вращать, раскручивать, разрывать нити и т. Д.) С использованием механических сил, создаваемых световым освещением, потенциально может предложить новый инструмент молекулярного масштаба в дополнение к химическим средствам. Согласно экспериментальным данным, молекула ДНК демонстрирует сильное поглощение для некоторых длин волн электромагнитного поля в ультрафиолетовом и видимом диапазонах.Такое поглощение можно рассматривать как возбуждение сильного поляризационного тока в спиралях, поскольку поглощающие центры (атомы и молекулы) периодически присутствуют в спирали по всей ее длине. При взаимодействии с волной они обеспечивают определенный эффективный ток по всей спирали. Эффективные электрические токи вдоль спиралей ДНК создают силы, прикладываемые к цепям ДНК, которые потенциально могут использоваться для манипулирования молекулой. Поскольку молекула ДНК имеет полосу поглощения в ультрафиолетовом и видимом диапазоне вблизи длин волн λ1res = 280 нм и λ2res = 500 нм [6,7,8], мы ожидаем, что можно будет избирательно применять инженерные силы к молекулам ДНК, используя соответствующие освещение светом в этих частотных диапазонах.

Для анализа механических сил, действующих на спирали ДНК падающим светом, и опасности «неправильного» разматывания спирали и разрыва нитей, мы можем использовать методы классической электродинамики, учитывая эффективный электрический ток, существующий в двойной спирали.

Электропроводность молекулы ДНК и ее механизмы продолжают привлекать внимание исследователей [9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25 , 26,27,28,29], но они еще полностью не изучены. Водяной покров, на котором расположена молекула ДНК, может привести к электропроводности макромолекулы.Кроме того, в молекуле ДНК может возникать не только ток проводимости, но и ток поляризации. Механизмы проводимости молекул ДНК и их детали остаются за рамками данной статьи. Для такой молекулы возможны сверхспиральные, релаксированные и линейные состояния [1,2,3,4], последнее из которых рассматривается в данной статье.

Это исследование представляет собой шаг к изучению возможностей активации молекулы ДНК под действием внешнего электромагнитного поля, длина волны которого намного больше длины витка спирали и относится к оптическому диапазону.В то же время длина всей спирали может быть близка к половине длины волны, и тем самым могут быть выполнены условия резонансного взаимодействия. Молекула ДНК — это макромолекула, в которой периодически расположены атомы, молекулы и другие молекулярные образования. Эти молекулы и атомы активируются на определенных частотах, и для нас важны случаи, когда эти частоты совпадают с полуволновым резонансом на всю длину спирали. Тогда возникает вопрос, может ли полуволновой резонанс возникнуть в молекуле ДНК или в ее участке из-за периодически расположенных центров поглощения.

Равновесие двойной спирали под действием оптических сил представляет интерес с другой точки зрения, то есть для оптимизации структуры метаматериалов. Металлические спирали как элементы метаматериалов широко используются из-за их свойств вызывать сильные электрические и магнитные отклики, которые можно настраивать, изменяя геометрию спирали. Следовательно, метаматериалы на основе спиралей обладают внутренней способностью управлять основными электромагнитными характеристиками поля в широком диапазоне в зависимости от конкретных целей [30,31,32,33,34].Особое место среди спиралей занимают бифилярные спирали, состоящие из двух спиральных проводников. Эти проводники расположены взаимно симметрично: вторая спираль повернута относительно первой на 180 градусов вокруг общей оси спирали (оси X). Электрические токи в таких бифилярных спиралях более сбалансированы, чем в случае одиночных спиралей, что приводит к симметрии свойств метаматериалов, так как некоторые компоненты тензоров диэлектрической восприимчивости и магнитной восприимчивости исчезают.В то же время возникает вопрос об устойчивости бифилярной спирали, поскольку электрические токи в двух спиралях близки друг к другу и могут сильно взаимодействовать [35,36,37,38]. Двухцепочечная спираль со своими Оптимальный угол наклона имеет самую высокую поляризуемость среди других оптимальных спиралей. Это структурное преимущество может быть полезным при создании, например, метаматериалов с отрицательным преломлением и метаповерхностей с низким отражением и высоким поглощением [39,40], управления состоянием поляризации или фазой пропускания и т. Д.[41,42,43]. Состояния возбуждения длинной бифилярной спирали с квазистационарным распределением электрических токов уже исследовались ранее в [44,45]. А в статье Семченко и др. [44] изучает двунаправленную симметричную двухцепочечную спираль, статья [45] посвящена асимметричной ДНК-подобной спирали. Это конкретное состояние возбуждения реализуется, когда длина волны возбуждения намного больше, чем длина витка спирали. С механической точки зрения скручивание и напряжения в двухцепочечной спирали имеют особое значение для резонансного возбуждения.

В данной работе в рамках классической электродинамики рассматривается вопрос о равновесии двойной ДНК-подобной спирали в линейном состоянии, а также опасность «неправильного» раскручивания спирали и разрыва нитей под действием внешней волны. Изучено взаимодействие токов и зарядов в двух спиралях в случае, когда длина волны электромагнитного поля значительно превышает длину витка спирали. Ожидается, что стоячая электромагнитная волна возникнет в виде двойной спирали, в которой чередуются пучности электрического тока и заряда.Численное моделирование линейного сегмента двойной ДНК-подобной спирали, состоящего из 20 витков, проводилось в условиях полуволнового резонанса на полную длину одной нити в распрямленном состоянии. Определены резонансная частота и направление электрического тока в обеих нитях, образующих двойную спираль. Получены аналитические выражения для всех составляющих сил, действующих на произвольный элемент одной спирали со стороны другой спирали, рассматриваемых в целом.Учитывается взаимный сдвиг спиралей вдоль их оси, который имеет место в реальной спирали молекулы ДНК. Показано, что такое относительное смещение двух спиралей приводит к одновременному существованию силы и момента силы, действующим на каждую спираль и направленным вдоль их общей оси. Эти осевые составляющие силы и момента силы взаимно пропорциональны. Эти взаимосвязанные сила и моменты силы могут привести к раскручиванию двойной спирали и ее разделению на две отдельные нити без повреждений.Подобное «мягкое» раскручивание двойной спирали, без ее повреждения, происходит во время репликации ДНК под действием геликазы или раскручивающего белка.

В более ранней работе [5] не рассматривались особенности электромагнитных сил, действующих в процессе репликации ДНК. Механические аспекты осевого растяжения и латерального расстегивания двухспиральной молекулы ДНК рассмотрены в [46], но без анализа электромагнитных сил.

На основе классической электродинамики сделано предположение о роли взаимного смещения двух спиралей относительно их общей оси в молекуле ДНК.Рассчитаны радиальные составляющие сил взаимодействия электрических токов и зарядов и определена их зависимость от угла наклона двойной спирали. Эти радиальные составляющие сил описывают взаимное притяжение или отталкивание двух спиралей и существуют как для симметричной двойной спирали, так и при взаимном смещении двух спиралей вдоль их общей оси.

2. Распределение электрических токов и зарядов в двойной спирали и образование стоячей волны

Рассматриваются длинные спирали, содержащие большое количество витков.При этом эти спирали имеют конечную длину, поэтому в каждой из них устанавливается стоячая волна электрического тока в результате отражения волн от концов спиралей. Мы предполагаем, что падающая волна является квазимонохроматической, а время возбуждения достаточно велико для возбуждения резонансной моды спирали.

Когда это условие выполнено, сила электрического тока в первой и второй спиралях может быть записана как

I1 (l1, t) = I1maxcos (kl1) cos (ωt), I (l, t) = Imaxcos (kl) cos (ωt),

(1)

где l1 и l — координаты, отсчитываемые по первой и второй винтовой линии; I1max и Imax — амплитуды стоячих волн тока; k = ωc — волновое число; ω — частота циклического тока.Поскольку вторая спираль смещена к первой по оси X на xs, выполняются следующие соотношения

lsinα = x − xs, l1sinα = x1,

(2)

где α — угол наклона винтовой линии относительно плоскости, перпендикулярной оси X. Этот угол удовлетворяет соотношениям

tgα = h3πr, sinα = hP, P = (2πr) 2 + h3,

(3)

где r — радиус витка спирали; h = 2π | q | шаг спирали; q — специфическая намотка спирали, положительная (q> 0) для правой спирали и отрицательная (q <0) для левой спирали; P - длина витка спирали.Схема двойной ДНК-подобной спирали со взаимным смещением спиралей вдоль оси X показана на рисунке 1. Длина витка спирали может быть рассчитана с помощью теоремы Пифагора (см. Рисунок 2). Важное соотношение следует также из чертеж витка в развернутом виде который будет часто использоваться в последующих расчетах. Здесь знак «+» используется в случае правой спирали, а знак «-» верен для левой спирали. Распределение электрических зарядов в спирали также образует стоячую волну и может быть рассчитано на основе уравнения неразрывности

1S0∂I∂l + ∂ρ∂t = 0,

(5)

где S0 — эффективное сечение спирального проводника, а ρ — объемная плотность электрического заряда.Теперь можно писать для двух спиралей

ρ1 (l1, t) = 1S0cI1maxsin (kl1) sin (ωt), ρ (l, t) = 1S0cImaxsin (kl) sin (ωt).

(6)

В случае идеального проводника объемная плотность заряда ρ обращается в нуль, и основное значение приобретает поверхностная плотность заряда σ. Поэтому при рассмотрении идеального проводника во всех формулах необходимо произвести замену ρS0 → σ2πr0, где S0 = πr02, а r0 — радиус сечения проводника.

3. Сила взаимодействия электрических токов, возникающих в двух нитях, и момент этой силы

Сначала рассмотрим взаимодействие низкочастотных токов, для которых длина электромагнитной волны λ значительно превышает длину витка спирали. П:
где λ = 2πcω.Для низкочастотных токов в двух нитях сила их взаимодействия может быть рассчитана с помощью закона Ампера, а индукция магнитного поля может быть рассчитана на основе закона Био – Савара:

dF → mag = [Idl → B →], B → = μ04π∫ [I1dl → 1R →] R3.

(8)

В правой части формулы (8) мы не учитываем замедление электромагнитных волн при их распространении по спирали, поскольку эффекты замедления в этом случае незначительны. Ниже рассматривается участок двойной спирали, содержащий 20 витков и удовлетворяющий условию полуволнового резонанса.Для такого участка спирали максимально возможное время запаздывания составляет τretmax = Lmaxc = 20Pc = λ2c = T2, где T = 1ν — период электромагнитной волны. Это время задержки волн по всей длине спирали. Однако магнитная индукция, создаваемая элементом тока, уменьшается в пространстве с увеличением расстояния по закону B ~ 1R2. Более того, силы, создаваемые удаленными частями двух спиральных проводников, имеют тенденцию отменяться. Следовательно, как показали численные расчеты, только два соседних витка спирали, близких к точке наблюдения, оказывают существенное влияние на ток в спирали.В этом случае эффективное время запаздывания волн существенно уменьшается и может быть оценено как τreteff = Leffc = 2Pc = λ20c = T20. Эти количественные оценки показывают, что в этом расчете можно пренебречь эффектом замедления электромагнитной волны.

Если неравенство (7) не выполняется, то имеет место высокочастотное возбуждение спирали. В этом случае необходимо ввести векторный потенциал A → = μ04π∫LI1dl1 → R, с помощью которого можно рассчитать магнитную индукцию по формуле B → = rotA →.Однако в предельном низкочастотном случае этот метод расчета приводит к тому же результату, что и соотношения (8).

Здесь dF → mag — сила Ампера, действующая на физически малый токовый элемент Idl → во второй спирали со стороны всей первой спирали; квадратные скобки обозначают векторное произведение, dl → 1 и dl → — физически малые элементы первой и второй спиралей, B → — индукция магнитного поля, создаваемого всей первой спиралью в точке расположения второго элемента спирали dl →, R → — радиус-вектор, проведенный от элемента первой спирали dl → 1 к элементу второй спирали dl →, μ0 — магнитная постоянная, и интегрирование выполняется по всей первой спирали.

Выбрав направление осей координат, как показано на рисунке 3, и точку отсчета полярного угла ϕ от оси Y, можно записать соотношения для компонентов вектора dl → 1, характеризующих физически малый элемент первая спираль как

dl1x = dx = ± sinα⋅dl1, dl1y = ± cotα⋅sinϕ⋅dx, dl1z = ± cotα⋅cosϕ⋅dx,

(9)

где знак «+» соответствует правой спирали, а знак «-» действителен для левой спирали. Мы рассматриваем асимметричную ДНК-подобную спираль, в которой две спирали взаимно сдвинуты вдоль их общей оси на xs .Как показывают экспериментальные данные [47], реальная спираль ДНК имеет следующие параметры: r = 10-9 м, h = 3,4⋅10-9 м, а значит, q = 1,85⋅109 радм. Согласно статье Watson et al. Согласно [48] угол поворота второй спирали относительно симметричного положения us = 53 град = 0,93 рад. Поскольку для спирали выполняются соотношения

мы получаем

xs = 0,5⋅10−9 m = 12r, us = 12cotαexp,

(12)

где αexp = 28.4 град — угол наклона двойной спирали ДНК, полученный из экспериментальных данных [47].Сила Ампера, действующая на текущий элемент Idl → во второй спирали со стороны всей первой спирали, имеет максимальное значение в точке, где находится текущая пучность, например, когда l = 0 в точке A. Это для При этом наиболее ярко выражено магнитное взаимодействие двух спиралей. Точка A, расположенная на второй спирали, имеет координаты (xs, 0, −r). Тогда радиус-вектор R →, проведенный из произвольного элемента первой спирали dl → 1 в точку A, можно выразить как

R → = R → 0 + xsx → 0 − rz → 0,

(13)

где x → 0, y → 0, z → 0 — единичные векторы декартовой системы координат; R → 0 — радиус-вектор, проведенный от произвольного элемента первой спирали dl → 1 к началу системы координат.Из рис.3 видно, что компоненты вектора R → 0 равны

R0x = −x, R0y = −rcosϕ, R0z = −rsinϕ.

(14)

На основании формул (13) и (14) модуль радиус-вектора R → может быть вычислен как

R = ((x − xs) 2 + 2r2 (1 + sinϕ)) 12.

(15)

Поскольку вторая спираль вращается относительно первой в двойной спирали ДНК, соотношение, подобное формуле (10), выполняется для второй спирали: тогда компоненты второго элемента спирали dl → в точке A, когда x = xs , можно записать в виде, аналогичном Формуле (9):

dlx = dx, dly = ± cotα⋅dx, dlz = 0,

(17)

где знак «+» означает правую спираль, а знак «-» соответствует левой спирали.Используя соотношения (17), получаем составляющие силы Ампера (8), действующие на физически малый токовый элемент Idl → во второй спирали в точке A, где есть максимальная сила тока в стоячей волне, со стороны всей первая спираль:

dFxmag = IdlyBz, dFymag = −IdlxBz, dFzmag = I (dlxBy − dlyBx).

(18)

Из формул (17) и (18) следует следующее соотношение между составляющими силы магнитного взаимодействия:

dFxmagdFymag = ∓cotα,

(19)

где верхний знак соответствует правой спирали, а нижний знак действителен для левой спирали.Очень важно, что соотношение (19) выполняется для произвольных значений I и B →, т.е. для любых значений постоянных или квазистационарных (низкочастотных) электрических токов в двух спиралях. Все компоненты силы dF → mag в точке второй спирали можно записать в цилиндрической системе координат:

dFy = dFϕ, dFz = −dFr,

(20)

и компонент dFx не меняется. Таким образом, силовая составляющая dFzmag направлена ​​по радиусу винтового витка к центру витка, т.е., при dFzmag> 0 происходит притяжение спиралей, а при dFzmag <0 спирали взаимно отталкиваются. Составляющая силы dFxmag направлена ​​вдоль оси двойной спирали и может приводить к сжатию или растяжению второй спирали. Составляющая силы dFϕmag находится в полярной плоскости и может вызвать второе вращение спирали. Введем силовой момент, действующий на второй элемент спирали Теперь, учитывая формулу (7), соотношение (19) можно преобразовать к виду

〈DFxmag〉 t = −q 〈dMxmag〉 t,

(22)

что верно как для правой спирали (q> 0), так и для левой (q <0).Здесь угловые скобки с индексом t обозначают операцию усреднения по времени. Для дальнейших расчетов удобно произвести замену переменной u = qx1, т.е. учесть соотношения (11). Интегрируя по всей длине первой спирали и усредняя силу по времени, получаем все три составляющие силы Ампера, действующей на элемент тока Idl →:

〈DFxmag〉 t = μ04πr12ImaxI1maxdlcosα · cot2α∫ − ∞ + ∞cos (Pλu) (sinu + (us − u) cosu) du ((us − u) 2 + 2cot2α (1 + cosu)) 32,

(23)

〈DFymag〉 t = −tgα⋅ 〈dFxmag〉 t,

(24)

〈DFzmag〉 t = μ04πr12ImaxI1maxdlsinα · cot2α∫ − ∞ + ∞cos (Pλu) ((1 − cot2α) (1 + cosu) — (us − u) sinu) du ((us − u) 2 + 2cot2α (1 + cosu) )) 32.

(25)

При выводе формул (23) — (25) было высказано предположение, что токи в двух спиралях проходят в одном направлении относительно оси спиралей. В каждом конкретном случае направление этих токов зависит от условий активации спирали. Интегрирование осуществляется в бесконечных пределах, т.е. рассматриваются очень длинные спирали, состоящие из большого числа витков.

Формулы (23) — (25) показывают следующее: (1) угол наклона двойной спирали α, который часто встречается в этих формулах, является очень важным параметром; (2) отношение длины витка спирали к длине волны электромагнитного поля Pλ также является важной характеристикой, в то время как P и λ не появляются по отдельности; (3) фактор μ04πrImaxI1maxdl характерен для описания взаимодействия двух токов, находящихся на расстоянии 2r друг от друга; 4) коэффициент 12 появился за счет усреднения силы Ампера по времени; (5) специфическая намотка спирали q и шаг спирали h явно не фигурируют в этих формулах.Эта форма формул (23) — (25) очень удобна и универсальна, так как их можно применить также к ДНК-подобным спиралям, проявляющим, например, резонансные свойства в микроволновом диапазоне, для которого q≈102 м-1, h≈10−2 м. Эти формулы в таком же виде можно использовать и для реальной спирали ДНК, для которой q≈109 м-1, h≈10-9 м.

Формула (22) показывает, что сила и момент силы, действующие на текущий элемент во второй спирали вдоль его оси со стороны первой спирали, существуют одновременно и неразрывно связаны.Если взаимный сдвиг спиралей отсутствует, т.е. us = 0, подинтегральная функция в формуле (23) становится нечетной, и обе величины в формуле (22) исчезают. В то же время радиальная составляющая магнитной силы, которая отвечает за притяжение или отталкивание токов в двух спиралях, продолжает существовать для симметричной спирали, поскольку субинтегральная функция в формуле (25) имеет вид даже тогда, когда нас = 0. Таким образом, взаимное смещение спиралей приводит к возникновению магнитной силы и силового момента, действующих на токи вдоль оси спирали.

Сила с разными составляющими и момент силы, действующий на каждую спираль, могут повлиять на баланс двойной спирали. Это следует учитывать при создании метаматериалов на основе ДНК-подобных спиралей, а также при изучении процессов, происходящих в реальной спирали ДНК, например, при ее репликации.

4. Сила взаимодействия электрических зарядов, индуцированных в двух нитях, и момент этой силы

Рассмотрим также взаимодействие электрических зарядов в нитях двойной ДНК-подобной спирали.Эта сила принимает максимальное значение для физически малого элемента спирали, на котором расположена пучность электрического заряда, например, при l = λ4 в формуле (1). Именно по этой причине электрическое взаимодействие двух спиралей наиболее ярко выражено. Поскольку здесь рассматривается низкочастотное приближение, поэтому сила взаимодействия электрических зарядов может быть определена с помощью закона Кулона

dF → el = 14πε0dq∫dq1R3R →.

(26)

Здесь dF → el — кулоновская сила, действующая на физически малый заряд dq на второй спирали со стороны всей первой спирали; dq1 — некоторый элементарный заряд на первой спирали; R → — радиус-вектор, проведенный от элементарного заряда dq1 к заряду dq; ε0 — электрическая постоянная, интегрирование ведется по всей первой спирали.Электрические заряды на физически малых элементах первой и второй спиралей можно записать как

dq1 = ρ1S0dl1 = ρ1S0dx1sinα, dq = ρS0dl = ρS0dxsinα,

(27)

где ρ1 и ρ — объемная плотность электрического заряда для первой и второй спиралей соответственно.

Если условие (7) не выполняется, то мы имеем дело с высокочастотным взаимодействием. В этом случае, помимо векторного потенциала A →, выражение для которого дано после уравнений (8), необходимо также ввести скалярный потенциал φ = 14πε0∫Vρ1dVR, на основании которого напряженность электрического поля может быть вычисляется по формуле E → = −grad φ− ∂A → ∂t.Однако при переходе к пределу низких частот этот метод расчета дает тот же результат, что и формула (26). В самом общем случае тензор напряжений Максвелла также может использоваться для расчета сил электромагнитного взаимодействия. Однако при низких частотах электромагнитного поля этот фундаментальный способ расчета приводит к тому же результату, что и законы Кулона и Био – Савара, применяемые в этой статье.

Для удобства вычислений можно сместить начало координат по оси X на xel = λ4sinα.Точка А будет на месте максимальной объемной плотности электрического заряда во второй спирали. Аналогично формуле (5), можно записать значения ρ1 и ρ с учетом сдвига начала координат:

ρ1 (l1, t) = 1S0cI1maxcos (kl1) sin (ωt), ρ (l, t) = 1S0cImaxcos (kl) sin (ωt).

(28)

Вычисляя интеграл в формуле (26) по всей длине первой спирали и находя среднее значение силы по времени, мы получаем все три составляющие кулоновской силы, действующей на элемент заряда dq:

〈DFxel〉 t = μ04πr12ImaxI1maxdlcotαsinα∫ − ∞ + ∞cos (Pλu) (us − u) du ((us − u) 2 + 2cot2α (1 + cosu)) 32,

(29)

〈DFyel〉 t = μ04πr12ImaxI1maxdlcot2αsinα∫ − ∞ + ∞cos (Pλu) sinudu ((us − u) 2 + 2cot2α (1 + cosu)) 32,

(30)

〈DFzel〉 t = −μ04πr12ImaxI1maxdlcot2αsinα∫ − ∞ + ∞cos (Pλu) (1 + cosu) du ((us − u) 2 + 2cot2α (1 + cosu)) 32.

(31)

При выводе формул (29) — (31), как и ранее, учитывались токи в двух спиралях, проходящих в одном направлении относительно оси спиралей. Направление этих токов в каждом конкретном случае зависит от условий возбуждения спирали.

Для нас важен вопрос, выполняется ли соотношение для силы и момента силы при взаимодействии электрических зарядов в двойной спирали, подобное формуле (22), которую мы получили для силы Ампера.Если формула (22) следует непосредственно из выражений (18) и (19), то аналогичное соотношение не заметно в явном виде в формулах (29) и (30). Рассмотрим вспомогательный интеграл

Int = ∫ − ∞ + ∞ (us − u + cot2αsinu) du ((us − u) 2 + 2cot2α (1 + cosu)) 32

(32)

и введем функцию w = (us − u) 2 + 2cot2α (1 + cosu). Вычисляя производную dwdu = −2 (us − u) −2cot2α⋅sinu, получаем

Int = −12∫ − ∞ + ∞dww32 = 1w12 | −∞ + ∞ = 0.

(33)

Умножая формулу (30) на cotα, суммируя результат с формулой (29) и принимая во внимание соотношение (33), мы получаем соотношение для электрической силы и момента силы, аналогичное формуле (22):

〈DFxel〉 t = −q 〈dMxel〉 t.

(34)

Следует отметить, что формула (34) справедлива для произвольных значений электрических зарядов в двух спиралях, если эти заряды постоянны или изменяются медленно.

Следовательно, сила и момент силы, действующие на элемент заряда во второй спирали вдоль его оси со стороны первой спирали, взаимно пропорциональны, т. Е. Существуют одновременно. Обе величины в формуле (34) обращаются в ноль для симметричной двойной спирали, т.е. когда us = 0. В то же время радиальная составляющая электрической силы, описывающая притяжение или отталкивание зарядов в двух спиралях, существует как для взаимно смещенных, так и для симметрично расположенных спиралей.Таким образом, взаимное смещение спиралей приводит к возникновению электрической силы и момента силы, действующего на заряды вдоль оси спирали.

5. Радиальные и осевые компоненты магнитных и электрических сил: притяжение и отталкивание двух спиралей

Также представляет интерес зависимость от угла наклона спирали всех составляющих (X, Y и Z) сил (23) — (25) и (29) — (31), создаваемые как магнитным, так и электрическим полями (см. Рисунок 4). Wolfram Mathematica использовалась для численных расчетов аналитических формул, а программа ANSYS HFSS использовалась для численного моделирования сил.Рисунок 4 показывает хорошее согласие между теорией и моделированием. Следует напомнить, что учитываются электрические и магнитные силы в различных точках двойной спирали, поэтому эти силы анализируются индивидуально. Магнитная сила рассматривается в пучности электрического тока, где эта сила имеет максимальное значение, а электрическая сила равна нулю. Точно так же электрическая сила рассматривается в пучности электрического заряда, где эта сила достигает своего максимума, а магнитная сила равна нулю.Положительная Z-составляющая магнитной или электрической силы означает радиальное притяжение элементарной части второй спирали к первой, а отрицательное значение Z-составляющей означает радиальную силу отталкивания. Рисунок 4 демонстрирует интересную особенность: существует определенный равновесный угол наклона спирали (α0≈38 град), при котором Z-компонента магнитной силы обращается в нуль, что означает отсутствие радиального притяжения или отталкивания элементарного тока во второй спирали. относительно всей первой спирали [44].При этом конкретном угле α0 радиальная составляющая силы магнитного взаимодействия спиралей меняет знак. Следовательно, спирали с вытянутыми витками, для которых α> α0, взаимно притягиваются. Этот факт соответствует хорошо известному предельному случаю α → π2, когда имеется притяжение двух прямых длинных проводников, в которых токи текут в одном направлении. Напротив, спирали с более сжатыми витками, для которых α <α0, отталкиваются по радиусу спирали, если токи текут в одном направлении относительно оси спирали.

Что касается составляющей электрической силы Z, то она отрицательна для всех углов наклона двойной спирали, что означает взаимное радиальное отталкивание зарядов в двух спиралях.

Угол наклона спирали ДНК, согласно экспериментальным данным, составляет αexp = 28,4 град [47,48]. На рис. 4 видно, что для такого питч-угла αexp при одинаковом направлении токов в двух спиралях между нитями двойной спирали возникают радиальные силы отталкивания. Во-первых, отталкиваются электрические заряды, имеющие одинаковый знак в двух нитях: 〈dFzel〉 t <0.Во-вторых, поскольку выполняется неравенство αexp <α0, электрические токи, имеющие одинаковое направление в двух нитях относительно оси спирали, также отталкиваются: 〈dFzmag〉 t <0. Следовательно, силы отталкивания действуют вдоль всей двойной спирали как в областях пучностей электрического заряда, так и в областях пучностей электрического тока. Эта радиальная сила отталкивания, действующая вдоль всей спирали, может привести к повреждению и разрыву нитей в двойной спирали.

Если неравенство выполняется для угла наклона спирали α≥80 градусов, витки двойной спирали сильно растянуты.Тогда Z-компоненты электрической и магнитной сил примерно равны друг другу с противоположным знаком. Это равенство обеспечивает равновесие двух жил, которые по форме близки к прямым проводникам, на любом расстоянии между ними. Относительно оси Z, перпендикулярной нитям, электрические заряды в двух нитях являются взаимно отталкивающими, поскольку имеют одинаковые знаки. В этом случае электрические токи взаимно притягиваются, поскольку они имеют одинаковое направление и одинаковую силу.

X- и Y-компоненты электрических и магнитных сил становятся важными для более сжатых витков. X-составляющая электрической силы превышает Z-составляющую электрической силы по модулю, если α≤20 град. В то же время X-составляющая магнитной силы становится более значительной по сравнению с Z-составляющей магнитной силы по модулю, если α≤45 град. X-составляющая сил может привести к сжатию или растяжению спирали, а Y-составляющая может привести к намотке или раскручиванию спирали.Как показано на рисунке 4, X- и Y-компоненты электрических и магнитных сил ведут себя симметрично с изменением угла наклона двойной спирали. X-составляющая электрической силы приблизительно равна X-составляющей магнитной силы, взятой со знаком минус, для всех углов наклона спирали. Такое же примерное равенство справедливо для Y-составляющих электрической и магнитной сил. Эти свойства сил обеспечивают равновесие нитей двойной спирали относительно осей X и Y (электрические заряды в двух нитях взаимно отталкиваются, а электрические токи взаимно притягиваются с одинаковой силой).

Если угол наклона спирали стремится к нулю, то составляющие сил, как показывают графики, имеют особенность. Винтовые витки становятся очень сжатыми, практически плоскими при таких углах наклона, и две спирали перекрывают друг друга. Расстояние между ними стремится к нулю, и поэтому силы взаимодействия неограниченно возрастают.

6. Тангенциальная составляющая силы, действующей на спираль

Выше мы рассмотрели точку А, в которой сила тока или плотность заряда имеют максимальные значения, т.е.е., область пучности электрического тока или заряда. В этой точке действует только магнитная или только электрическая сила. Также необходимо учитывать другую точку спирали, смещенную относительно пучности тока и заряда. Для удобства вычислений мы смещаем начало координат, которое ранее находилось в центре спирали, вдоль оси спирали на −xc. Теперь центр спирали будет иметь координату xc. Вводя uc = qxc аналогично формуле (11), мы фактически характеризуем положение центра спирали в новой системе координат углом поворота спирали, выраженным в радианах.Используя формулы (1), (3) и (11), мы можем записать силу электрического тока в первой и второй спиралях в виде

I1 (u, t) = I1maxcos (Pλ (u − uc)) cos (ωt), I (u, t) = Imaxcos (Pλ (u − uc − us)) cos (ωt).

(35)

Поскольку вторая спираль имеет смещение относительно первой, рассмотрим, как и раньше, точку на второй спирали с координатой x = xs, u = us. Аналогично формулам (23) — (25) получаем все три составляющие силы Ампера, действующей на текущий элемент Idl → во второй спирали со стороны всей первой спирали, в зависимости от расстояния до начала координат, выражается в углах поворота спирали:

〈DFxmag (uc)〉 t = μ08πrImaxI1maxdlcos (Pλuc) cos3αsin2α∫ − ∞ + ∞cos (Pλ (u − uc)) (sinu + (us − u) cosu) du ((us − u) 2 + 2cot2α (1 + cosu) )) 32,

(36)

〈DFymag (uc)〉 t = −tgα⋅ 〈dFxmag (uc)〉 t,

(37)

〈DFzmag (uc)〉 t = μ08πrImaxI1maxdlcos (Pλuc) cos2αsinα∫ − ∞ + ∞cos (Pλ (u − uc)) ((1 − cot2α) (1 + cosu) — (us − u) sinu) ((us− и) 2 + 2cot2α (1 + cosu)) 32

(38)

Аналогично формуле (6) можно записать объемную плотность электрического заряда для двух спиралей

ρ1 (u, t) = 1S0cI1maxsin (Pλ (u − uc)) sin (ωt), ρ (u, t) = 1S0cImaxsin (Pλ (u − uc − us)) sin (ωt).

(39)

По аналогии с выражениями (29) — (31) можно записать все три составляющие кулоновской силы, действующей на элемент заряда dq во второй спирали со стороны всей первой спирали, в точке x = xs, u = us, в зависимости от углового расстояния до начала координат:

〈DFxel (uc)〉 t = −μ08πrImaxI1maxdlsin (Pλuc) cosαsin2α∫ − ∞ + ∞sin (Pλ (u − uc)) (us − u) du ((us − u) 2 + 2cot2α (1 + cosu)) 32 ,

(40)

〈DFyel (uc)〉 t = −μ08πrImaxI1maxdlsin (Pλuc) cos2αsin3α∫ − ∞ + ∞sin (Pλ (u − uc)) sinudu ((us − u) 2 + 2cot2α (1 + cosu)) 32,

(41)

〈DFzel (uc)〉 t = μ08πrImaxI1maxdlsin (Pλuc) cos2αsin3α∫ − ∞ + ∞sin (Pλ (u − uc)) (1 + cosu) du ((us − u) 2 + 2cot2α (1 + cosu)) 32.

(42)

В этой точке, смещенной относительно пучности тока и пучности заряда, силы электрического и магнитного взаимодействия двух спиралей существуют одновременно, и полную силу можно найти как

dF → сумма = dF → el + dF → mag.

(43)

Для выбранной системы координат составляющая сил электрического и магнитного взаимодействия dFz является радиальной для двойной спирали. Интересна также тангенциальная составляющая этих сил dFτ. Можно определить соотношение тангенциальной составляющей силы, действующей на физически малый элемент второй спирали со стороны всей первой спирали

dFτ = ± dFxsinα + dFycosα,

(44)

что верно как для магнитных, так и для электрических сил, а также для полной силы.Здесь, как и выше, знак «+» соответствует правой спирали, а знак «-» — левой. Используя формулы (43) и (44) и усредняя по времени, приходим к

t = ± ( t + t) sinα + ( t + t) cosα,

(45)

где формулы (36) — (38) следует заменить на (40) — (42). Установив тангенциальную составляющую равной нулю

мы получаем другое условие равновесия для каждой из двух спиралей, что означает отсутствие растяжения или сжатия прядей.Используя соотношения (44) и (46), приходим к уже известной нам формуле (19), которая была выведена выше для компонент магнитной силы. Таким образом, полученные выше соотношения (19), (22), (24) и (34) эквивалентны формуле (46) и указывают на отсутствие тангенциальной составляющей силы электрического и (или) магнитного взаимодействия. Следовательно, формула (46) верна только для постоянных токов и постоянных зарядов, существующих в спирали, или, при низкочастотных (квазистационарных) электромагнитных колебаниях, в областях токовой пучности или пучности зарядов.При возбуждении в спирали переменных электрических зарядов и токов соотношение (46) не выполняется и возникает неравенство

В этом случае тангенциальная составляющая сил становится более значительной с увеличением частоты электромагнитных колебаний, что может привести к повреждению и разрыву спирали.

Рассчитывая силу, по формуле (45) получаем график тангенциальной составляющей силы в зависимости от относительного расстояния по винтовой линии.Это расстояние выражается в длинах волн электромагнитного поля и варьируется от 0 до 0,5. График построен для правой спирали при условии λ≈102P.

Как показано на рисунке 5, тангенциальная составляющая полной силы dFτsum принимает максимальное значение в точках, расположенных посередине между пучностью заряда и пучностью тока. Эти точки находятся на расстоянии примерно l = λ8 от пучности тока и от пучности заряда. Сравнение рисунка 4 и рисунка 5 показывает, что тангенциальная сила уступает по величине Z-компонентам примерно в 10 и 23 раза, а также X- и Y-компонентам примерно в 6 и 11 раз.

7. Моделирование двойной ДНК-подобной спирали как идеального проводника в условиях полуволнового резонанса во внешнем волновом поле

Рассмотрим двойную ДНК-подобную спираль с параметрами, соответствующими реальной молекуле ДНК во внешнем волновом поле. . При этом мы предполагаем, что двойная спираль обладает проводящими свойствами, и рассматриваем ее как идеальный проводник. Программа ANSYS HFSS используется для численного моделирования электромагнитных свойств ДНК-подобных спиралей. Угол наклона спирали α exp = 28.4 градуса радиус r = 1 мм (в реальной молекуле ДНК r = 1 нм), радиус сечения проводника r0 = 0,1 мм. На самом деле нити ДНК могут содержать сотни витков, в нашем случае ограничение до двадцати витков. Длина такой спирали L = 142,9 мм. Предположим, что двойная спираль возбуждается линейно поляризованной волной, для которой вектор электрического поля колеблется параллельно оси спирали, а волновой вектор направлен перпендикулярно оси спирали, как показано на рисунке 1. Проанализируем испускаемое излучение. спиральными проводниками.В случаях, когда длина проводника в распрямленном состоянии равна целому числу полуволн, т. Е. L = nλ2 для целых значений n, возможен резонанс для электрического тока в спирали и, следовательно, для волна, излучаемая спиралью. При n = 1 возможен так называемый «основной» или полуволновой резонанс. Резонансные частоты, полученные при моделировании, могут отличаться от значений, рассчитанных теоретически. На рисунке 6 представлены графики напряженности электрического поля излучаемой волны в дальней зоне в зависимости от частоты.Модуль напряженности излучаемого поля усредняется по всем направлениям излучения. Синие линии на графиках показывают ожидаемые резонансные частоты, рассчитанные теоретически для нечетных значений n = 1, 3, 5, 7, 9. При рассмотрении четных значений n целое число волн умещается по всей длине проводника. В этом случае все излучатели проводника могут быть разделены на создание взаимно компенсирующих полей в окружающем пространстве. Полная волна, излучаемая всем проводником, очень слабая.Моделирование показывает, что для волны, излучаемой спиралью, возникают ярко выраженные резонансы. Наиболее сильно проявляется полуволновой резонанс. Спираль излучает, как обычно, на полуволновой резонансной частоте; диаграмма направленности аналогична традиционному электрическому дипольному излучателю. Для коротких спиралей, содержащих несколько витков, моделирование и теоретический расчет дают близкие значения для резонансных частот. Для длинных спиралей, например, 20 витков, существует значительная разница между резонансными частотами, полученными в процессе моделирования или теоретических расчетов.Это различие в резонансных частотах можно объяснить очень близким взаимным расположением нитей в двойной ДНК-подобной спирали. Например, для спирали, состоящей из 20 витков, в условиях полуволнового резонанса отношение расстояния между нитями к длине волны составляет 2rλ = 7 · 10−3. Такое маленькое расстояние между нитями может привести к сильному взаимодействию токов и зарядов в двойной спирали и, как следствие, к сдвигу резонансных частот, что мы видим на рисунке 6.Из рисунка 6 следует, что интенсивности волн, излучаемых на частотах ν1 и ν3 (поля основной и следующей мод), имеют отношение Eν3Eν1 = 0,41. Используя теорию дипольного излучения, можно показать, что эффективные электрические заряды, возникающие при активации основной моды и мод более высокого порядка, связаны по величине следующим образом: qν3qν1 ~ Eν3Eν1 (ν1ν3) 2 ~ 4.6 · 10−2. То же самое верно и для эффективных электрических токов. Следовательно, формулы (1) и (6) оправданы для рассмотрения только основного режима, и совместный анализ всех режимов не требуется.На рис. 7 показана частотная зависимость действительной и мнимой частей электрических токов в двух нитях двойной ДНК-подобной спирали, содержащей 20 витков, вблизи полуволнового резонанса в центре спирали. Мы использовали теорему о циркуляции вектора напряженности магнитного поля для определения электрических токов. Вектор магнитного поля интегрировался по контурам для обеих нитей двойной спирали (плоскость ортогональна оси двойной спирали). Эти контуры охватывают проводники и расположены в горизонтальной плоскости для спирали, показанной на рисунках 1 и 3а.Из рисунка 7 следует, что электрические токи в двух нитях практически равны друг другу и имеют одинаковый знак, т. Е. Проходят в одном направлении относительно оси спирали. Эта особенность электрических токов в двух нитях использовалась выше при расчете сил взаимодействия нитей в двойной ДНК-подобной спирали.

Численное моделирование показывает, что пространственное распределение электрических токов и зарядов является обычным для полуволнового резонанса и описывается гармоническими функциями, зависящими от координаты l вдоль спирального проводника.Ток имеет максимум в центре спирали и монотонно спадает до нуля на концах спирали. Плотность электрического заряда имеет максимумы на концах спирали и обращается в нуль в центре спирали.

Распределение электрического заряда в двойной ДНК-подобной спирали было получено с использованием программного обеспечения ANSYS HFSS. Моделирование проводилось на частоте ν = 1,55 ГГц, при которой ток в двух нитях достигает своего максимального значения из-за резонанса, как показано на рисунке 7. Результаты моделирования показывают, что в условиях рассматриваемого полуволнового резонанса ток падающая волна индуцирует электрические заряды одного знака в двух нитях двойной спирали, если мы рассмотрим точки двух спиралей, которые взаимно симметричны относительно оси двойной спирали.Эта особенность использовалась выше при расчете сил взаимодействия между цепями в двойной ДНК-подобной спирали. При резонансной силе тока Imax = 0,3 мА, что соответствует результатам, показанным на Рисунке 7, моделирование дает максимальное значение поверхностной плотности заряда на краях спирали σmax ~ 10-9Cm2. Эти значения согласуются с формулой (6) и подтверждают возбуждение только одной основной моды колебаний тока в спирали. При рассматриваемом направлении тока в верхних частях двух жил индуцируются положительные заряды, а в нижних частях соответственно возникают отрицательные заряды.При таком распределении электрических зарядов происходит взаимное радиальное отталкивание двух нитей двойной спирали, и эта сила отталкивания действует по всей длине спирали. Следовательно, моделирование согласуется с результатами, показанными на рисунке 4b, подтверждая наш вывод о взаимном радиальном отталкивании нитей в двойной спирали при полуволновом резонансе. Это отталкивание нитей вызвано не только взаимодействием одинаково направленных электрических токов (эта сила значительна в основном в центральной части спирали, где токи сильны).Причиной отталкивания нитей также является взаимодействие зарядов одного знака (эта сила важна в основном на концах спиралей, где плотность заряда велика). Мы также смоделировали поверхностную плотность сил взаимодействия двух спиралей с помощью программного обеспечения ANSYS HFSS и тензора напряжений Максвелла. Результаты моделирования для середины спиралей показаны на рисунке 8. Результаты согласуются с рисунками 4c, d и показывают взаимное радиальное отталкивание двух нитей в двойной спирали, подтверждая представленные теоретические расчеты.

Отметим еще раз следующий интересный факт. При рассматриваемом полуволновом резонансе в центральной части двух спиралей возникает пучность электрического тока, а радиальное отталкивание двух нитей вызывается взаимодействием токов. Эти два тока имеют одинаковое направление относительно оси спирали в результате их возбуждения волной, падающей сбоку. Если бы такие токи существовали в двух прямых параллельных проводниках, они бы взаимно притягивались, как известно из классической теории магнетизма.Однако, поскольку токи с одинаковым направлением проходят в цепях ДНК-подобной спирали, они радиально отталкиваются, что является следствием особой геометрии ДНК-подобной спирали.

Мы провели численное моделирование металлических ДНК-подобных спиралей как идеальных проводников в микроволновом диапазоне. Мы считаем, что результаты этого исследования могут быть качественно применены к реальной молекуле ДНК в оптическом диапазоне. Возможно, этот переход покажется читателям слишком смелым, но он имеет право на существование по следующим причинам.(1) Электродинамическое подобие, которое позволяет масштабировать объекты и конструкции и предсказывать их электромагнитные свойства в другом частотном диапазоне. (2) Различные электропроводящие свойства реальной молекулы ДНК, которая может быть диэлектриком, проводником или полупроводником в зависимости от внешних условий. Таким образом, использованная в статье модель ДНК-образной спирали как идеального проводника может служить основой для дальнейших более глубоких исследований и сравнения с экспериментальными данными.

Здесь рассматривается линейное состояние молекулы ДНК, и мы пытаемся изучить возможность ее возбуждения под действием внешнего электромагнитного поля, длина волны которого намного больше длины витка спирали и принадлежит оптический диапазон. Длина каждой спиральной нити может быть близкой к половине длины волны. Это обстоятельство может способствовать резонансному взаимодействию. Молекулы и атомы, являющиеся составными частями ДНК и периодически расположенные, активируются на определенных длинах волн.Таким образом, случаи, когда эти длины волн совпадают с полуволновым резонансом на всей длине каждой спиральной нити, действительно имеют значение в данном исследовании. Например, хорошо известно, что молекула ДНК имеет полосу поглощения в ультрафиолетовой области вблизи длин волн λ1res = 280 нм и λ2res = 500 нм [6,7,8]. Поскольку длина одного витка спирали ДНК составляет P = 7,14 нм, сегменты молекулы ДНК, содержащие примерно 20 витков и 35 витков, могут удовлетворять условию полуволнового резонанса и подвергаться активации электромагнитной волной.Фрагменты такой длины удобны для прямого секвенирования и последующего использования в экспериментах и ​​на практике. Угол наклона спирали ДНК можно рассчитать, используя экспериментальные данные, и он составляет αexp = 28,4 градуса [47,48]. Как показано в Разделе 5, а именно на Рисунке 4, из этого следует, что в условиях полуволнового резонанса, создаваемого внешней волной, между нитями двойной спирали возникают радиальные силы отталкивания. Важной особенностью является одинаковое направление токов в двух нитях относительно оси двойной спирали.Это направление токов подтверждено численным моделированием в этом разделе. Полученные силы отталкивания действуют вдоль всей активированной части двойной спирали, поскольку отталкиваются не только электрические заряды одного знака в двух нитях. Электрические токи также отталкиваются, имея одинаковое направление в двух нитях относительно оси спирали. Такие радиальные силы отталкивания могут вызвать повреждение нитей и разрыв двойной спирали.

Силы взаимодействия между двумя цепями в двойной ДНК-подобной спирали были рассмотрены выше.Такие силы являются результатом взаимодействия электрических зарядов и (или) электрических токов, возникающих в жилах. Силы, действующие на обе нити со стороны внешней электромагнитной волны, изучаются ниже в этом разделе.

Распределение электрических зарядов в двойной спирали при полуволновом резонансе схематично показано на рисунке 1. Когда электрический вектор падающей волны направлен вверх, как показано на рисунке, в основном положительные заряды сосредоточены в верхней части. спирали, а отрицательные заряды сосредоточены в нижней части спирали.Таким образом, можно получить следующие соотношения для электрических сил, действующих во внешнем поле на любые элементы спирали в ее нижней и верхней частях:

dF (бот) xel <0, dF (вверху) xel> 0.

(48)

Формула (48) указывает на растяжение спирали вдоль своей оси под действием электрического поля падающей волны в условиях полуволнового резонанса. Используя соотношения (48) и (34) для правой спирали, т. Е. При q> 0, приходим к формулам для моментов электрических сил, действующих во внешнем поле на произвольные элементы нитей в нижнем и нижнем направлениях. верхние части спирали:

dM (бот) xel> 0, dM (вверху) xel <0.

(49)

Соотношения (49) указывают на раскручивание правой спирали под действием электрического поля падающей волны в условиях полуволнового резонанса.

Таким образом, в условиях полуволнового резонанса между нитями двойной спирали возникают не только радиальные силы отталкивания, которые действуют по всей длине активированной части спирали. Кроме того, могут возникать силы и моменты сил, направленные вдоль оси спирали, которые одновременно растягивают и раскручивают двойную спираль.

Если рассматривать металлические двойные спирали как элементы метаматериалов, то электроны проводимости хорошо активируются в микроволновом и терагерцовом диапазонах, а также на более высоких частотах, вплоть до плазменной. В этом случае может возникнуть полуволновой резонанс по всей длине проволоки, образующей спираль. Согласно этому исследованию, равновесие двойной спирали во внешнем электромагнитном поле существенно зависит от ее угла наклона. Этот факт следует учитывать при создании метаматериалов на основе ДНК-подобных спиралей.

8. Законы сохранения в средах и структурах со спиральной симметрией

Соотношение

полученное выше независимо для сил электрического и магнитного взаимодействия в двойной спирали, имеет глубокий смысл. Можно показать, что для структур со спиральной симметрией это соотношение является следствием законов сохранения фундаментальных физических величин. Например, в классической монографии [49] рассматривается движение частицы в поле бесконечной однородной цилиндрической спирали.Поскольку частица движется в неоднородном и анизотропном поле, импульс частицы и ее момент количества движения, рассматриваемые отдельно, не сохраняются. В то же время функция Лагранжа частицы не изменяется при ее повороте вокруг винтовой оси (оси X) на угол δϕ и одновременно перемещается вдоль этой оси на расстояние 1qδϕ. Следовательно, из теоремы Нётер следует, что закон сохранения выполняется:

Таким образом, сохраняемая величина является линейной комбинацией проекции импульса частицы на ось спирали px и такой же проекции момента количества движения mx = [r →, р →] х.Еще раз подчеркнем, что законы сохранения не выполняются для импульса частицы и проекции момента импульса на ось спирали, взятых отдельно. Учитывая изменения Δpx и Δmx за произвольный период времени Δt, используя закон сохранения (51), можно получить соотношение (50) для проекций силы и момента силы на ось спирали.

Закон сохранения (51) и соотношение для силы и момента силы (50) справедливы не только в механике, но и в электродинамике.В частности, в статье [50] и монографии [51] рассматривается распространение света в холестерических жидких кристаллах, которые характеризуются спиральной симметрией. Показано, что функция Лагранжа для электромагнитного поля

L = 12 (E → D → −B → H →)

(52)

инвариантен относительно винтового вращения вокруг оси холестерической спирали. Эта инвариантность удовлетворяет закону сохранения (51), где

p → = [D →, B →], m → = [r → [D →, B →]]

(53)

— векторы плотности импульса частицы и плотности момента импульса электромагнитного поля.

Аналитические и численные расчеты показывают, что соотношения (19), (22), (24) и (34) точно выполняются только при наличии постоянных электрических токов и постоянных зарядов в двойной спирали. В этом случае наблюдается винтовая симметрия всей системы токов и зарядов, а также электрического и магнитного полей. Если переменные электрические токи и заряды возбуждаются по двойной спирали, спиральная симметрия нарушается, и формулы (19), (22), (24) и (34) верны только в определенном приближении.Чем ниже частота электромагнитного поля, тем выше точность этих соотношений.

9. Выводы

В данной статье рассматривается двойная ДНК-подобная спираль в поле падающей электромагнитной волны, которая создает полуволновой резонанс в спиральных нитях. Длина одной двойной спирали примерно равна половине длины волны падающего электромагнитного поля. Этот тип резонанса хорошо известен в радиофизике как для проводников, так и для диэлектриков, и поэтому он может быть реализован в виде ДНК-подобных спиралей в зависимости от типа проводимости, как у металлов, органических полупроводников или диэлектриков.Показано, что взаимосвязанные друг с другом силы и моменты сил могут возникать одновременно при таком резонансе в двойной ДНК-подобной спирали под действием падающей электромагнитной волны. Эти силы и моменты могут создавать риск как «неправильного» раскручивания спирали, так и разрыва ее резьбы. Под «неправильным» раскручиванием спирали мы подразумеваем процесс, отличный от «мягкого», который не нарушает разделения двух цепей, которое происходит под действием геликазы во время репликации ДНК.

Равновесие двойной ДНК-подобной спирали, находящейся в линейном состоянии, и опасность «неправильного» раскручивания спирали и разрыва нитей рассматриваются на основе законов классической электродинамики. Два основных свойства позволяют рассматривать спираль как ДНК-подобную в геометрическом смысле. Во-первых, угол наклона спирали относительно плоскости, перпендикулярной оси винтовой линии, соответствует известным экспериментальным данным и примерно равен величине α exp = 28,4 град.Во-вторых, две нити спирали взаимно смещены вдоль оси спирали на величину xs = 12r, равную половине радиуса спирали, что также известно из предыдущих экспериментов.

Падающие электромагнитные волны индуцируют определенный эффективный электрический ток в двойной спирали. Как показывают экспериментальные данные, молекула ДНК демонстрирует сильное поглощение для длин волн λ1res = 280 нм и λ2res = 500 нм [6,7,8]. Такое поглощение можно рассматривать как возбуждение сильного тока в спиралях, поскольку поглощающие центры (атомы и молекулы) периодически присутствуют в спирали по всей ее длине и при взаимодействии с волной дают некоторый эффективный ток по всей длине. спираль.Взаимодействие токов и зарядов в двух спиралях изучено в низкочастотном случае, когда длина волны электромагнитного поля значительно превышает длину витка спирали. На основе законов Кулона, Био – Савара и Ампера получены аналитические выражения для всех составляющих сил, действующих на произвольный элемент одной спирали со стороны другой, рассматриваемых в целом. Результаты могут быть использованы как при создании метаматериалов на основе ДНК-подобных спиралей, так и при исследовании реальной молекулы ДНК.

Учитывается взаимный сдвиг спиралей вдоль их оси, который имеет место в реальной спирали молекулы ДНК. Показано, что при взаимодействии двух нитей их относительное смещение приводит к одновременному существованию силы и момента силы, действующего на каждую спираль и направленного вдоль их общей оси. Эти осевые составляющие силы и момента силы взаимно пропорциональны.

Рассчитаны радиальные составляющие сил взаимодействия электрических токов и зарядов и получена их зависимость от шага двойной спирали.Эти радиальные составляющие сил описывают взаимное притяжение или отталкивание двух спиралей и существуют как для симметричной двойной спирали, так и при взаимном смещении двух спиралей вдоль их общей оси. Показано, что существует определенный равновесный угол шага спирали (α0≈38 град), при котором радиальная составляющая магнитной силы обращается в нуль, что означает отсутствие радиального притяжения или отталкивания элементарного тока во второй спирали относительно вся первая спираль [44,45].Именно под этим углом α 0 радиальная составляющая силы магнитного взаимодействия спиралей меняет знак.

Проведено численное моделирование линейного сегмента двойной ДНК-подобной спирали, состоящего из 20 витков, при этом спираль рассматривается как идеальный проводник. Ожидается, что общая длина каждой выпрямленной пряди будет приблизительно равна половине длины волны электромагнитного поля, то есть выполняется условие полуволнового резонанса.

Эти исследования являются шагом в изучении возможности активации молекулы ДНК под действием внешнего электромагнитного поля, длина волны которого намного больше длины витка спирали и принадлежит оптическому диапазону.В то же время длина каждой спиральной нити может быть близкой к половине длины волны, и тем самым могут быть выполнены условия резонансного взаимодействия. Мы сделали попытку обосновать полуволновой резонанс на основе структуры молекулы ДНК. Молекулы и атомы, периодически присутствующие в ДНК, активируются на определенных частотах, и важны случаи, когда эти частоты совпадают с полуволновым резонансом на всей длине спирали. Например, молекула ДНК имеет полосу поглощения в ультрафиолетовом и видимом диапазоне вблизи длин волн λ1res = 280 нм и λ2res = 500 нм.Следовательно, сегменты молекулы ДНК, содержащие приблизительно 20 витков и 35 витков, могут удовлетворять условию полуволнового резонанса и подвергаться активации электромагнитной волной. Фрагменты такой длины удобны для прямого секвенирования и последующего использования в экспериментах и ​​на практике. В этом случае между нитями двойной спирали возникают радиальные силы отталкивания. Эти силы отталкивания действуют вдоль всей возбужденной части двойной спирали, поскольку отталкиваются не только электрические заряды одного знака в двух нитях.Электрические токи также отталкиваются, имея одинаковое направление в двух нитях относительно оси спирали. Такая радиальная сила отталкивания, действующая по всей длине ДНК, может привести к повреждению цепей и разрыву двойной спирали. Чтобы обеспечить лучшее представление об этих силах отталкивания, к ним прилагаются дополнительные материалы с фигурами, где двойная ДНК-подобная спираль с ее определенной геометрией сравнивается с двумя прямыми параллельными проводниками. Эта информация помогает понять принципиальную разницу между силами, возникающими под действием внешней электромагнитной волны в паре прямых параллельных проводников и в двойной ДНК-подобной спирали.

Кроме того, могут существовать силы и моменты сил, направленные вдоль оси спирали, которые одновременно растягивают и раскручивают двойную спираль.

В то же время мы знаем, что возможно «мягкое» неразрушающее разматывание и разделение нитей в двойной спирали ДНК. Этот процесс может происходить во время репликации ДНК под действием геликазы или раскручивающего белка [5,48]. При изучении репликации обычно рассматриваются в первую очередь ее механические и биологические аспекты. Однако без учета электромагнитных сил картина репликации ДНК остается неполной.В этом отношении результат, полученный в данной статье, представляется многообещающим: направление радиальной силы притяжения или отталкивания электрических токов в двух спиральных нитях зависит от угла шага двойной спирали. Критический угол наклона двойной спирали, при котором радиальная сила магнитного взаимодействия двух спиралей меняет свое направление, составляет α0≈38 град [44,45]. В то же время спираль ДНК в естественном состоянии характеризуется углом тангажа α exp = 28,4 градуса [47,48]. Поскольку геликаза находится в непосредственной близости от ДНК, она может переносить противоположно направленные электрические токи в спиральных нитях (аналогично источнику тока в двухпроводной линии).Тогда неравенство αexp <α0 выполняется в начале репликации, когда ДНК еще находится в своем естественном состоянии. Это означает, что электрические токи в двух спиралях, имеющих противоположное направление, взаимно притягиваются по радиусу спирали. Позже, в процессе репликации, может произойти некоторое выпрямление спиральных нитей и увеличение угла наклона двойной спирали до нового значения α 1 . Может быть достигнуто неравенство α1> α0, при котором противоположно направленные электрические токи в двух спиралях начинают взаимно отталкиваться по радиусу двойной спирали.Такое отталкивание необходимо, чтобы разделить две нити в пространстве и продолжить репликацию. Отметим, что в данной статье рассматривается активация электрических токов в двойной спирали под действием электромагнитной волны от удаленного источника. Такие токи могут иметь одинаковое направление в двух спиральных цепях, что радикально отличается от действия геликазы, которое обнаруживается в непосредственной близости от ДНК.

Полученная связь между осевыми составляющими силы и моментом этой силы, справедливая как для электрических, так и для магнитных сил, имеет глубокий смысл.Это соотношение является следствием законов сохранения фундаментальных физических величин для структур со спиральной симметрией. Например, в простейшем случае можно рассматривать элементарный электрический заряд или элемент тока, движущийся в поле постоянных зарядов или постоянных токов, расположенных на линии спирали. Тогда для этой движущейся частицы сохраняющаяся величина является линейной комбинацией проекции импульса частицы на ось спирали px и той же проекции момента количества движения mx = [r →, p →] x.Отметим, что законы сохранения не выполняются для импульса частицы и проекции момента импульса на ось спирали, взятых отдельно.

Металлические двойные ДНК-подобные спирали, а также спирали с разным направлением намотки, правые и левые [52], могут быть использованы как элементы метаматериалов. В металлических спиралях электроны проводимости хорошо активируются в микроволновом и терагерцовом диапазоне, а также на более высоких частотах, вплоть до плазменной. В этом случае полуволновой резонанс и другие типы резонансов могут возникать по всей длине проволоки, образующей спираль.Показано, что равновесие двойной спирали во внешнем электромагнитном поле существенно зависит от ее угла наклона. Этот факт необходимо учитывать при создании метаматериалов на основе ДНК-подобных спиралей и изучении электро (опто) -механических эффектов в хиральных и рацемических структурах.

22.7 Магнитная сила на проводнике с током — Физика колледжа: OpenStax

Сводка

  • Опишите влияние магнитной силы на проводник с током.
  • Рассчитайте магнитную силу на проводнике с током.

Так как заряды обычно не могут покинуть проводник, магнитная сила, действующая на заряды, движущиеся в проводнике, передается на сам проводник.

Рис. 1. Магнитное поле воздействует на провод с током в направлении, заданном правилом правой руки 1 (в том же направлении, что и на отдельные движущиеся заряды). Эта сила может быть достаточно большой, чтобы переместить провод, поскольку типичные токи состоят из очень большого количества движущихся зарядов.

Мы можем получить выражение для магнитной силы, действующей на ток, суммируя магнитные силы, действующие на отдельные заряды. (Силы складываются, потому что они направлены в одном направлении.) Сила, действующая на отдельный заряд, движущийся со скоростью дрейфа vdvd, определяется выражением [latex] \ boldsymbol {F = qv_dB \; \ textbf {sin} \; \ theta} [ /латекс]. Если [латекс] \ boldsymbol {B} [/ latex] быть однородным по длине провода [латекс] \ boldsymbol {l} [/ latex] и ноль в другом месте, то общая магнитная сила на проводе будет [латекс] \ boldsymbol {F = (qv_dB \; \ textbf {sin} \; \ theta) (N)} [/ latex], где [latex] \ boldsymbol {N} [/ latex] — количество носителей заряда в секции проволока длиной [латекс] \ boldsymbol {l} [/ латекс].Теперь [латекс] \ boldsymbol {N = nV} [/ latex], где [латекс] \ boldsymbol {n} [/ latex] — это количество носителей заряда в единице объема, а [латекс] \ boldsymbol {V} [/ латекс] — это объем провода в поле. Учитывая, что [латекс] \ boldsymbol {V = Al} [/ latex], где [латекс] \ boldsymbol {A} [/ latex] — это площадь поперечного сечения провода, то сила, действующая на провод, равна [латексу] \ boldsymbol {F = (qv_dB \; \ textbf {sin} \; \ theta) (nAl)} [/ latex]. Условия сбора,

[латекс] \ boldsymbol {F = (nqAv_d) lB \; \ textbf {sin} \; \ theta}.[/ латекс]

Поскольку [latex] \ boldsymbol {nqAv_d = I} [/ latex] (см. Главу 20.1 Current),

[латекс] \ boldsymbol {F = IlB \; \ textbf {sin} \; \ theta} [/ latex]

— это уравнение для магнитной силы на длине [латекс] \ boldsymbol {l} [/ latex] провода, по которому проходит ток [латекс] \ boldsymbol {I} [/ latex] в однородном магнитном поле [латекс] \ boldsymbol {B} [/ latex] , как показано на рисунке 2. Если мы разделим обе части этого выражения на [latex] \ boldsymbol {l} [/ latex], мы обнаружим, что магнитная сила на единицу длины провода в однородное поле — это [латекс] \ boldsymbol {\ frac {F} {l} = IB \; \ textbf {sin} \; \ theta} [/ latex].Направление этой силы задается RHR-1 с большим пальцем в направлении текущего [латекса] \ boldsymbol {I} [/ latex]. Затем пальцами в направлении [латекс] \ boldsymbol {B} [/ latex] перпендикуляр к ладони указывает в направлении [латекс] \ boldsymbol {F} [/ латекс], как на рисунке 2.

Рисунок 2. Сила, действующая на провод с током в магнитном поле, составляет F = IlB sin θ . Его направление задает RHR-1.

Расчет магнитной силы на проводе с током: сильное магнитное поле

Рассчитайте силу, действующую на провод, показанную на Рисунке 1, при условии [латекс] \ boldsymbol {B = 1.{\ circ}} [/ latex], так что [latex] \ boldsymbol {\ textbf {sin} \; \ theta = 1} [/ latex].

Решение

Ввод заданных значений в [latex] \ boldsymbol {F = IlB \; \ textbf {sin} \ theta} [/ latex] дает

[латекс] \ boldsymbol {F = IlB \; \ textbf {sin} \ theta = (20.0 \; \ textbf {A}) \; (0,0500 \; \ textbf {m}) \; (1.50 \; \ textbf {T}) \; (1)}. [/ Латекс]

Единицы измерения теслы: [латекс] \ boldsymbol {1 \; \ textbf {T} = \ frac {\ textbf {N}} {\ textbf {A} \ cdot \; \ textbf {m}}} [/ латекс]; таким образом,

[латекс] \ boldsymbol {F = 1.50 \; \ textbf {N}}. [/ Latex]

Обсуждение

Это большое магнитное поле создает значительную силу на небольшой длине провода.

Магнитная сила на токоведущих проводниках используется для преобразования электрической энергии в работу. (Двигатели являются ярким примером — они используют проволочные петли и рассматриваются в следующем разделе.) Магнитогидродинамика (MHD) — это техническое название, данное умному приложению, в котором магнитная сила перекачивает жидкости без движущихся механических частей.(См. Рисунок 3.)

Рисунок 3. Магнитогидродинамика. Магнитная сила, действующая на ток, проходящий через эту жидкость, может использоваться в качестве немеханического насоса.

К трубке прикладывается сильное магнитное поле, и через жидкость проходит ток под прямым углом к ​​полю, в результате чего сила, действующая на жидкость, параллельна оси трубки, как показано. Отсутствие движущихся частей делает его привлекательным для перемещения горячего химически активного вещества, такого как жидкий натрий, используемый в некоторых ядерных реакторах.Экспериментальные искусственные сердца проходят испытания с использованием этого метода перекачивания крови, возможно, с целью избежания неблагоприятного воздействия механических насосов. (На клеточные мембраны, однако, влияют большие поля, необходимые в МГД, что задерживает его практическое применение у людей.) МГД двигательная установка для атомных подводных лодок была предложена, поскольку она могла бы быть значительно тише, чем обычные гребные винты. Сдерживающая ценность атомных подводных лодок основана на их способности укрыться и пережить первый или второй ядерный удар.По мере того, как мы медленно разбираем наши арсеналы ядерного оружия, подразделение подводных лодок будет выводиться из эксплуатации последним из-за этой способности (см. Рис. 4). Существующие приводы MHD тяжелые и неэффективные — требуется большая работа по развитию.

Рис. 4. Двигательная установка МГД на атомной подводной лодке может создавать значительно меньшую турбулентность, чем гребные винты, и позволять ей работать более тихо. Разработка подводной лодки с бесшумным двигателем была инсценирована в книге и фильме Охота за красным октябрем .

  • Магнитная сила на проводниках с током определяется выражением

    [латекс] \ boldsymbol {F = IlB \; \ textbf {sin} \; \ theta}, [/ latex]

    где [латекс] \ boldsymbol {I} [/ latex] — сила тока, [латекс] \ boldsymbol {l} [/ latex] — длина прямого проводника в однородном магнитном поле [латекс] \ boldsymbol {B} [/ latex], а [latex] \ boldsymbol {\ theta} [/ latex] — это угол между [latex] \ boldsymbol {I} [/ latex] и [latex] \ boldsymbol {B} [/ latex]. Сила следует за RHR-1 большим пальцем в направлении [latex] \ boldsymbol {I} [/ latex].

Концептуальные вопросы

1: Нарисуйте схему ситуации на рисунке 1, показывающую направление электронов, переносящих ток, и используйте RHR-1, чтобы проверить направление силы на провод.

2: Убедитесь, что направление силы в приводе MHD, таком как на рисунке 3, не зависит от знака зарядов, переносящих ток через жидкость.

3: Почему магнитогидродинамический привод лучше работает в океанской воде, чем в пресной? Кроме того, зачем нужны сверхпроводящие магниты?

4: Что с большей вероятностью повлияет на показания компаса, переменный ток в холодильнике или постоянный ток при запуске автомобиля? Объяснять.

Задачи и упражнения

1: Какое направление магнитной силы действует на ток в каждом из шести случаев на рисунке 5?

Рис. 5.

2: Каково направление тока, который испытывает магнитную силу, показанную в каждом из трех случаев на рис. 6, при условии, что ток течет перпендикулярно [латексу] \ boldsymbol {B} [/ latex ]?

Рис. 6

3: Каково направление магнитного поля, которое создает магнитную силу, показанную на токах в каждом из трех случаев на рис. 7, при условии, что [latex] \ boldsymbol {B} [/ latex] перпендикулярно [латексу] \ boldsymbol {I} [/ latex]?

Рисунок 7.{-5} — поле \ textbf {T}} [/ latex]. Какая сила действует на 100-метровом участке этой линии? (b) Обсудите практические проблемы, которые это представляет, если таковые имеются.

6: Какая сила действует на воду в МГД-приводе, использующем трубку диаметром 25,0 см, если через трубку проходит ток 100 А, перпендикулярный магнитному полю 2,00 Тл? (Относительно небольшой размер этой силы указывает на необходимость очень больших токов и магнитных полей для создания практических МГД-приводов.)

7: Провод, несущий 30.{\ circ}} [/ latex] с полем?

10: Сила, действующая на прямоугольную проволочную петлю в магнитном поле на рисунке 8, может использоваться для измерения напряженности поля. Поле однородное, плоскость петли перпендикулярна полю. а) Каково направление магнитной силы на петле? Обоснуйте утверждение о том, что силы по сторонам петли равны и противоположны, независимо от того, какая часть петли находится в поле, и не влияют на результирующую силу, действующую на петлю. (b) Если ток 5.00 A, какова сила на тесла на петле шириной 20,0 см?

Рисунок 8.

Решения

Задачи и упражнения

1: (а) запад (слева)

(b) на стр.

(в) север (верх)

(d) нет силы

(д) восток (правый)

(е) юг (низ)

3: (a) на стр.

(б) запад (слева)

(c) вне страницы

5: (а) 2.{\ circ}} [/ латекс]

(б) 4.80 с.ш.

Как высокоградиентное магнитное поле может повлиять на жизнеспособность клетки

Прямое влияние высокоградиентного магнитного поля на мембранный потенциал покоя клетки

Напряжение мембраны является ключевым параметром, регулирующим свойства клетки, механизмы и связь. В общем, электричество и взаимодействие электрических зарядов играют важную роль в жизни клетки. Действительно, простая оценка (см. Методы) электростатической энергии, запасенной в мембране сферической ячейки с радиусом 10 мкм и напряжением на мембране 70 мВ, составляет E ≈ 10 −14 –10 −13 Дж, что составляет 6– На 7 порядков больше, чем энергия тепловых колебаний, и намного больше, чем энергии химических связей и изгиба мембраны 24 , которые определяют многие опосредованные мембраной внутриклеточные процессы, такие как формирование, жесткость, эндоцитоз, адгезия, ползание, деление и апоптоз.Таким образом, электростатический вклад энергии изгиба заряженных клеточных мембран достаточно велик 25 , и в первом приближении жесткость клеточной мембраны пропорциональна квадрату мембранного напряжения. Качественный анализ, представленный в 26,27 , показывает, что клетки (способные быстро пролиферировать, недифференцированные) с низкими значениями мембранного потенциала, которые имеют тенденцию к деполяризации, очень пластичны. Напротив, зрелые, терминально дифференцированные и покоящиеся клетки имеют тенденцию к гиперполяризации.Здесь следует подчеркнуть, что мембранный потенциал — это не просто отражение состояния клетки, но параметр, позволяющий контролировать судьбу клетки, например, искусственная деполяризация может предотвратить дифференцировку стволовых клеток, тогда как искусственная гиперполяризация может вызвать дифференцировку. Ниже мы аналитически анализируем возможность управления мембранным потенциалом с помощью приложенных извне высокоградиентных магнитных полей.

Когда к клетке в среде прикладывается высокоградиентное магнитное поле, сила магнитного градиента действует на ионы и может либо способствовать, либо противодействовать движению ионов через мембрану.Сила магнитного градиента определяется выражением, где p — магнитный дипольный момент иона, B — магнитная индукция, а производная берется по направлению l , которое параллельно магнитный дипольный момент иона, l // p . Принимая во внимание предыдущее выражение для силы магнитного градиента, в этом случае, когда ионы диффундируют в присутствии HGMF, уравнение Нернста читается как (см. Методы)

, где e — заряд электрона, z — валентность иона (z = +1 для положительного одновалентного иона), F — постоянная Фарадея, R — газовая постоянная, T — абсолютная температура, V m — разность потенциалов между двумя сторонами мембраны, и n o и n i — концентрации ионов снаружи и внутри ячейки, L — это размер половины ячейки.В правой части уравнения. 1 второй член описывает магнитный вклад в потенциал покоя. Таким образом, уравнение. 1 представляет собой обобщенную форму уравнения Нернста, выведенного с учетом влияния высокоградиентного магнитного поля. В зависимости от направления магнитного градиента («+» или «-» в уравнении 1) HGMF может вызывать деполяризацию мембранного потенциала или гиперполяризацию, которая регулирует не только поступление ионов натрия, калия и кальция, но и биологически релевантных молекул. клетке, но многие ключевые характеристики и функции клетки.Ключевой вопрос заключается в том, насколько большим должен быть градиент, чтобы добиться прямого воздействия магнитных полей на мембранный потенциал. Чтобы ответить на этот вопрос, мы оценим вклад магнитного члена в равновесный мембранный потенциал, задаваемый формулой. 1. Для этой оценки должны быть известны значения магнитных моментов ионов, которые создают мембранный потенциал. Типичные разновидности ионных каналов (K + , Ca 2+ , Na + ) и близлежащие молекулы воды спарены электронами, поэтому у них нет спинового магнитного момента электрона, а их магнитный момент обусловлен ядерным спином.Интересно, что ионы 40 Ca 2+ не обладают ядерным магнитным моментом. Магнитные моменты этих ионов очень малы и имеют тот же порядок величины, что и ядерный магнетон, μ n = 5,05 10 −27 Дж / Тл: p Na + = 2,22μ n (натрий-23), p K + = 0,39 мкм n (калий-39), p Cl = 0,821 мкм n (хлорид-35) и p Ca2 + = 0 (кальций-40).Среди этих ионов Na + имеет наибольший магнитный момент, а Ca 2+ имеет нулевой электронный и ядерный магнитные моменты. Для сравнения приведем значения магнитных моментов соответствующих молекул: для H 2 0 (пара, антипараллельные ядерные спины) p = 0 и H 2 0 (орто, параллельные ядерные спины) p = μ n и для гемоглобина Fe 2+ средний магнитный момент, измеренный для цельной крови, равен 5,46 μ B / Heme 28 (где μ B — магнетон Бора, μ B / μ n ≈ 1836).Из-за ядерных спинов атомов водорода вода состоит из смеси молекул с нулевым спином (пара) и единицей со спином (орто). Равновесное отношение орто к парам молекул составляет 3À1 29 , что делает 75% молекул воды магнитоактивными в достаточно сильных магнитных полях. HGMF из-за относительно больших магнитных моментов ионов Na + может влиять на формирование потенциала действия нервной клетки. По оценке магнитной добавки в формуле.1 для вышеуказанных значений магнитных моментов ионов K + и Na + и биологически релевантных для клетки молекул, мы находим, что приложенное извне магнитное поле со значением градиента порядка 10 8 –10 9 Tm −1 может напрямую изменять потенциал клеточной мембраны на 1–10 мВ. Например, в нейронных клетках открытие потенциал-управляемых ионных каналов Na + и K + происходит с деполяризацией мембранного потенциала всего лишь 7-12 мВ 30 .В этом случае прямой эффект от нанесения HGMF на клетку может проявляться через изменение вероятности открытия / закрытия потенциалзависимых ионных каналов. Однако, как оценивалось выше, для достижения деполяризации или гиперполяризации мембранного потенциала необходимо применять HGMF с градиентом порядка 10 9 Tm -1 . Возможность достижения таких высоких значений магнитного градиента описана в следующем разделе.

Достижимый в настоящее время магнитный градиент (до 10 6 –10 7 Tm -1 23,31 ) имеет косвенные эффекты, связанные с применением HGMG к клеткам.Во-первых, влияние магнитных полей с градиентом порядка 10 6 Tm -1 может проявляться через изменение вероятности открытия / закрытия механочувствительных ионных каналов. С другой стороны, механическое напряжение в клеточной мембране может напрямую управлять стробированием ионного канала 32,33,34 . Более того, мембранный потенциал может быть изменен путем перемешивания ионных каналов мембраны. Недавние исследования продемонстрировали важность значения мембранного потенциала в регуляции клеточных функций и передачи сигналов на многоклеточном уровне 33 , особенно в отношении активности ионных каналов.Например, раковые клетки, как правило, имеют низкий мембранный потенциал (по абсолютной величине), что связано с избыточной экспрессией определенных ионных каналов 35 . Высокодифференцированные опухолевые клетки (гепатоцеллюлярные карциномы человека: Tong, HepG2, Hep3B, PLC / PRF / 5, Mahlavu и HA22T) имеют парадоксально малые мембранные потенциалы 36 . Мембранный потенциал контролирует адипогенную и остеогенную дифференцировку стволовых клеток 37 , что предполагает возможность управления путем дифференцировки.Мембранный потенциал играет ключевую роль в пространственной организации цитоскелета и белков, связанных с делением клеток, в основном влияя на деление бактериальных клеток 38 .

Статические однородные магнитные поля также могут влиять на диффузию биологических частиц посредством силы Лоренца и гипотетически изменять мембранный потенциал. Однако результаты, представленные в 39 , показывают, что в растворе сила Лоренца может подавлять диффузию одновалентных ионов (например, Na + , K + и Cl ), но пороговое значение магнитного поля составляет чрезвычайно высокий, примерно 5.7 · 10 6 Тл (что на 2–4 порядка меньше магнитного поля на магнетаре). С другой стороны, теоретически предсказанный порог градиентных полей для изменения диффузии ионов через магнитное градиентное напряжение составляет более 10 5 T 2 м -1 для парамагнитных молекул FeCl 3 и 0 2 и белки плазмы 39 . Таким образом, в слабых и умеренных магнитных полях биологические эффекты должны скорее зависеть от величины градиента магнитного поля, а не от силы магнитного поля, как недавно было продемонстрировано в экспериментах с ячейками THP-1 32 .Магнитные системы, способные генерировать HGMF, и формулы, позволяющие быстро оценить градиент магнитного поля, описаны в Методах и Таблице 1. Теперь мы рассмотрим возможные применения этих магнитных систем для управления функциями ячеек.

Таблица 1 Магнитные системы, генерирующие HGMF.

Эффекты HGMF посредством внутриклеточного механического стресса

Возможный альтернативный механизм клеточного ответа на HGMFs основан на том факте, что магнитомеханическое напряжение может влиять на ионные каналы механочувствительной мембраны, например ионные каналы TREK-1, которые растягиваются. активированные калиевые каналы 40,41 .Считается, что в ячейке может быть 10 2 –10 4 ионных каналов, и вероятность того, что любой из них будет открыт (в любой момент времени), обычно находится в диапазоне от нескольких до нескольких десятков процентов 42,43 . Силы магнитного градиента, действующие на клетки, создают механическую нагрузку на плазматическую мембрану и тело клетки. Клетка ощущает этот стресс и вызывает каскад механоэлектрической трансдукции, который инициирует ответ. В клеточной мембране механочувствительные ионные каналы отвечают за преобразование механических сигналов в электрические.Дополнительное натяжение мембраны, в нашем случае вызванное сильным градиентом магнитного поля, может увеличить вероятность открытия механочувствительного канала 44 . Таким образом, механический стресс плазматической мембраны активирует каналы транзиторного рецепторного потенциала (TRP) 45 . Ниже мы рассчитываем механические силы и напряжения в ячейке, помещенной в HGMF.

Объемная плотность силы градиента магнитного поля (в Нм −3 ), действующей на ячейку, составляет

, где χ м — восприимчивость среды, χ c — восприимчивость клетки, а μ 0 — вакуумная проницаемость.В формуле. 2, разность восприимчивостей Δχ = χ м — χ c, определяет направление магнитной силы: притяжение или отталкивание клетки к / от области с высоким градиентом магнитного поля. Эта сила вызывает механическое напряжение во всей клетке и клеточной мембране. Анализ возможных биологических эффектов действия сил магнитного градиента с объемной плотностью, заданной формулой. 2; эти силы можно сравнить с плотностью силы тяжести, f g = ρg = 10 4 Нм −3 (где ρ — плотность воды, а g — ускорение силы тяжести).Принимая Δχ равным 10–20% 46 диамагнитной восприимчивости воды (χ w = −9 ⋅10 −6 в СИ), B = 1 Тл и | ∇B | = 10 6 Tm −1 , из уравнения. 2, получаем плотность магнитной силы f = (0,7–1,4) · 10 6 Нм −3 , что дает f f g . Поскольку сила гравитации (микрогравитация) или невесомость (например, посредством магнитной левитации) влияют на развитие, рост и функции клеток , 47,48 , можно ожидать значительных эффектов сил магнитного градиента.Например, было показано, что приложенные магнитные поля с градиентом приблизительно B 2 ≈ 10 3 T 2 м -1 изменяют субклеточную морфологию остеобластоподобных клеток 12 , а диамагнитная левитация играет главную роль в наблюдаемых эффектах. Таким образом, ожидается значительное воздействие на клеточный аппарат, вызванное силами магнитного градиента. Магнитные силы, действующие на тело клетки, передаются на цитоскелет клетки и клеточную мембрану.Даже крошечные механические силы, которые немного больше, чем силы тепловых колебаний менее 1 пН (см. «Методы»), могут значительно повлиять на функциональность ячейки 32,49,50,51 .

Силы магнитного градиента, определяемые формулой. 2 может напрямую управлять парамагнитными ячейками и молекулами. В целом клетки диамагнитны. Однако недавние исследования показывают существование неэритроидных клеточных линий, происходящих от рака клеток человека, которые являются достаточно парамагнитными 52 . Их парамагнитное поведение позволяет влиять на движение клеток с помощью HGMF.Более того, внутриклеточные и межклеточные свободные радикалы, такие как O 3 , NO и NO 2 и молекулы FeCl 3 и O 2 , также являются парамагнитными и могут перераспределяться как силой Лоренца, так и силой магнитного градиента. , как известно из электрохимии 53,54 .

Одна из ключевых функций клетки — упорядочивание в пространстве и времени. Высокоточное позиционирование клеток с помощью микромагнитов — перспективный подход для тканевой инженерии 20 .Действительно, сила магнитного градиента (уравнение 2) способна способствовать миграции клеток в области с самым высоким градиентом магнитного поля. Недавно это было продемонстрировано в исх. 46 видно, что решетки микромагнитов (с поперечным размером 30–50 мкм и такими же соседними расстояниями), покрытые париленом, создают сильные градиенты магнитного поля (до 10 6 Тм −1 ), которые влияют на поведение клеток двумя основными способами: i ) вызывая миграцию клеток и прилипание к покрытой магнитной поверхности, и ii) удлиняя клетки в направлении, параллельном краям микромагнита.Результаты расчетов распределений магнитного поля и градиента над четырьмя микромагнетиками показаны на рисунках 1 и 2. Распределения поля и магнитного градиента силы были рассчитаны аналитически с использованием явных выражений для магнитных полей рассеяния 55 . Как видно из рисунков 1 и 2, есть несколько областей с наибольшим магнитным градиентом. Таким образом, в экспериментах , 46, под действием сил магнитного градиента (уравнение 2) наблюдалась миграция клеток в направлении областей с самым сильным градиентом магнитного поля, что позволяло создавать настраиваемые, взаимосвязанные сети стволовых клеток.

Недавние исследования указывают на решающее влияние внешних механических и магнитных сил на форму, функцию и судьбу клеток через физические взаимодействия с сетью цитоскелета 46,49,56 .

Локальное изменение мембранного потенциала и латеральная миграция мембранных рецепторных белков вблизи магнитных наночастиц

Цепочка магнитных наночастиц (МНЧ), помещенная на клеточную мембрану, может создавать пространственно-модулированные распределения магнитного потока с достаточным градиентом.Силы магнитного градиента, локализованные около MNP, влияют на функции клеток двумя основными способами: i) изменяя мембранный потенциал покоя, как предсказывается формулой. 1, и ii) создание локального магнитного давления, которое может вызвать деформацию мембраны, приводящую к образованию пузырей на клеточной мембране. Первое может происходить локально как следствие очень высокого градиента поля, как показано уравнением. 15 (Методы). Для магнетита (Fe 3 O 4 ) MNP с M с = 510 кАм −1 и R = 5 нм, оценка основана на уравнении.15 дает | ∇B r | ≈ 2,6 10 8 Tm −1 на поверхности мембраны. Этого градиента достаточно, чтобы изменить потенциал покоя на несколько мВ, хотя ионы, управляющие мембранным потенциалом, имеют только ядерные значения магнитных моментов. Второй связан с магнитным давлением из-за разницы магнитной восприимчивости липидной мембраны и цитозоля. Вблизи MNP магнитное давление на клеточной мембране составляет P MNP = fV / S = fh , где V и S — объем и площади небольшой части мембраны и х — толщина мембраны.Аналитическое выражение для этого давления приведено в разделе «Методы». Для цепочек МНЧ с параллельной и перпендикулярной ориентацией магнитных моментов по отношению к поверхности мембраны магнитное давление ( P MNP ) действует в направлениях, перпендикулярных и параллельных мембране, как показано на рис. а – г) для двух цепочек, состоящих из четырех МНЧ. Магнитное давление вызывает дисбаланс осмотического и гидростатического давлений, что, в свою очередь, изменяет поток ионов, переносимых через клеточную мембрану 32 .Чтобы оценить магнитное давление, необходимо знать магнитную восприимчивость содержимого клетки, которую можно найти в [4]. 57 и ссылки в нем. В частности, магнитная восприимчивость белков, липидов и воды составляет χ p = −9,726 10 −6 , χ lip = −8,419 10 −6 и χ w = −9,035 10 −6. (все в СИ). Таким образом, белки более диамагнитны, чем вода, т. Е. Χ p w . Липиды менее диамагнитны, чем белки и вода (χ губ > χ p и χ губы > χ w ), что приводит к их «квазипарамагнитному» поведению по отношению к липидам и цитозолю.Из-за разницы в магнитной восприимчивости белков и липидов белки мембранных рецепторов притягиваются к области с наивысшим градиентом магнитного поля, создаваемым МНЧ (см. Рис. 3). Оценка бокового магнитного давления (Уравнение 18, Методы), действующего на мембранный рецепторный белок при h = 5 нм, r R = 5 нм, M s = 510 кАм −1 (магнетитовые МНЧ) и Δχ = χ p — χ выступ = 1.3 10 -6 приводят к P = 1,7 Па. Это давление может вызвать латеральную миграцию мембранного рецепторного белка в сторону области с высоким градиентом поля. Более того, клеточные мембраны содержат домены с разнородным размером от 10 до 200 нм, которые обогащены холестерином и насыщенными липидами. Поскольку магнитная восприимчивость холестерина близка к восприимчивости белка, χ ch = -9,236 10 -6 57 , эти домены подвергаются боковому магнитному давлению и происходит вынужденная диффузия.Это перераспределение мембранных доменов может играть ключевую роль в изменении мембранных функций.

Деление клеток с помощью магнитного поля

Первый намек на возможность деления клеток с помощью HGMF обсуждался выше в связи с экспериментом по делению капель феррожидкости в умеренном магнитном поле с градиентом дБ / dz = 6,6 Тм −1 . Диамагнитная восприимчивость клетки намного меньше, чем у капли феррожидкости. Обсуждая влияние HGMF на клетки, мы учитываем как минимум шесть порядков больших градиентов поля.Поскольку сила магнитного градиента пропорциональна произведению магнитной восприимчивости и градиента поля (уравнение 2), в нашем случае можно ожидать подобного эффекта, то есть стимуляции деления клеток силами магнитного градиента. Силы магнитного градиента можно значительно увеличить, загружая ячейки магнитными наночастицами. В экспериментах, описанных в исх. 58, локализованные, опосредованные наночастицами магнитные силы были приложены к клеткам HeLa через магнитное поле с градиентом от 2.5 ∙ 10 3 Tm −1 до 7 ∙ 10 4 Tm −1 . При самом большом градиенте клетки, нагруженные магнитными наночастицами, демонстрировали нестабильность «втягивания». Однако при более низких магнитных градиентах и ​​более низком внутриклеточном механическом стрессе наблюдалось смещение метафазной пластинки во время митоза, что указывает на то, что в HGMFs магнитомеханическое напряжение способно способствовать делению клеток, свободных от магнитных наночастиц.

Таким образом, мы предполагаем, что деление клеток может быть вызвано или поддержано специфически пространственно модулированным градиентным магнитным полем.Пример такой конфигурации магнитного поля и распределения силы магнитного градиента показан на рис. 4, иллюстрируя распределение поля и его градиента (нормированное ∇B 2 ), создаваемое в зазоре между двумя однородно намагниченными магнитами, обращенными друг к другу. . Поле и градиент были рассчитаны с использованием явных аналитических выражений для индукции магнитного поля прямоугольных намагниченных призм 55,59 . На рис. 4б показано, что между магнитными полюсами, в левой и правой частях центральной области, силы магнитного градиента имеют противоположные направления.Если средний размер этой области сравним с размером ячейки, помещенная здесь ячейка будет подвергаться воздействию двух противоположных сил, которые могут вызвать магнитное давление, которое способствует либо делению ячейки, либо сжатию ячейки. Неизвестно, насколько большим должно быть это давление, чтобы вызвать деление клеток. В литературе данные по этому поводу немногочисленны. Было продемонстрировано, что давление в 100 Па может управлять митозом клеток HeLa 60 . Это давление является достижимым магнитным давлением, например, в одной из систем HGMF, перечисленных в таблице 1.

Остановка опухоли магнитным давлением

Эксперименты 61 показали, что механический стресс может ограничивать рост сфероида раковых клеток, ограничивая деление клеток вблизи поверхности сфероида. Здесь мы показываем, как магнитное давление может остановить рост опухоли. Идея основана на том факте, что раковые клетки обогащены Fe, и поэтому они более парамагнитны, чем здоровые клетки 62 . В таком случае магнитное радиальное давление может ограничить рост опухоли из-за силы притяжения магнитного градиента, действующей на «парамагнитные» раковые клетки.Пример распределения магнитного поля и градиента над цилиндрическими магнитами с отверстием показан на рис. 5 (подробности расчетов можно найти в разделе «Методы»). Магнитное давление на опухоль можно рассчитать как P tum = fw , где f — плотность силы, определяемая формулой. 2 и w — ширина области, соответствующей максимуму градиента магнитного поля, показанному на рис. 5. Оценки магнитного давления на раковые ткани с магнитной восприимчивостью χ = 6.3 10 −6 (в единицах СИ) 62 для рассчитанного максимального значения магнитного градиента, B | ∇B | / ( R −1 0 ) M r /4 π) 2 ) ≈ 160 (см.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *