Емкость в цепи переменного тока в: §53. Емкость в цепи переменного тока

Содержание

Конденсатор в цепях переменного тока

Чтобы понять, как работает конденсатор в цепях переменного тока, вам потребуется хотя бы
минимальное представление об этом самом переменном токе. Будем считать, что эти знания у вас есть,
поэтому здесь приведём только информацию, касающуюся работы конденсатора.

На рис. 1 приведены графики изменения силы тока и напряжения во времени для ёмкостной нагрузки,
то есть для конденсатора.

Рис. 1. Изменения силы тока и напряжения во времени для ёмкостной нагрузки.

Здесь Uc(t) — напряжение на конденсаторе, I(t) — ток в цепи,
Ug(t) — напряжение на выходе источника переменного напряжения.

Итак, при подключении конденсатора к источнику переменного напряжения (перед подключением конденсатор разряжен),
ток в цепи максимальный (см. рис. 1), а напряжение Uc на конденсаторе равно нулю. Ёмкость конденсатора
влияет на ток, но нас пока это не интересует.

В первой четверти периода напряжение источника увеличивается, напряжение на конденсаторе также увеличивается.
Конденсатор заряжается, а ток в цепи уменьшается. По прошествии 1/4 периода конденсатор полностью
заряжен и ток в цепи равен нулю.

Во второй четверти происходит разряд конденсатора, ток в цепи увеличивается. И так далее.

Таким образом, ток, протекающий через конденсатор, отстаёт от напряжения на его обкладках на одну
четверть периода.

Закон Ома для действующих значений имеет вид:

I = CUω = U / Xc

Где С — ёмкость конденсатора, Ф, U — напряжение, В, Хс — ёмкостное сопротивление цепи, Ом, которое равно

Xc = 1 /ωC = 1 / 2πfC

Где f — частота переменного тока, Гц.

Отсюда можно сделать вывод, что ёмкостное сопротивление зависит не только от ёмкости конденсатора, но и
от частоты переменного тока. Чем выше частота, тем меньше ёмкостное сопротивление конденсатора, и наоборот.

Исходя из вышесказанного напрашивается первое применение конденсатора в цепях
переменного тока — работа в качестве гасящего элемента в делителях напряжения.
Конечно, проще и удобнее использовать в качестве такого элемента резистор.
Однако, если требуется существенное падение напряжения на
гасящем резисторе, то даже небольшие токи потребуют применения резистора большой мощности и,
соответственно, габаритов.

Конденсатор в цепях переменного тока не рассеивает энергию, а значит и не нагревается.
Почему? Потому что, как мы выяснили, ток и напряжение в конденсаторе смещены
относительно друг друга на 90o. То есть в момент, когда напряжение максимально,
ток равен нулю, соответственно, и мощность равна нулю в этот момент (см. рис. 1). Работа не совершается,
нагрев не происходит.

Именно поэтому вместо резистора часто применяют конденсаторы.
Основной недостаток такого использования конденсатора заключается в том, что
при изменении тока в цепи изменяется и напряжение на нагрузке. Второй недостаток (по сравнению с применением трансформаторов) —
отсутствие гальванической развязки. По этим и другим причинам применение конденсаторов в качестве гасящих
элементов ограничено и используется обычно в тех случаях, когда сопротивление нагрузки
относительно стабильно. Например, в цепях питания нагревательных элементов.

Однако частотно-зависимые делители напряжения применяются очень широко. Свойства конденсаторов
используются, например, при создании различных фильтров и резонансных схем.

Частотный фильтр — это устройство, которое пропускает сигналы одной частоты и не пропускает другие.
Или наоборот — пропускает все частоты кроме одного диапазона. Работа частотных фильтров основана на способности конденсатора изменять ёмкостное сопротивление
в зависимости от частоты. Например, нам нужно подавить в усилителе фон переменного тока частотой
50 Гц. В таком случае можно использовать фильтр — схему из конденсаторов и резисторов,
которая будет подавлять сигнал с частотой 50 Гц и пропускать все остальные сигналы. Расчёт и
конструирование фильтров — занятие непростое и здесь не рассматривается.

Резонансные схемы используют резонанс, который возникает при последовательном или
параллельном включении конденсатора и катушки индуктивности. Поскольку сопротивление этих элементов зависит от
частоты, то при некоторой частоте общее сопротивление цепи будет максимальным, а при некоторых —
минимальным. Эти эффекты и используются в резонансных схемах. Например, резонанс используется
в радиоприёмниках при настройке на станцию.

цепь переменного тока содержащая емкость индуктивность и сопротивление



цепь переменного тока содержащая емкость индуктивность и сопротивление

38)

ЦЕПЬ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА, СОДЕРЖАЩАЯ ЕМКОСТЬ

Если в цепь постоянного, тока включить конденсатор (идеаль­ный — без потерь), то в течение очень короткого времени после включения по цепи потечет зарядный ток. После того как конден­сатор зарядится до напряжения, равного напряжению источника, кратковременный ток в цепи прекратится. Следовательно, для постоянного тока конденсатор представляет собой разрыв цепи, или, иными словами, бесконечно большое сопротивление.

Если же конденсатор включить в цепь переменного тока, то он будет заряжаться попеременно то в одном, то в другом направлении.

При этом в цепи будет проходить переменный ток. Рассмотрим это явление подробнее.

В момент включения напряжение на конденсаторе равно нулю. В течение первой четверти периода, когда напряжение сети будет возрастать (рис. 143), конденсатор будет заряжаться.

По мере накопления зарядов на обкладках конденсатора напря­жение конденсатора увеличивается. Когда напряжение сети к концу первой четверти периода достигнет максимального значения  Um, напряжение конденсатора также станет равным Um, заряд конден­сатора прекращается и ток в цепи становится равным нулю. Ток в цепи конденсатора можно определить по формуле

где ∆q — количество электричества, протекающее по цепи за время ∆t.

 Из электростатики известно:

где   С — емкость конденсатора;

u — напряжение сети;

uc — напряжение конденсатора. Окончательно для тока имеем

Из последнего выражения видно, что, когда  ∆u/∆t   максимально (положения a, в, d),  i также максимально.

 

Когда  ∆u/∆t   = 0 (положения   б, г на рис. 143), то i также равно нулю.

Во вторую четверть периода напряжение сети будет уменьшать­ся, и конденсатор начнет разряжаться. Ток в цепи меняет свое направление на обратное.

В следующую половину периода напряжение сети меняет свое направление и наступает перезаряд конденсатора и затем снова его разряд.

Из рис. 143 видно, что ток I в цепи с емкостью в своих изменениях опережает по фазе напряжение конденсатора на 1/4 периода, или 90°.

Сравнивая векторные диаграммы цепей с индуктивностью и емкостью, мы видим, что индуктивность и емкость на фазу тока влияют прямо противоположно.

Пользуясь высшей математикой, можно доказать, что ток в цепи с емкостью пропорционален напряжению Uc, приложенному к конденсатору, угловой частоте w и величине емкости конденсатора  C:

Обозначим

Величина Хс называется емкостным сопротивле­нием, или реактивным сопротивлением ем­кости, и измеряется в омах. Выражение закона Ома для цепи переменного тока, содержащей емкость, имеет вид

Та часть напряжения сети, которая приложена к конденсатору, называется емкостным падением напряжения (или   реактивной   слагающей   напряжения)   и   обозначается   Uc:

Емкостное сопротивление Хс, так же как индуктивное сопро­тивление xL, зависит от частоты переменного тока.

Но если с увеличением частоты индуктивное сопротивление увеличивается, то емкостное сопротивление, наоборот, будет умень­шаться.

Пример 6. Определить сопротивление конденсатора емкостью 5 мкф при частоте 50 гц:

при частоте 400 гц:

 

На рис. 144 показана кривая мгновенной мощности в цепи с емкостью. Из чертежа видно, что в первую четверть периода цепь с емкостью забирает из сети энергию, которая запасается в электрическом поле конденсатора.

Энергию, запасаемую конденсатором к моменту, когда напряже­ние на нем равно максимальному значению, можно определить по известной формуле CU2м/2.

В следующую четверть периода конденсатор разряжается на сеть, отдавая ей ранее запасенную в нем энергию.

За вторую половину периода явление колебаний энергии пов­торяется. Таким образом, в цепи с емкостью происходит лишь обмен энергией между сетью и конденсатором без ее потерь.

Поэтому средняя за период мощность, или активная мощность, цепи с емкостью равна нулю, как и в цепи с индуктивностью.

Из графика, изображенного на рис. 144, видно, что мгновенная мощность в цепи с емкостью два раза в течение каждого периода (когда wt = 45°, 135° и т. д.) достигает максимального значения, равного

 

Этой величиной принято характеризовать количественно про­цесс обмена энергии между источником и электрическим полем конденсатора. Ее также называют реактивной мощностью и обозначают буквой Q.

Учитывая,, что в рассматриваемой цепи U = IХc, получим сле­дующее выражение для реактивной мощности:

Активное сопротивление, индуктивность и емкость в цепи переменного тока.

Изме­нения силы тока, напряжения и э. д. с. в цепи переменного тока происходят с одинаковой частотой, но фазы этих изменений, вооб­ще говоря, различны. Поэтому если начальную фазу силы тока ус­ловно принять за нуль, то начальная фаза напряжения будет иметь некоторое значение φ. При таком условии мгновенные значения силы тока и нап­ряжения и будут выражаться следующими формулами:

i = Imsinωt

u = Umsin(ωt + φ)

 

a) Активное сопротивление в цепи переменного тока. Сопротивление цепи, которое обу­словливает безвозвратные потери элект­рической энергии на тепловое действие тока, называют активным. Это сопротив­ление для тока низкой частоты можно счи­тать равным сопротивлению R этого же проводника постоянному току.

В цепи переменного тока, имеющей только активное сопротивле­ние, например, в лампах накаливания, нагревательных приборах и т. п., сдвиг фаз между напряжением и током равен нулю, т. е. φ = 0. Это означает, что ток и напряжение в такой цепи изменяются в оди­наковых фазах, а электрическая энергия полностью расходуется на тепловое действие тока.

Будем счи­тать, что напряжение на зажимах цепи меняется по гармоническому закону: и = Uт cos ωt.

Как и в случае постоянного тока, мгновенное значение силы тока прямо пропорционально мгновенному значению напряжения. Поэтому для нахождения мгновенного значе­ния силы тока можно применить закон Ома:

В проводнике с активным сопротивлением колебания силы тока совпадают

по фазе с колебаниями напряже­ния.

b) Катушка индуктивности в цепи переменного тока. Включение в цепь переменного тока катушки с индуктивностью L проявляется как увеличение сопротивления цепи. Объясняется это тем, что при переменном токе в катушке все время действует э. д. с. самоиндукции, ослабляющая ток. Сопротивление XL, которое обусловливается явлением самоиндукции, называют индуктивным сопротивлением. Так как э. д. с. само­индукции тем больше, чем больше индуктивность цепи и чем быст­рее изменяется ток, то индуктивное сопротивление прямо пропорционально индуктивности цепи L и круговой частоте переменного тока ω: XL = ωL.

Определим силу тока в цепи, содержащей катушку, активным сопротивлением которой можно пренебречь. Для это­го предварительно найдем связь между напряжением на катушке и ЭДС самоиндукции в ней. Если сопротивление катушки равно нулю, то и напряженность электрического поля внутри про­водника в любой момент времени должна быть равна нулю. Иначе сила тока, согласно закону Ома, была бы бесконечно большой.

Равенство нулю напряженности поля оказывается возможным потому, что напряженность вих­ревого электрического поля Ei, порождаемого переменным магнитным полем, в каждой точке равна по модулю и противоположна по направлению напряженности кулоновского поля Ек, создаваемого в про­воднике зарядами, расположенными на зажимах источни­ка и в проводах цепи.

Из равенства Ei = -Ек следует, что удельная работа вихревого поля (т. е. ЭДС самоиндукции ei) равна по моду­лю и противоположна по знаку удельной работе кулонов­ского поля. Учитывая, что удельная работа кулоновского поля равна напряжению на концах катушки, можно запи­сать: ei = -и.

При изменении силы тока по гармоническому закону i = Im sin соsωt, ЭДС самоиндукции равна: еi = -Li’ = -LωIm cos ωt. Так как ei = -и, то напряжение на концах катушки ока­зывается равным

и = LωIm cos ωt = LωIm sin (ωt + π/2) = Um sin (ωt + π/2)

гдеUm = LωIm — амплитуда напряжения.

Следовательно, колебания напряжения на катушке опе­режают по фазе колебания силы тока на π/2, или, что то же самое, колебания силы тока отстают по фазе от колеба­ний напряжения на π/2.

Амплитуда силы тока в ка­тушке равна:

 

Если ввести обозначение XL = ωL,то получим . Величину XL, равную произведению циклической час­тоты на индуктивность, называют индуктивным сопротив­лением. Согласно формуле , значение силы тока связано с значением напряжения и ин­дуктивным сопротивлением соотношением, подобным за­кону Ома для цепи постоянного тока.

Индуктивное сопротивление зависит от частоты ω. По­стоянный ток вообще «не замечает» индуктивности катушки. При ω = 0 индуктивное сопротивление равно нулю. Чем быстрее меняется напряжение, тем больше ЭДС са­моиндукции и тем меньше амплитуда силы тока. Следует отметить, что напряжение на индуктивном со­противлении опережает по фазе ток.

c) Конденсатор в цепи переменного тока. Постоянный ток не проходит через конденсатор, так как между его обкладками находится диэлектрик. Если конденсатор включить в цепь постоянного тока, то после зарядки конденсатора ток в цепи прекратится.

Пусть конденсатор включен в цепь переменного тока. Заряд конденсатора (q=CU) вследствие изменения напряжения непрерыв­но изменяется, поэтому в цепи течет переменный ток. Сила тока бу­дет тем больше, чем больше емкость конденсатора и чем чаще про­исходит его перезарядка, т. е. чем больше частота переменного тока.

Сопротивление, обусловленное наличием электроемкости в цепи переменного тока, называют емкостным сопротивле­нием Хс. Оно обратно пропорционально емкости С и круговой частоте ω: Хс=1/ωС.

Установим, как меняется со временем сила тока в цепи, содержащей только конденсатор, если сопротивлением прово­дов и обкладок конденсатора можно пренебречь.

Напряжение на конденсаторе u = q/C равно напряжению на концах цепи u = Um cosωt.

Следовательно, q/C = Um cosωt. Заряд конденсатора меняется по гармоническому закону:

q = CUm cosωt.

Сила тока, представляющая со­бой производную заряда по вре­мени, равна:

i = q’ = -UmCω sin ωt =UmωC cos(ωt + π/2).

Следовательно, колебания си­лы тока опережают по фазе ко­лебания напряжения на конден­саторе на π/2.

 

Амплитуда силы тока равна: Im = Um ωC. Если ввести обозначение Хс=1/ωС, то получим

Величину Хс, обратную произведению ωС циклической частоты на электрическую емкость конденсатора, называют емкостным сопротивлением. Роль этой величины анало­гична роли активного сопротивления R в законе Ома. Значение силы тока связано с значением напряжения на конденсаторе точно так же, как связаны согласно закону Ома сила тока и напряжение для участка цепи постоянного тока. Это и поз­воляет рассматривать величину Хс как сопротивление кон­денсатора переменному току (емкостное сопротивление).

Чем больше емкость конденсатора, тем больше ток пе­резарядки. Это легко обнаружить по увеличению накала лампы при увеличении емкости конденсатора. В то время как сопротивление конденсатора постоянному току беско­нечно велико, его сопротивление переменному току имеет конечное значение Хс. С увеличением емкости оно умень­шается. Уменьшается оно и с увеличением частоты ω.

В заключение отметим, что на протяжении четверти пе­риода, когда конденсатор заряжается до максимального напряжения, энергия поступает в цепь и запасается в кон­денсаторе в форме энергии электрического поля. В следую­щую четверть периода, при разрядке конденсатора, эта энергия возвращается в сеть.

Из сравнения формул XL = ωL и Хс=1/ωС видно, что катушки ин­дуктивности. представляют собой очень большое сопротивление для тока высокой частоты и небольшое для тока низкой частоты, а конденсаторы — наоборот. Индуктивное ХL и емкостное ХC сопротивления называют реактивными.

d) Закон ома для электрической цепи переменного тока.

Рассмотрим теперь более общий случай электрической цепи, в которой последовательно соединены проводник с активным сопротивлением R и малой индуктивностью, катушка с большой индуктивностью L и малым активным сопротивлением и конден­сатор емкостью С

Чему равна амплитуда тока в такой цепи (колебательном кон­туре), если на ее концах поддерживается напряжение u(t) = Umcos ωt?
 

Мы видели, что при включении по отдельности в цепь активного сопротивления R, конденсатора емкостью С или катуш­ки с индуктивностью L амплитуда силы тока определяется соот­ветственно формулами:

; ; Im = Um ωC.

Амплитуды же на­пряжений на активном сопротивлении, катушке индуктивности и конденсаторе связаны с амплитудой силы тока так: Um = ImR; Um = ImωL;

В цепях постоянного тока напряжение на концах цепи равно сумме напряжений на отдельных последовательно соединенных участках цепи. Однако, если измерить результирующее напряже­ние на контуре и напряжения на отдельных элементах цепи, ока­жется, что напряжение на контуре (действующее значение) не равно сумме напряжений на отдельных элементах. Почему это так? Дело в том, что гармонические колебания напряжения на различных участках цепи сдвинуты по фазе друг относительно друга.

Действительно, ток в любой момент времени одинаков во всех участках цепи. Это значит, что одинаковы амплитуды и фазы токов, протекающих по участкам с емкостным, индуктивным и активным сопротивлениями. Однако только на активном сопро­тивлении колебания напряжения и тока совпадают по фазе. На конденсаторе колебания напряжения отстают по фазе от колеба­ний тока на π/2, а на катушке индуктивности колеба­ния напряжения опережают колебания тока на π/2. Если учесть сдвиг фаз между складываемыми напряжениями, то окажется, что

Для получения этого равенства нужно уметь скла­дывать колебания напряжений, сдвинутые по фазе друг относительно друга. Проще всего выполнить сложение нескольких гар­монических колебаний с помощью векторных диаграмм. Идея метода основана на двух довольно простых положениях.

Во-первых, проекция вектора с модулем хm вращающегося с постоянной угловой скоростью совершает гармонические колебания: х = хm cosωt

Во-вторых, при сложении двух векторов проекция суммарного векто­ра равна сумме проекций складываемых векторов.

Векторная диаграмма электрических колебаний в цепи, изображенной на рисунке, позволит нам получить соотношение между амплитудой силы тока в этой цепи и амплитудой напряжения. Так как сила тока одинакова во всех участках цепи, то построение век­торной диаграммы удобно начать с вектора силы тока Im. Этот вектор изобра­зим в виде горизонтальной стрелки. Напряжение на активном со­противлении совпадает по фазе с силой тока. Поэтому вектор UmR, должен совпадать по направлению с вектором Im. Его модуль равен UmR = ImR

Колебания напряжения на индуктивном сопротивлении опережают колебания силы тока на π/2, и соответствующий вектор UmL должен быть повернут относительно вектора Im на π/2. Его модуль равен UmL = Im ωL. Если считать, что положительному сдвигу фаз соответствует поворот вектора против часовой стрелки, то вектор UmL следует повернуть налево. (Можно было бы, конечно, поступить и наоборот.)

Вектор напряжения на конденсаторе UmC отстает по фазе от вектора Im на π/2 и поэтому повернут на этот угол относительно вектора Im направо.
 

Его модуль равен UmC =Im/ωC. Для нахождения вектора суммарного напряжения Um нужно сложить три вектора: 1) UmR 2) UmL 3) UmC

Вначале удобнее сложить два вектора: UmL и UmC

Модуль этой суммы равен , если ωL > 1/ωС. Именно такой случай изображен на рисунке. После этого, сложив вектор (UmL + UmC)с вектором UmR получим вектор Um, изображающий колебания напряжения в сети. По теореме Пифагора:

Из последнего равенства можно легко найти амплитуду силы тока в цепи:

Таким образом, благодаря сдвигу фаз между напряжениями на различных участках цепи полное сопротивление Z цепи, изобра­женной на рисунке, выражается так:

От амплитуд силы тока и напряжения можно перейти к дейст­вующим значениям этих величин:

Это и есть закон Ома для переменного тока в цепи, изображен­ной на рисунке 43. Мгновенное значение силы тока меняется со временем гармонически:

i = Im cos (ωt+ φ), где φ — разность фаз между силой тока и напряжением в сети. Она зависит от частоты ω и параметров цепи R, L, С.

e) Резонанс в электрической цепи.При изучении вынужденных механических колебаний мы по­знакомились с важным явлением — резонансом. Резонанс наблю­дается в том случае, когда собственная частота колебаний систе­мы совпадает с частотой внешней силы. При малом трении происходит резкое увеличение амплитуды установившихся вы­нужденных колебаний. Совпадение законов механи­ческих и электромагнитных ко­лебаний сразу же позволяет сделать заключение о возмож­ности резонанса в электриче­ской цепи, если эта цепь представляет, собой колеба­тельный контур, обладающий определенной собственной ча­стотой колебаний.

Амплитуда тока при вы­нужденных колебаниях в кон­туре, совершающихся под дей­ствием внешнего гармонически изменяющегося напряжения, определяется формулой:

При фиксированном напря­жении и заданных значениях R, L и С, сила тока достигает мак­симума при частоте ω, удовлетворяющей соотношению

Эта амплитуда особенно велика при малом R. Из этого уравнения можно определить значение циклической частоты переменного тока, при которой сила тока максимальна:

Эта частота совпадает с частотой свободных колебаний в конту­ре с малым активным сопротивлением.

Резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний тока в колебательном контуре с малым активным сопротивлением про­исходит при совпадении частоты внешнего переменного напря­жения с собственной частотой колебательного контура. В этом состоит явление резонанса в электрическом колебательном кон­туре.

Резонанс выражен тем отчетливее, чем меньше энергетиче­ские потери в цепи, т. е. чем меньше сопротивление R. При R = 0 резонансное значение тока неограниченно возрастает. Наоборот, с увеличением R максимальное значение тока умень­шается и при больших R говорить о резонансе уже не имеет смысла. Зависимость амплитуды силы тока от частоты при раз­личных сопротивлениях показана на рисунке.

Одновременно с ростом силы тока при резонансе резко воз­растают напряжения на конденсаторе и катушке индуктивности. Эти напряжения становятся одинаковыми и во много раз пре­восходят внешнее напряжение.

 

Действительно,

Uм, С,рез = Uм, L,рез =

Внешнее напряжение связано с резонансным током так:

Uм = .Если тоUm,C,рез = Um,L,рез >> Um

При резонансе сдвиг фаз между током и напряжением стано­вится равным нулю.

Действительно, колебания напряжения на катушке индуктив­ности и конденсаторе всегда происходят в противофазе. Резо­нансные амплитуды этих напряжений одинаковы. В результате напряжения на катушке и конденсаторе полностью компенсиру­ют друг друга, и падение напряжения происходит только на активном сопротивлении.

Равенство нулю сдвига фаз между напряжением и током при резонансе обеспе­чивает оптимальные условия для поступления энергии от источ­ника переменного напряжения в цепь. Здесь полная аналогия с механическими колебаниями: при резонансе внешняя сила (ана­лог напряжения в цепи) совпадает по фазе со скоростью (аналог силы тока).

 

 

 

Узнать еще:

конспект урока на тему «Емкостное и индуктивное сопротивление в цепи переменного тока»

Тема урока: Емкостное и индуктивное сопротивление в цепи переменного тока.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Цель образовательная: сформировать понятие о реактивном сопротивлении в цепи переменного тока, выяснить причины его появления.

Цель развивающая: учить рассчитывать параметры простейших цепей переменного тока.

Используемые образовательные технологии :информационная (работа с обучающей программой, исследовательская деятельность), коммуникативно-ориентированная (дифференцированный подход, создание проблемной ситуации, рефлексия), здоровьесберегающая ( своевременное чередование различных видов деятельности учащихся, решение задач направленных на сохранение жизни и здоровья в чрезвычайных ситуациях, создание благоприятного эмоционально-психологического климата во время урока, проветривание кабинета перед уроком)

Оборудование: компьютер, экран, проектор, программа «Начала электроники», карточки с задачами,

План урока:

  1. Орг. момент. – 1 мин.

  2. Актуализация ранее полученных знаний — 5 мин.

  3. Изучение нового материала — 25 мин.

  4. Закрепление изученного материала – 5 мин.

  5. Проверка усвоения изученного материала – 7мин

  6. Подведение итогов. Инструктаж по выполнению домашней работы — 2мин.

Ход урока:

Актуализация ранее полученных знаний.5 мин.

  1. Что называют переменным электрическим током? (незатухающие электромагнитные колебания, возникающие под действием внешней периодически изменяющейся ЭДС)

  2. Как создать переменный электрический ток? (переменное напряжение создается генераторами на электростанциях)

  3. Как вы представляете себе простейшую модель генератора? (проволочная рамка, вращающаяся в постоянном однородном магнитном поле)

  4. Напряжение меняется с частотой  по закону косинуса. Как найти мгновенное значение силы тока в любой момент времени? (i=Imsin(t+))

  5. Какое сопротивление называют активным? (электрическое сопротивление, вычисляемое по формуле R=l/S)

  6. Почему его называют активным? (при наличии нагрузки, обладающей этим сопротивлением, цепь поглощает энергию: электрическая энергия преобразуется во внутреннюю)

  7. Как связаны сила переменного тока и напряжение в цепи с резистором? (мгновенное значение силы тока пропорционально мгновенному значению напряжения и совпадает по фазе)

  8. Что называется действующим значением силы тока? (действующее значение силы тока равно силе постоянного тока, выделяющего в проводнике то же количество теплоты, что и переменный ток за это же время?)

  9. Как вычислить действующее значение силы тока и напряжения? (I=Im/ 2 U=Um/ 2 )

Изучение нового материала:

Создание проблемной ситуации3 мин

Вопрос классу: Может ли в цепи существовать постоянный ток, если в неё включен конденсатор?

Примерный ответ: Нет, так как конденсатор размыкает электрическую цепь.

Может ли в цепи существовать переменный ток, если в неё включен конденсатор?

Может, так как переменный ток — это электромагнитные колебания, возникающие при разрядке и зарядке конденсатора.

Как вы считаете, будет ли конденсатор оказывать сопротивление электрическому току? Давайте попробуем предположить, от каких величин оно должно зависеть. Предполагают: от ёмкости конденсатора и от частоты переменного тока.

Исследуем, как именно зависит ёмкостное сопротивление от ёмкости конденсатора и от частоты переменного тока.

Учащиеся работают в группах (парами или по 3 человека) за компьютерами. – (7 мин исследовательская деятельность по группам)

  1. Запустите программу

  2. Соберите электрическую цепь: последовательно источник переменного тока, конденсатор, лампочка, ключ.

  3. Задайте первоначальные значения для источника: напряжение 220 В, частота 50 Гц; для лампочки: напряжение 220 В, мощность 100 Вт; для конденсатора напряжение 400 В, ёмкость 10 мкФ.

  4. Замкните цепь. Пронаблюдайте яркость лампочки.

  5. Не меняя значения частоты переменного тока, увеличьте ёмкость конденсатора в 2 раза Как изменилась яркость лампочки? Сделайте вывод, как изменилось сопротивление конденсатора.

  6. Повторите эксперимент, уменьшив ёмкость конденсатора в 2 раза от первоначального

  7. Не меняя значения ёмкости конденсатора аналогично исследуйте зависимость сопротивления от частоты переменного тока.

  8. Объясните полученный результат.

  9. Выведите формулу, по которой вычисляют емкостное сопротивление.

Далее следует обсуждение результатов. Выступают представители нескольких групп и результаты обобщаются. – 5 мин

Чем больше емкость конденсатора, тем больший заряд на обкладках накапливается и больший ток перезарядки возникает, следовательно (согласно закону Ома), сопротивление меньше.

Вывод: зависимость между емкостью конденсатора и ёмкостным сопротивлением обратно пропорциональная.

Чем больше частота переменного тока (меньше период), тем за более короткое время заряд будет проходить по проводам, следовательно сила тока больше, сопротивление меньше.

Вывод: зависимость между частотой переменного тока и ёмкостным сопротивлением обратно пропорциональная.

Формула: Xc=1/C

Выведем эту формулу теоретически (слайд №1) — 3 мин

u=Umcost u= q/C

q/C=Umcost

q=CUmcost

i= q= -CUmsint= CUmcos(t+/2)

Im= UmC Im=Um/Xc Xc=1/C

Вывод: колебания силы тока опережают колебания напряжения на конденсаторе на /2. Это означает, когда конденсатор разряжен (u=0) и начинает заряжаться, сила тока в цепи максимальна.

Причины появления ёмкостного сопротивления: изменению переменного тока в любое мгновение противодействует электрическое поле между обкладками конденсатора.

Мы выяснили, что конденсатор, включенный в электрическую цепь оказывает сопротивление переменному току. Как вы считаете, если включить в электрическую цепь катушку индуктивности, то она будет оказывать сопротивление переменному току?

Предполагаемый ответ: Да, будет. Объясняется явлением самоиндукции. При нарастании электрического поля вихревое поле тормозит движение электронов.

Задание: Предположить, от каких величин зависит индуктивное сопротивление. Собрать схему. Провести эксперимент (по аналогии с ёмкостным сопротивлением). Вывести формулу, по которой вычисляют индуктивное сопротивление. (5 минут исследовательская деятельность по группам)

Далее следует обсуждение результатов. Выступают представители нескольких групп и результаты обобщаются. – 3 мин

Вывод: Индуктивное сопротивление зависит от индуктивности катушки и от частоты переменного тока. Обе зависимости прямо пропорциональны. Формула: XL=L.

Закрепление изученного материала.

Решение задачи №976.(задачник Рымкевич А.П)

Конденсатор включен в цепь переменного тока стандартной частоты. Напряжение в сети 220 В. Сила тока в цепи 2,5 А. Какова емкость конденсатора?

Как можно найти емкость конденсатора? Из формулы для расчета емкостного сопротивления: Xc=1/C  С=1/Xc (слайд №2).

Как можно найти емкостное сопротивление? Из закона Ома: I=U/Xc ;

Xc= U/ I=220В/2,5А=88 Ом. (слайд №3).

Как найти циклическую частоту?

= 2  С=1/(2 Xc)=1/( 2·50 Гц·88 Ом)=3,6·10-5 Ф=36 мкФ (слайд №4).

Проверка усвоения изученного материала

Закройте тетради. Возьмите листочки. Работа по вариантам. (слайд №5).

I вариант

  1. Катушка с ничтожно малым активным сопротивлением включена в цепь переменного тока стандартной частоты. Сила тока в цепи 2 А. Определить напряжение на катушке, если её индуктивность 0,2Гн.

  2. Как изменится емкостное сопротивление воздушного конденсатора, если пространство между пластинами заполнить диэлектриком ε=2?

II вариант

  1. Катушка с ничтожно малым активным сопротивлением включена в цепь переменного тока стандартной частоты. Напряжение на катушке 120В. Определить силу тока в катушке, если её индуктивность 0,3Гн.

  2. Как изменится емкостное сопротивление воздушного конденсатора, если расстояние между пластинами увеличить в 2 раза?

Подведение итогов.

Сегодня на уроке мы узнали, что в цепи переменного тока( в отличие от цепи постоянного тока), кроме активного существует индуктивное и емкостное сопротивления. Выяснили причины их появления. Получили формулы для их вычисления.

Особенно активно и с высоким качеством сегодня работали (объявляются фамилии). Оценки получают (фамилии).

Инструктаж по выполнению домашней работы

Вывести теоретически формулу для расчета индуктивного сопротивления. (разобрать вывод в §34), №979. Дополнительно для желающих — №977,981 (качественные задачи).

Всем спасибо! Урок закончен. До свидания.

Конденсатор в цепи переменного тока

Изучить поведение и особенности функционирования конденсатора, включенного в цепь переменного тока поможет простейшая цепь с генератором, который формирует синусоидальное напряжение. За начальный момент примем положение в цепи, при котором напряжение на выходе из генератора равно нулю. Исследуем особенности происходящих изменений в цепи после замыкания ключа.

Первая четверть периода

Первая четверть периода характеризуется возрастанием напряжения от нуля на зажимах генератора, что приводит к началу зарядки конденсатора. В цепи появляется электрический ток. Но в самом начале зарядки конденсатора напряжение на его пластинах только начинает формироваться, оставаясь незначительным. Чем сильнее заряжается конденсатор, тем меньшим становится ток в цепи. Ток доходит до нулевой отметки одновременно с полным зарядом конденсатора. Само напряжение, накопленное на пластинах конденсатора, становится максимальный, но характеризуется изменением направления на 180°, то есть становится прямо противоположным напряжению, поступающего от генератора.

Резюмируем: после появления тока в цепи он начинает с максимальной силой поступать в конденсатор. Однако сила тока достаточно быстро снижается по мере накопления напряжения на пластинах конденсатора. Ток становится равным нулю в момент полной зарядки конденсатора.

Для улучшения восприятия процессов, происходящих в цепи, сравним данное явление с особенностью перетекания воды в сообщающихся сосудах. Как только заслонка или краник будут открыты, в пустой сосуд вода побежит с максимальной скоростью и силой. Но напор воды тут же начинает ослабевать и постепенно доходит до нуля. Одновременно уровень жидкости в обоих сосудах выравнивается.

Вторая четверть периода

Вторая четверть периода характеризуется следующими явлениями:

— напряжение генератора убывает, сначала медленно, а затем все быстрее;

— конденсатор, получивший полный заряд, начинает разряжаться на генератор;

— в цепи появляется ток разряда.

Ток разряда возрастает параллельно со снижением напряжения на генераторе. Направление тока заряда на данном этапе (и это очень важно) остается прямо противоположным направлению тока заряда, протекавшего в первую четверть периода. На диаграмме можно увидеть, как кривая тока преодолевает нулевую отметку и переходит в положение ниже по оси времени.

Завершение второй четверти (или первого полупериода) характеризуется минимальными показателями напряжения как на генераторе, так и на конденсаторе. Оба показателя стремятся к нулевой отметке. Одновременно ток в цепи постепенно доходит до своих максимальных значений.

Третья четверть периода

Третья четверть периода начинается с того, что конденсатор вновь начинает заряжаться. Однако в цепи произошли существенные изменения. А именно: полярность пластин конденсатора, равно как и полярность генератора тока изменились на обратную. При этом электрический ток продолжает течь в заданном направлении и вновь начинает убывать по мере заряда конденсатора. Данный участок исследуемого периода характеризуется завершением заряда конденсатора, показатели напряжения на нем и на генераторе достигают максимума, а ток становится равным нулю.

В четвертой четверти периода происходит постепенное уменьшение напряжения в цепи, которое падает до нуля. Ток же, изменив направление движения достигает максимума.

На этом рассматриваемый период заканчивается и повторяется вновь и вновь, точно копируя все параметры и величины тока и напряжения, описанные выше.

Подведем итог: в электрической цепи переменного тока под воздействием напряжения в течение одного периода дважды происходит заряд конденсатора и 2 раза его разряд. Заряд до максимальных показателей происходит в 1 и 3 четверти, а полный разряд – во 2 и 4 четверти периода. Одновременно, учитывая тот факт, что заряды и разряды конденсаторов сопровождаются протеканием электрического тока (зарядного и разрядного) фиксируем: в исследуемой цепи протекает переменный электрический ток.

Убедительный пример

Чтобы наглядно продемонстрировать все вышесказанное и уяснить особенности протекания физических процессов в цепи проведем простой опыт. К сети переменного тока подключаем лампочку электрического освещения, мощность которой составляет 24 Вт. Включаем в цепь конденсатор емкостью 4-6 мкф. Как только цепь замкнется, лампочка включится и будет гореть. До тех пор, пока цепь не будет разорвана. Очевидно: по цепи с емкостью протекает переменный электрический ток. Но он представляет собой постоянно чередующийся ток заряда и разряда и, конечно же не проходит сквозь диэлектрик конденсатора.

Как ведет себя сопротивление. Этот параметр конденсатора, встроенного в цепь, зависит напрямую от двух параметров:

— величина емкости конденсатора;

— частота тока.

Чем емкость выше, тем больший заряд протекает по цепи в момент заряда и разряда конденсатора. Как следствие – увеличивается ток в цепи, что параллельно приводит к уменьшению ее сопротивления.

Выводы:

Таким образом, можно сделать 2 вывода:

  1. Чем выше емкость конденсатора, тем меньшим становится сопротивление цепи переменному току.
  2. Повышение частоты приводит к снижению уровня сопротивления конденсатора переменному току.

2.

Конденсатор в цепи переменного тока | 4. Реактивное сопротивление и импеданс — Емкость | Часть2

2. Конденсатор в цепи переменного тока

Конденсатор в цепи переменного тока

Конденсатор в цепи переменного тока ведет себя не так, как резистор. Если резисторы просто противостоят потоку электронов (напряжение на них прямопропорционально току), то конденсаторы противостоят изменению напряжения («тормозя» или добавляя ток во время зарядки или разрядки до нового уровня напряжения). Проходящий через конденсатор ток прямопропорционален скорости изменения напряжения. Это противостояние изменению напряжения является еще одной формой реактивного сопротивления, которое по своему действию противоположно реактивному сопротивлению катушки индуктивности.

Математическая взаимосвязь между проходящим через конденсатор током и скоростью изменения напряжения на нем выглядит следующим образом:

 

 

Отношение du/dt представляет собой скорость изменения мгновенного напряжения (u) с течением времени, и измеряется в вольтах в секунду. Емкость (С) измеряется в Фарадах, а мгновенный ток (i) — в амперах. Чтобы показать, что происходит с переменным током, давайте проанализируем простую емкостную схему:

 

 

Простая емкостная цепь: напряжение конденсатора отстает от тока на 90o.

Если мы построим график тока и напряжения для этой простой цепи, то он будет выглядеть примерно так:

 

 

Как вы помните, проходящий через конденсатор ток является реакцией на изменение напряжения на этом конденсаторе. Отсюда можно сделать вывод, что мгновенный ток равен нулю всякий раз, когда мгновенное значение напряжения находится в пике (нулевое изменение, или нулевой наклон синусоидальной волны напряжения), и мгновенный ток равен своему пиковому значению всякий раз, когда мгновенное напряжение находится в точках максимального изменения (точки самого крутого наклона волны напряжения, в которых она пересекает нулевую линию). Все это приводит к тому, что волна напряжения на -90o не совпадает по фазе с волной тока. На графике видно, как волна тока дает «фору» волне напряжения: ток «ведет» напряжение, а напряжение «запаздывает» за током.

 

 

Как вы уже догадались, такая же необычная волна мощности, которую мы видели в простой индуктивной цепи, присутствует и в простой емкостной цепи:

 

 

Как и в случае с простой индуктивной цепью, фазовый сдвиг 90 градусов между напряжением и током приводит к равномерному чередованию волны мощности между положительными и отрицательными значениями. Это означает, что конденсатор не рассеивает мощность (когда реагирует на изменения напряжения), а просто поглощает и высвобождает ее (поочередно).

Сопротивление конденсатора, изменяющее напряжение, интерпретируется как сопротивление переменному напряжению в целом, у которого по определению постоянно меняется мгновенная величина и направление. Для любой заданной величины переменного напряжения на заданной частоте, конденсатор заданного размера будет «проводить» определенную величину переменного тока. Так же, как ток через резистор является функцией напряжения на этом резисторе и его сопротивления, переменный ток через конденсатор является функцией переменного напряжения на этом конденсаторе и его реактивного сопротивления. Как и в случае с катушками индуктивности, реактивное сопротивление конденсатора измеряется в Омах, и обозначается буквой Х (или ХС, если быть более точным).

Поскольку проходящий через конденсатор ток пропорционален скорости изменения напряжения, он будет больше для быстро меняющихся напряжений, и меньше — для напряжений с более медленным изменением. Это означает, что реактивное сопротивление любого конденсатора (в Омах) обратно пропорционально частоте переменного тока. Точная формула расчета реактивного сопротивления конденсатора выглядит следующим образом:

 

 

Если на конденсатор емкостью 100 мкФ воздействовать частотами 60, 120 и 2500 Гц, то его реактивное сопротивление примет следующие значения:

 




Частота (Гц) Реактивное сопротивление (Ом)
60 26. 5258
120 13.2629
2500 0.6366

 

Обратите внимание на то, что отношение емкостного реактивного сопротивления к частотам точно противоположно отношению индуктивного реактивного сопротивления к тем же частотам. Емкостное реактивное сопротивление уменьшается с увеличением частоты переменного тока, а индуктивное реактивное сопротивление наоборот, увеличивается с ростом частоты переменного тока. Если катушки индуктивности выступают против быстрого изменения тока, производя большее напряжение, то конденсаторы выступают против быстрого изменения напряжения, производя больший ток.

По аналогии с катушками индуктивности, выражение 2πf в уравнении реактивного сопротивления конденсатора может быть заменено на строчную греческую букву ω (Омега), которую иначе называют угловой (циклической) частотой переменного тока. Таким образом, уравнение XC = 1/(2πfC) может быть записано как XC = 1/(ωC), где ω выражается в радианах в секунду.

Переменный ток в простой емкостной цепи равен напряжению (в Вольтах) поделенному на реактивное сопротивление конденсатора (в Омах). Это аналогично тому что переменный или постоянный ток в простой резистивной цепи равен напряжению (в Вольтах) поделенному на сопротивление (в Омах). В качестве примера давайте рассмотрим следующую схему:

 

 

 

Однако, мы должны иметь в виду, что напряжение и ток имеют разные фазы. Как было сказано ранее, ток имеет фазовый сдвиг +90o по отношению к напряжению. Если представить фазовые углы напряжения и тока математически (в виде комплексных чисел), то мы увидим, что реактивное сопротивление конденсатора переменному току обладает следующим фазовым углом:

 

 

 

Математически можно сказать, что фазовый угол сопротивления конденсатора переменному току составляет -90o. Фазовый угол реактивного сопротивления току очень важен при анализе цепей. Особенно эта важность проявляется при анализе сложных цепей переменного тока, где реактивные и простые сопротивления взаимодействуют друг с другом. Он также окажется полезным для представления сопротивления любого компонента электрическому току с точки зрения комплексных чисел (а не скалярных величин сопротивления и реактивного сопротивления).

Урок 45. Лабораторная работа № 11. Исследование зависимости силы тока от электроемкости конденсатора в цепи переменного тока

Лабораторная работа №11

Исследование зависимости силы тока от электроёмкости конденсатора в цепи переменного тока

Цель работы:  изучить влияние электроёмкости на силу переменного тока.

Оборудование: набор неполярных конденсаторов известной ёмкости, регулируемый источник переменного тока ЛАТР, миллиамперметр с пределом измерения до 100 мА переменного тока, вольтметр с пределом измерения до 75 В переменного напряжения, соединительные провода.

Теория

   Постоянный ток не проходит через конденсатор, так как между его обкладками находится диэлектрик. Если конденсатор включить в цепь постоянного тока, то после зарядки конденсатора ток в цепи прекратится.

   Если же включить конденсатор в цепь переменного тока, то заряд конденсатора (q=CU) вследствие изменения напряжения непрерывно изменяется, поэтому в цепи течёт переменный ток. Сила тока тем больше, чем больше ёмкость конденсатора и чем чаще происходит его перезарядка, т.е. чем больше частота переменного тока.

   Сопротивление, обусловленное наличием электрической ёмкости в цепи переменного тока, называют ёмкостным сопротивлением XC. Оно обратно пропорционально ёмкости С и круговой частоте ω:

    или, с учётом, что ω=2πν, где ν- частота переменного тока,   (1).                                                                                                                                                                                                    

   Из закона Ома для участка цепи переменного тока, содержащего ёмкостное сопротивление, действующее значение тока в цепи равно:    (2).

   Из формулы (2) следует, что в цепи с конденсатором переменный ток изменяется прямо пропорционально изменению ёмкости конденсатора при неизменной частоте тока.

   Графически зависимость силы тока от электроёмкости конденсатора в цепи переменного тока изображается прямой линией (рис.1).

 

   В этом и предстоит убедиться опытным путём в данной работе.

Ход работы.

   1. Собрать электрическую схему согласно рисунка 2 и перечертить её в тетрадь:

   2. Подготовить таблицу для результатов измерений и вычислений:








 Частота тока

ν, Гц

 Напряжение

на конденсаторе

U, В

 Ёмкость конденсатора

   С, мкФ

 Ток в цепи

I, мА

Ёмкостное сопротивление

, Ом

измеренное

вычисленное

 

 

         50

 

 

         50

   

 

 

     

 

   

 

 

   

 

 

   

 

 

   3. Для каждого конденсатора из набора измерить силу тока при напряжении 50 В.                                  

   4. В каждом опыте рассчитать ёмкостное сопротивление по закону Ома для участка цепи переменного тока: , здесь I — действующее значение тока в мА, U=50 В — действующее значение напряжения.

   5. В каждом опыте вычислите ёмкостное сопротивление по заданным значениям частоты переменного тока ν=50Гц и ёмкости конденсатора С: , здесь С — ёмкость в мкФ.                                                                                         

   6. Сравните результаты расчётов в п.4 и в п.5 и сделайте вывод о выполнимости закона Ома для участка цепи переменного тока содержащего электроёмкость с учётом погрешности измерений.        

   7. Постройте график зависимости силы тока от электроёмкости конденсатора в цепи переменного тока:

   8. Запишите вывод по результатам опытов и ответьте на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы.

1. Почему постоянный ток не проходит через конденсатор?

2. Какое сопротивление называется ёмкостным? Почему оно является реактивным сопротивлением?

3. От чего и как зависит ёмкостное сопротивление?

4. Выполняется ли закон Ома для участка цепи переменного тока, содержащего ёмкостное сопротивление?

5. Напряжение на конденсаторе изменяется по закону . Запишите уравнение переменного тока в цепи с конденсатором.

Цепи конденсаторов переменного тока

| Реактивное сопротивление и импеданс — емкостный

Конденсаторы Vs. Резисторы

Конденсаторы ведут себя не так, как резисторы. В то время как резисторы пропускают через себя поток электронов, прямо пропорциональный падению напряжения, конденсаторы противодействуют изменениям напряжения, потребляя или подавая ток при зарядке или разрядке до нового уровня напряжения.

Поток электронов «через» конденсатор прямо пропорционален скорости изменения напряжения на конденсаторе. Это противодействие изменению напряжения представляет собой другую форму реактивного сопротивления , но оно прямо противоположно тому, которое демонстрируют индукторы.

Характеристики цепи конденсатора

Выражаясь математически, соотношение между током, протекающим через конденсатор, и скоростью изменения напряжения на конденсаторе как таковое:

Выражение de / dt — это выражение из расчетов, означающее скорость изменения мгновенного напряжения (e) во времени в вольтах в секунду.Емкость (C) выражается в фарадах, а мгновенный ток (i), конечно, выражается в амперах.

Иногда можно встретить скорость мгновенного изменения напряжения с течением времени, выраженную как dv / dt вместо de / dt: вместо напряжения используется строчная буква «v» или «e», но это означает то же самое. Чтобы показать, что происходит с переменным током, давайте проанализируем простую схему конденсатора:

Чистая емкостная цепь: напряжение конденсатора отстает от тока конденсатора на 90 °

Если бы мы изобразили ток и напряжение для этой очень простой схемы, это выглядело бы примерно так:

Формы сигналов чисто емкостной цепи.

Помните, что ток через конденсатор — это реакция на изменение напряжения на нем.

Следовательно, мгновенный ток равен нулю всякий раз, когда мгновенное напряжение достигает пика (нулевое изменение или наклон уровня синусоидальной волны напряжения), а мгновенный ток находится на пике везде, где мгновенное напряжение имеет максимальное изменение (точки крутизны на волне напряжения, где она пересекает нулевую линию).

Это приводит к появлению волны напряжения, сдвинутой по фазе на -90 ° с волной тока.Глядя на график, кажется, что волна тока имеет «фору» по сравнению с волной напряжения; ток «опережает» напряжение, а напряжение «отстает» от тока.

Напряжение отстает от тока на 90 ° в чисто емкостной цепи.

Как вы могли догадаться, та же необычная волна мощности, которую мы видели в простой цепи индуктивности, присутствует и в простой цепи конденсатора:

В чисто емкостной цепи мгновенная мощность может быть положительной или отрицательной.

Как и в случае с простой схемой индуктивности, сдвиг фазы на 90 градусов между напряжением и током приводит к появлению волны мощности, которая в равной степени чередуется между положительной и отрицательной полярностью. Это означает, что конденсатор не рассеивает мощность, поскольку он реагирует на изменения напряжения; он просто поочередно поглощает и высвобождает энергию.

Реактивное сопротивление конденсатора

Противодействие конденсатора изменению напряжения приводит к противодействию переменному напряжению в целом, которое по определению всегда изменяется по мгновенной величине и направлению.

Для любой заданной величины переменного напряжения и заданной частоты конденсатор заданного размера будет «проводить» определенную величину переменного тока.

Точно так же, как ток через резистор является функцией напряжения на резисторе и сопротивления, предлагаемого резистором, переменный ток через конденсатор является функцией переменного напряжения на нем, и реактивного сопротивления , обеспечиваемого конденсатором. .

Как и в случае катушек индуктивности, реактивное сопротивление конденсатора выражается в омах и обозначается буквой X (или, точнее, XC).

Поскольку конденсаторы «проводят» ток пропорционально скорости изменения напряжения, они будут пропускать больше тока при более быстром изменении напряжения (поскольку они заряжаются и разряжаются до тех же пиков напряжения за меньшее время) и меньший ток при более медленном изменении напряжения. .

Это означает, что реактивное сопротивление в Ом для любого конденсатора равно , обратно пропорционально частоте переменного тока.

Реактивное сопротивление конденсатора 100 мкФ:
Частота (Герцы) Реактивное сопротивление (Ом)
60 26.5258
120 13,2629
2500 0,6366

Обратите внимание, что отношение емкостного реактивного сопротивления к частоте прямо противоположно отношению индуктивного реактивного сопротивления.

Емкостное реактивное сопротивление (в омах) уменьшается с увеличением частоты переменного тока. И наоборот, индуктивное реактивное сопротивление (в омах) увеличивается с увеличением частоты переменного тока. Индукторы противодействуют более быстрому изменению токов, производя большие падения напряжения; Конденсаторы противодействуют более быстрому изменению падений напряжения за счет увеличения тока.

Как и в случае катушек индуктивности, член 2πf в уравнении реактивного сопротивления может быть заменен строчной греческой буквой Омега (ω), которая обозначается как угловая скорость цепи переменного тока. Таким образом, уравнение XC = 1 / (2πfC) также может быть записано как XC = 1 / (ωC), где ω приводится в единицах радиан в секунду .

Переменный ток в простой емкостной цепи равен напряжению (в вольтах), деленному на емкостное реактивное сопротивление (в омах), точно так же, как переменный или постоянный ток в простой резистивной цепи равен напряжению (в вольтах), деленному на сопротивление (в Ом). Следующая схема иллюстрирует это математическое соотношение на примере:

Емкостное реактивное сопротивление.

Однако мы должны помнить, что здесь напряжение и ток не совпадают по фазе. Как было показано ранее, ток имеет фазовый сдвиг + 90 ° по отношению к напряжению. Если мы математически представим эти фазовые углы напряжения и тока, мы сможем вычислить фазовый угол реактивного сопротивления конденсатора току.

Напряжение в конденсаторе отстает от тока на 90 °.

Математически мы говорим, что фазовый угол сопротивления конденсатора току равен -90 °, что означает, что сопротивление конденсатора току является отрицательной мнимой величиной. (См. Рисунок выше). Этот фазовый угол реактивного противодействия току становится критически важным при анализе цепей, особенно для сложных цепей переменного тока, где реактивное сопротивление и сопротивление взаимодействуют.

Будет полезно представить любое сопротивление компонента току в виде комплексных чисел, а не только скалярных величин сопротивления и реактивного сопротивления.

ОБЗОР:

  • Емкостное реактивное сопротивление — это противодействие, которое конденсатор предлагает переменному току из-за его сдвинутого по фазе накопления и выделения энергии в его электрическом поле. Реактивное сопротивление обозначается заглавной буквой «X» и измеряется в омах, как и сопротивление (R).
  • Емкостное реактивное сопротивление можно рассчитать по следующей формуле: XC = 1 / (2πfC)
  • Емкостное реактивное сопротивление уменьшается с увеличением частоты . Другими словами, чем выше частота, тем меньше он сопротивляется (тем больше «проводит») переменному току.

СВЯЗАННЫЕ РАБОЧИЕ ЛИСТЫ:

15.S: Схемы переменного тока (Резюме) — Physics LibreTexts

Ключевые термины

Уравнение

переменный ток ток, который синусоидально колеблется во времени с фиксированной частотой
переменное напряжение напряжение, которое синусоидально колеблется во времени с фиксированной частотой
переменный ток (ac) Поток электрического заряда, который периодически меняет направление
средняя мощность среднее время мгновенной мощности за один цикл
полоса пропускания диапазон угловых частот, в которых средняя мощность больше половины максимального значения средней мощности
емкостное реактивное сопротивление Противодействие конденсатора изменению тока
постоянный ток (dc) поток электрического заряда только в одном направлении
полное сопротивление переменный ток аналог сопротивления в цепи постоянного тока, который измеряет совокупное влияние сопротивления, емкостного реактивного сопротивления и индуктивного реактивного сопротивления
индуктивное реактивное сопротивление Противодействие катушки индуктивности изменению тока
фазовый угол величина, на которую напряжение и ток не совпадают по фазе друг с другом в цепи
Коэффициент мощности величина, на которую мощность, передаваемая в цепи, меньше теоретического максимума цепи из-за того, что напряжение и ток не совпадают по фазе
добротность безразмерная величина, описывающая резкость пика полосы пропускания; высокая добротность — острый или узкий резонансный пик
резонансная частота частота, при которой амплитуда тока максимальна, и цепь будет колебаться, если не будет управляться источником напряжения
действующее значение тока среднеквадратичное значение текущего
действующее напряжение среднеквадратичное значение напряжения
понижающий трансформатор трансформатор, понижающий напряжение и увеличивающий ток
повышающий трансформатор трансформатор, повышающий напряжение и понижающий ток
трансформатор устройство, которое преобразует напряжения из одного значения в другое с помощью индукции
уравнение трансформатора , показывающее, что отношение вторичного напряжения к первичному в трансформаторе равно отношению количества витков в их обмотках

Ключевые уравнения

Напряжение переменного тока \ (\ Displaystyle v = V_0sinωt \)
Переменный ток \ (\ Displaystyle я = I_0sinωt \)
емкостное реактивное сопротивление \ (\ Displaystyle \ гидроразрыва {V_0} {I_0} = \ гидроразрыва {1} {ωC} = X_C \)
действующее напряжение \ (\ Displaystyle V_ {rms} = \ frac {V_0} {\ sqrt {2}} \)
действующее значение тока \ (\ Displaystyle I_ {rms} = \ frac {I_0} {\ sqrt {2}} \)
индуктивное сопротивление \ (\ Displaystyle \ гидроразрыва {V_0} {I_0} = ωL = X_L \)
Фазовый угол цепи последовательного RLC \ (\ Displaystyle ϕ = загар ^ {- 1} \ гидроразрыва {X_L − X_C} {R} \)
Вариант закона Ома по переменному току \ (\ Displaystyle I_0 = \ гидроразрыва {V_0} {Z} \)
Импеданс цепи последовательного RLC \ (\ Displaystyle Z = \ sqrt {R ^ 2 + (X_L − X_C) ^ 2} \)
Средняя мощность, связанная с элементом схемы \ (\ Displaystyle P_ {ave} = \ frac {1} {2} I_0V_0cosϕ \)
Средняя мощность, рассеиваемая резистором \ (\ displaystyle P_ {ave} = \ frac {1} {2} I_0V_0 = I_ {rms} V_ {rms} = I ^ 2_ {rms} R \)
Резонансная угловая частота контура \ (\ Displaystyle ω_0 = \ sqrt {\ frac {1} {LC}} \)
Добротность цепи \ (\ Displaystyle Q = \ гидроразрыва {ω_0} {Δω} \)
Добротность цепи по параметрам цепи \ (\ Displaystyle Q = \ гидроразрыва {ω_0L} {R} \)
Уравнение трансформатора с напряжением \ (\ displaystyle \ frac {V_S} {V_P} = \ frac {N_S} {N_P} \)
Уравнение трансформатора с током \ (\ Displaystyle I_S = \ frac {N_P} {N_S} I_P \)

Резюме

15.

2 источника переменного тока

  • Постоянный ток (dc) относится к системам, в которых напряжение источника постоянно.
  • Переменный ток (ac) относится к системам, в которых напряжение источника периодически изменяется, особенно синусоидально.
  • Источник напряжения системы переменного тока выдает напряжение, которое рассчитывается на основе времени, пикового напряжения и угловой частоты.
  • В простой схеме ток определяется делением напряжения на сопротивление.Переменный ток рассчитывается с использованием пикового тока (определяемого делением пикового напряжения на сопротивление), угловой частоты и времени.

15.3 Простые цепи переменного тока

  • Для резисторов сквозной ток и напряжение совпадают по фазе.
  • Для конденсаторов мы обнаруживаем, что когда на конденсатор подается синусоидальное напряжение, напряжение следует за током на одну четверть цикла. Поскольку конденсатор может останавливать ток при полной зарядке, он ограничивает ток и предлагает другую форму сопротивления переменному току, называемую емкостным реактивным сопротивлением, которое измеряется в омах.
  • Для катушек индуктивности в цепях переменного тока мы обнаруживаем, что когда на катушку подается синусоидальное напряжение, напряжение опережает ток на одну четверть цикла.
  • Противодействие катушки индуктивности изменению тока выражается как тип реактивного сопротивления переменного тока. Это индуктивное реактивное сопротивление, которое измеряется в омах, изменяется в зависимости от частоты источника переменного тока.

Цепи серии 15,4 RLC с AC

  • Последовательная цепь RLC представляет собой последовательную комбинацию резистора, конденсатора и индуктора через источник переменного тока.
  • Одинаковый ток протекает через каждый элемент последовательной цепи RLC во все моменты времени.
  • Сопротивлением в цепи постоянного тока является импеданс, который измеряет комбинированное воздействие резисторов, конденсаторов и катушек индуктивности. Максимальный ток определяется версией закона Ома для переменного тока.
  • Импеданс выражается в единицах Ом и определяется с помощью сопротивления, емкостного и индуктивного сопротивления.

15.5 Питание в цепи переменного тока

  • Средняя мощность переменного тока определяется путем умножения среднеквадратичных значений тока и напряжения.
  • Закон Ома для среднеквадратичного значения переменного тока находится делением среднеквадратичного напряжения на полное сопротивление.
  • В цепи переменного тока существует фазовый угол между напряжением источника и током, который можно найти, разделив сопротивление на импеданс.
  • Средняя мощность, подаваемая в цепь RLC , зависит от фазового угла.
  • Коэффициент мощности находится в диапазоне от –1 до 1.

15.6 Резонанс в цепи переменного тока

  • На резонансной частоте индуктивное реактивное сопротивление равно емкостному реактивному сопротивлению.
  • График зависимости средней мощности от угловой частоты для цепи RLC имеет пик, расположенный на резонансной частоте; резкость или ширина пика известна как ширина полосы.
  • Ширина полосы связана с безразмерной величиной, называемой коэффициентом качества.Высокое значение коэффициента качества — это острый или узкий пик.

15,7 Трансформаторы

  • Электростанции передают высокое напряжение при малых токах для достижения более низких омических потерь на многокилометровых линиях передачи.
  • Трансформаторы используют индукцию для преобразования напряжения из одного значения в другое.
  • Для трансформатора напряжения на первичной и вторичной катушках или обмотках связаны уравнением трансформатора.
  • Токи в первичной и вторичной обмотках связаны количеством первичных и вторичных петель или витков в обмотках трансформатора.
  • Повышающий трансформатор увеличивает напряжение и снижает ток, тогда как понижающий трансформатор снижает напряжение и увеличивает ток.

Авторы и авторство

Сэмюэл Дж. Линг (Государственный университет Трумэна), Джефф Санни (Университет Лойола Мэримаунт) и Билл Мобс со многими авторами. Эта работа лицензирована OpenStax University Physics в соответствии с лицензией Creative Commons Attribution License (4.0).

Цепи переменного тока

Цепи переменного тока

следующий: Линии передачи
Up: Магнитная индукция
Предыдущий: Магнитная энергия

Цепи переменного тока состоят из e.м.ф. источников и трех
различные типы пассивных элементов: резисторы, индукторы,
и конденсаторы, резисторы удовлетворяют закону Ома:

(968)



где — сопротивление, ток, протекающий через резистор, и
падение напряжения на резисторе (в том направлении, в котором ток
потоки). Индукторы удовлетворяют

(969)



где — индуктивность. Наконец, конденсаторы подчиняются

(970)



где — емкость, — заряд, накопленный на пластине с наибольшим
положительный потенциал, и для. Обратите внимание, что любой
пассивная составляющая реального электрического
схему всегда можно представить как комбинацию идеальных резисторов, индукторов и
конденсаторы.

Рассмотрим классическую схему LCR, состоящую из индуктора,,
конденсатор« и резистор«, все подключенные последовательно с e.м.ф. источник,
. Уравнение схемы получается установкой входного напряжения равным
сумма падений напряжения на трех пассивных элементах в цепи.
Таким образом,

(971)



Это интегро-дифференциальное уравнение, которое, как правило, довольно сложно подобрать.
решать. Однако предположим, что и напряжение, и ток
колеблются с некоторой фиксированной угловой частотой, так что




где под физическим решением понимается действительная часть
приведенные выше выражения.Предполагаемое поведение напряжения и тока:
явно относящийся к электрическому
схемы, питаемые от сетевого напряжения (которое составляет 60 Гц).

Уравнения (971) — (973) дают

(974)



давая

(975)



Полезно определить импеданс цепи:

(976)



Импеданс — это обобщение концепции сопротивления. В общем, сопротивление
цепи переменного тока составляет комплексное количество .

Средняя выходная мощность э.д.с. источник

(977)



где среднее значение берется за один период колебания. Давайте, прежде всего,
рассчитать мощность, используя реальные (а не комплексные) напряжения и токи.
Мы можем написать




где — фазовая задержка тока по отношению к напряжению.Следует, что




давая

(981)



поскольку
и
.
В комплексном представлении напряжение и ток записываются




Обратите внимание, что

(984)



Следует, что

(985)



Используя уравнение. (976) находим, что

(986)



Обратите внимание, что рассеиваемая мощность связана с действительной частью импеданса.Для частного случая схемы LCR,

(987)



Понятно, что в этой цепи рассеивает энергию только резистор. Индуктор и
оба конденсатора накапливают энергию, но в конечном итоге возвращают ее в цепь
без диссипации.

Согласно формуле. (976), амплитуда тока, протекающего в цепи LCR
для заданной амплитуды входного напряжения
данный

(988)



Ответ схемы
отчетливо резонансный , достигающий максимума
, и достигнув
пикового значения при
(при условии, что

). Фактически, схемы LCR используются в радиотюнерах для фильтрации
сигналы, частоты которых выходят за пределы заданного диапазона.

Фазовая задержка тока по отношению к напряжению определяется выражением

(989)



Фазовая задержка изменяется от для частот значительно ниже резонансной
частоты, к нулю на резонансной частоте (
), к
для частот значительно выше резонансной частоты.

Очевидно, что в обычных цепях переменного тока уравнение цепи сводится к
простое алгебраическое уравнение, и поведение схемы суммируется
комплексным сопротивлением. Реальная часть показывает нам мощность, рассеиваемую в
в цепи величина дает отношение пикового тока к
пиковое напряжение, а аргумент дает фазовую задержку тока
по напряжению.


следующий: Линии передачи
Up: Магнитная индукция
Предыдущий: Магнитная энергия

Ричард Фицпатрик
2006-02-02

Противодействие протеканию переменного тока

Противодействие протеканию переменного тока

Существует три фактора, которые могут создать противодействие потоку электронов (току) в цепи переменного тока. Сопротивление, как и сопротивление цепей постоянного тока, измеряется в омах и оказывает прямое влияние на переменный ток независимо от частоты. С другой стороны, индуктивное реактивное сопротивление и емкостное реактивное сопротивление препятствуют протеканию тока только в цепях переменного тока, а не в цепях постоянного тока. Поскольку переменный ток постоянно меняет направление и интенсивность, катушки индуктивности и конденсаторы также могут препятствовать прохождению тока в цепях переменного тока. Следует также отметить, что индуктивное реактивное сопротивление и емкостное реактивное сопротивление могут создавать фазовый сдвиг между напряжением и током в цепи переменного тока.При анализе цепи переменного тока очень важно учитывать сопротивление, индуктивное реактивное сопротивление и емкостное реактивное сопротивление. Все три влияют на ток в этой цепи.

Сопротивление

Как уже упоминалось, сопротивление создает противодействие току в цепи переменного тока, аналогичное сопротивлению цепи постоянного тока. Ток через резистивную часть цепи переменного тока обратно пропорционален сопротивлению и прямо пропорционален напряжению, приложенному к этой цепи или части цепи.Уравнения I = E / R & E = I × R показывают, как ток связан как с напряжением, так и с сопротивлением. Следует отметить, что сопротивление в цепи переменного тока не создает сдвига фаз между напряжением и током.

Рисунок 9-17. Сопротивление.

На рис. 9-17 показано, как цепь на 10 Ом допускает протекание тока 11,5 ампер через резистивную цепь переменного тока на 115 вольт.

Индуктивное реактивное сопротивление

При перемещении магнита через катушку с проволокой, на катушке индуцируется напряжение.Если предусмотрена полная цепь, то также будет индуцироваться ток. Величина наведенного напряжения прямо пропорциональна скорости изменения магнитного поля относительно катушки. И наоборот, ток, протекающий через катушку с проволокой, создает магнитное поле. Когда этот провод сформирован в катушку, он становится основным индуктором.

Основным действием катушки является ее свойство противодействовать любому изменению тока через нее. Это свойство называется индуктивностью. Когда ток течет по любому проводнику, магнитное поле начинает расширяться от центра провода.Когда силовые линии магнитного поля растут наружу через проводник, они вызывают ЭДС в самом проводнике. Индуцированное напряжение всегда имеет направление, противоположное направлению приложенного тока. Эффекты этой противодействующей ЭДС должны противодействовать приложенному току. Этот эффект — временное состояние. Как только ток в проводнике достигает постоянного значения, силовые линии магнитного поля больше не расширяются и противодействующая ЭДС больше не присутствует. Поскольку переменный ток постоянно изменяется по величине, индуктивность повторяется в цикле, всегда противоположном приложенному напряжению.Следует отметить, что единицей измерения индуктивности является генри (H).

Физические факторы, влияющие на индуктивность:

  1. Число витков — удвоение числа витков в катушке создает поле в два раза сильнее, если используется тот же ток. Как правило, индуктивность зависит от числа витков в квадрате.
  2. Площадь поперечного сечения катушки — индуктивность катушки увеличивается непосредственно по мере увеличения площади поперечного сечения сердечника. Удвоение радиуса катушки увеличивает индуктивность в четыре раза.
  3. Длина катушки — удвоение длины катушки при сохранении того же числа витков снижает индуктивность наполовину.
  4. Материал сердечника, вокруг которого сформирована катушка — катушки намотаны либо на магнитных, либо на немагнитных материалах. Некоторые немагнитные материалы включают воздух, медь, пластик и стекло. Магнитные материалы включают никель, железо, сталь и кобальт, проницаемость которых обеспечивает лучший путь для магнитных силовых линий и позволяет создавать более сильное магнитное поле.

Поскольку переменный ток находится в постоянном состоянии изменения, магнитные поля внутри индуктора также непрерывно изменяются и создают наведенное напряжение / ток. Это индуцированное напряжение противостоит приложенному напряжению и известно как противо-ЭДС. Это сопротивление называется индуктивным реактивным сопротивлением, обозначается XL и измеряется в омах. Эта характеристика катушки индуктивности также может создавать фазовый сдвиг между напряжением и током в цепи. Фазовый сдвиг, создаваемый индуктивным сопротивлением, всегда приводит к тому, что напряжение ведет к току.То есть напряжение индуктивной цепи достигает своих пиковых значений до того, как ток достигает пиковых значений.

Индуктивность — это свойство цепи противодействовать любому изменению тока и измеряется в генри. Индуктивное реактивное сопротивление — это мера того, насколько противодействующая ЭДС в цепи противодействует приложенному току. Индуктивное сопротивление компонента прямо пропорционально индуктивности компонента и частоте, приложенной к цепи. При увеличении индуктивности или приложенной частоты индуктивное реактивное сопротивление также увеличивается и представляет собой большее сопротивление току в цепи.Это соотношение задается как XL = 2πfL, где XL = индуктивное реактивное сопротивление в омах, L = индуктивность в генри, f = частота в циклах в секунду и π = 3,1416

Рисунок 9-18. Цепь переменного тока, содержащая индуктивность.

На рисунке 9-18 показана последовательная цепь переменного тока, в которой индуктивность составляет 0,146 Генри, а напряжение составляет 110 вольт при частоте 60 циклов в секунду. Индуктивное реактивное сопротивление определяется следующим методом.

X L = 2π × f × L
X L = 6.28 × 60 × 0,146
X L = 55 Ом

В последовательных цепях переменного тока индуктивное реактивное сопротивление добавляется подобно последовательным сопротивлениям в цепи постоянного тока. [Рис. 9-19] Общее реактивное сопротивление в показанной цепи равно сумме индивидуальных реактивных сопротивлений.

Рисунок 9-19. Последовательные индуктивности.

X L = X L1 + X L2
X L = 10 Ом + 15 Ом
X LT = 25 Ом

Рисунок 9-20. Параллельные индуктивности.

Общее реактивное сопротивление катушек индуктивности, подключенных параллельно, определяется таким же образом, как полное сопротивление в параллельной цепи. [Рисунок 9-20] Таким образом, полное реактивное сопротивление индуктивностей, соединенных параллельно, как показано, выражается как:

Емкостное реактивное сопротивление

Емкость — это способность тела удерживать электрический заряд. Как правило, конденсатор состоит из двух параллельных пластин, разделенных изолятором. Изолятор обычно называют диэлектриком. Пластины конденсатора обладают способностью накапливать электроны при зарядке от источника напряжения. Конденсатор разряжается, когда подаваемое напряжение больше не присутствует, и конденсатор подключается к пути тока.В электрической цепи конденсатор служит резервуаром или хранилищем электроэнергии.

Основной единицей емкости является фарад, обозначаемый буквой F. По определению, один фарад — это один кулон заряда, накопленного с одним вольт на пластинах конденсатора. На практике одна фарада — это большая емкость. Обычно в электронике используются блоки гораздо меньшего размера. Двумя более распространенными меньшими единицами измерения являются микрофарад (мкФ), равный 10 -6 фарад, и пикофарад (пФ), равный 10 -12 фарад.

Емкость является функцией физических свойств конденсатора:

  1. Емкость параллельных пластин прямо пропорциональна их площади. Большая площадь пластины дает большую емкость, а меньшая площадь дает меньшую емкость. Если удвоить площадь пластин, останется место для вдвое большего заряда.
  2. Емкость параллельных пластин обратно пропорциональна расстоянию между пластинами.
  3. Диэлектрический материал влияет на емкость параллельных пластин.Диэлектрическая проницаемость вакуума определяется как 1, а диэлектрическая проницаемость воздуха очень близка к 1. Эти значения используются в качестве эталона, а все другие материалы имеют значения относительно воздуха (вакуума).

При подаче переменного тока в цепь заряд на пластинах постоянно меняется. [Рис. 9-21] Это означает, что электричество должно сначала течь от Y по часовой стрелке к X, затем от X против часовой стрелки к Y, затем от Y по часовой стрелке к X и так далее. Хотя ток не протекает через изолятор между пластинами конденсатора, он постоянно течет в оставшейся части цепи между X и Y.Поскольку этот ток попеременно поступает на конденсатор и обратно, создается определенная задержка во времени. Когда конденсатор заряжается или разряжается через сопротивление, для его полной зарядки или разрядки требуется определенное время. Напряжение на конденсаторе не меняется мгновенно. Скорость зарядки или разрядки определяется постоянной времени цепи. Такая скорость заряда и разряда создает противодействие протеканию тока в цепях переменного тока, известное как емкостное реактивное сопротивление. Емкостное реактивное сопротивление обозначается X C и измеряется в омах.Эта характеристика конденсатора также может создавать фазовый сдвиг между напряжением и током в цепи. Фазовый сдвиг, создаваемый емкостным реактивным сопротивлением, всегда приводит к тому, что ток ведет к напряжению. То есть ток емкостной цепи достигает своих пиковых значений до того, как напряжение достигает пиковых значений.

Рисунок 9-21. Конденсатор в цепи переменного тока.

Емкостное реактивное сопротивление — это мера того, насколько емкостная цепь противодействует приложенному току. Емкостное реактивное сопротивление измеряется в омах.Емкостное реактивное сопротивление цепи косвенно пропорционально емкости цепи и приложенной к цепи частоте. При увеличении емкости или приложенной частоты емкостное реактивное сопротивление уменьшается, и наоборот. Это соотношение задается следующим образом:

Где: X C = емкостное реактивное сопротивление в омах, C = емкость в фарадах, f = частота в циклах в секунду и π = 3,1416.

На рисунке 9-21 показана последовательная цепь, в которой приложенное напряжение составляет 110 вольт при 400 гц, а емкость конденсатора составляет 80 мФ.Найдите емкостное реактивное сопротивление и ток.

Чтобы найти емкостное реактивное сопротивление, следующее уравнение:

Сначала емкость, 80 мкФ, заменяется на фарады путем деления 80 на 1000000, поскольку 1 миллион микрофарад равен 1 фараду. Это частное равно 0,000080 фарада. Это подставляется в уравнение:

Летный механик рекомендует

ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА




Сила тока в розетке на 110 В колеблется от времени.Этот тип
называется переменного тока или переменного тока . Источник
AC обозначается волнистой линией, заключенной в круг (см. Рисунок 34.1). В
Зависимость переменного тока или ЭДС источника переменного тока от времени имеет вид


(34,1)

где [epsilon] max — максимальная амплитуда колеблющейся ЭДС
и [омега] — угловая частота.

Рисунок 34.1. Символ источника переменного тока.


На рисунке 34.2 изображена одноконтурная схема с источником переменной ЭДС и переменного тока.
резистор. Ток через резистор будет функцией времени. В
величина этого тока может быть получена с помощью второго правила Кирхгофа, которое
означает, что


(34. 2)

Рисунок 32.2. Одноконтурная схема резистора переменного тока. Таким образом, ток I равен


(34,3)

Уравнение (34.3) показывает, что ток колеблется синфазно с ЭДС.

Мощность, рассеиваемая в резисторе, зависит от протекающего тока и
напряжение на резисторе и, следовательно, также является функцией времени:


(34,4)

Средняя мощность, рассеиваемая в резисторе за один цикл, равна


(34,5)

На последнем этапе вывода уравнения (34.5) мы использовали соотношение между
период T и угловая частота [омега] (T = 2 пи / омега).Часто,
уравнение (34.5) записано в терминах среднеквадратичного напряжения
[epsilon] rms , который определяется как


(34,6)

В терминах [эпсилон] rms мы можем переписать уравнение (34,5) как


(34,7)

Среднеквадратичное напряжение [эпсилон] действующее значение переменного тока
источник — значение постоянного напряжения, которое рассеивает такую ​​же мощность в
резистор как напряжение переменного тока с максимальным напряжением, равным
[эпсилон] макс. .Бытовое напряжение 115 Вольт — это
среднеквадратичное напряжение; фактическое пиковое напряжение, выходящее из дома
выходное напряжение 163 В.


На рисунке 34.3 показан конденсатор, подключенный к источнику переменной ЭДС. В
заряд на конденсаторе в любой момент можно получить, применив метод Кирхгофа.
Второе правило для схемы, показанной на рисунке 34.3, равно


(34,8)

Ток в цепи можно получить, дифференцируя уравнение.(34,8) с
по времени


(34.9)

Рисунок 34.3. Схема конденсатора переменного тока. Ток в цепи составляет 90 градусов. не в фазе с ЭДС.
Поскольку максимумы тока происходят за четверть цикла до максимумов
ЭДС, мы говорим, что ток опережает ЭДС.

Уравнение (34.9) принято переписывать как


(34.10)

где


(34,11)

называется емкостным реактивным сопротивлением .Обратите внимание, что уравнение (34.10) очень
аналогично уравнению (34. 3), если сопротивление R заменить емкостным
реактивное сопротивление X C . Мощность, передаваемая на конденсатор, равна


(34,12)

Мощность колеблется между положительными и отрицательными крайними значениями и в среднем составляет
равно нулю. Эти колебания соответствуют периодам, в течение которых ЭДС
источник обеспечивает питание аккумулятора (зарядку) и периоды, в течение которых
аккумулятор обеспечивает питание источника ЭДС (разряжается).


На рисунке 34.4 показана схема, состоящая из индуктора и источника
переменная ЭДС. Самоиндуцированная ЭДС на катушке индуктивности равна LdI / dt.
Применяя второе правило Кирхгофа к схеме, показанной на рис. 34.4, получаем
следующее уравнение для dI / dt:


(34.13)

Рисунок 34.4. Цепь индуктивности переменного тока. Ток I можно получить из уравнения (34.13) путем интегрирования
относительно времени и требуя, чтобы величина постоянного тока
компонент равен нулю:


(34. 14)

Сила тока снова 90 градусов. не совпадают по фазе с ЭДС, но на этот раз ЭДС
ведет ток. Уравнение (34.14) можно переписать как


(34,15)

где


(34,16)

называется индуктивным реактивным сопротивлением . Мощность, передаваемая
индуктор равен


(34,17)

а средняя мощность, подаваемая на индуктор, равна нулю.

Пример: Задача 34.10

Рассмотрим схему, показанную на рисунке 34.5. ЭДС имеет вид
[эпсилон] 0 грех ([омега] т). По этой ЭДС и емкости
C и индуктивность L, найти мгновенные токи через конденсатор
и индуктор. Найдите мгновенный ток и мгновенную мощность
поставлено источником ЭДС.

Рисунок 34.5. Проблема 34.10. Схема, показанная на рисунке 34.5 — простой многопетлевой
схема. Токи в этой цепи можно определить с помощью петли
техника. Рассмотрим две токовые петли I 1 и I 2
показано на рисунке 34. 5. Применяя второе правило Кирхгофа к циклу номер 1, мы
получить


(34.18)

Применяя второе правило Кирхгофа к циклу номер 2, получаем


(34,19)

Уравнение (34.18) можно использовать для определения I 1 :


(34.20)

Уравнение (34.19) можно продифференцировать по времени, чтобы получить
Я 2 :


(34.21)

Ток, подаваемый источником ЭДС, равен сумме I 1 и
Я 2


(34.22)

Мощность, отдаваемая источником ЭДС


(34,23)


На рисунке 34.6 показана одноконтурная схема, состоящая из индуктора и
конденсатор.Предположим, что в момент времени t = 0 с конденсатор имеет заряд Q 0
и ток в цепи равен нулю. Ток в цепи
можно найти с помощью второго правила Кирхгофа, которое требует, чтобы


(34.24)

Рисунок 34.6. LC-цепь. Ток I (t) можно получить из Q (t) путем дифференцирования Q
по времени:


(34,25)

Подставляя уравнение (34. 25) в уравнение (34.24), получаем


(34.26)

или


(34,27)

Решение уравнения (34.27):


(34,28)

где [phi] — фазовая постоянная, которую необходимо отрегулировать для соответствия начальному
условия. Ток в цепи можно получить, подставив
уравнение (34.28) в уравнение (34.25):


(34.29)

Начальные условия для схемы, показанной на рисунке 34.6:


(34.30)


(34.31)

Эти граничные условия выполняются, если [phi] = 0. В этом случае заряд
и ток в цепи LC равны


(34,32)

и


(34,33)

Энергия, запасенная на конденсаторе, является функцией времени, поскольку заряд на нем
это функция времени. Запасенная энергия равна


(34.34)

Энергия, запасенная в катушке индуктивности, также зависит от времени, так как ток
через это функция времени. Запасенная энергия равна


(34,35)

Уравнение (34. 34) и уравнение (34.35) показывают, что максимальная энергия сохраняется в
индуктор, когда энергия, запасенная в конденсаторе, равна нулю, и наоборот. В
полную энергию цепи можно получить, суммируя энергию, запасенную в
конденсатор и энергия, запасенная в катушке индуктивности:


(34.36)

Уравнение (34.36) показывает, что энергия, запасенная в цепи, сохраняется.
Это ожидается, поскольку в цепи, в которой
ни один из элементов не имеет сопротивления.

На практике схема, показанная на рисунке 34.6, будет иметь некоторое сопротивление (даже
хорошие проводники будут иметь конечное сопротивление). Реалистичная схема LRC
показано на рисунке 34.7. Применяя второе правило Кирхгофа к схеме, показанной на
Рисунок 34.7 получаем


(34.37)

Поскольку ток I равен dQ / dt, мы можем переписать уравнение (34,37) как


(34.38)

Рисунок 34.7. LRC Circuit. Решение дифференциального уравнения, показанного в уравнении (34. 38)
это


(34,39)

Константу [гамма] можно определить, подставив уравнение (34.39) в
уравнение (34.38):


(34,40)

Это уравнение должно выполняться всегда.Это будет только в том случае, если
члены в скобках равны нулю:


(34,41)


(34,42)

Константа [гамма] определяется уравнением (34.42)


(34,43)

Угловая частота [омега] может быть получена из уравнения (34.41) путем замены
уравнение (34,43) для [гамма]


(34,44)

Уравнение (34.39) показывает, что наличие резистора в цепи будет
производят затухающее гармоническое движение.Константа демпфирования [гамма] пропорциональна
сопротивлению R (см. уравнение (34.43)). Изменение энергии системы
можно изучить, посмотрев на максимальный заряд конденсатора. В момент времени t =
0 с конденсатор полностью заряжен зарядом равным Q 0 и
запасенная в конденсаторе энергия равна


(34,45)

После одного цикла (t = 2 [пи] / [омега]) максимальный заряд конденсатора
уменьшилось. Это означает, что энергия, запасенная на конденсаторе, также
уменьшено


(34.46)

Таким образом, относительное изменение электрической энергии системы равно
на номер


(34,47)

Потери электроэнергии в цепи LRC обычно выражаются через
качество Q-value »


(34,48)

Высокая добротность указывает на низкое сопротивление и, следовательно, на малую
относительные потери энергии за цикл.

Рисунок 34.8. Управляемая схема LCR. В результате демпфирования в цепи LRC амплитуда
колебания будут постепенно уменьшаться.Чтобы выдержать колебание
в цепи LRC необходимо подавать энергию, например, путем подключения
колебательный источник ЭДС в цепь. Рассмотрим схему, показанную на рисунке
34.8 состоящий из переменного источника ЭДС, резистора R, конденсатора С,
и индуктор L. Предположим, что ЭДС имеет угловую частоту [омега] и
максимальная амплитуда [эпсилон] макс :


(34,49)

Применение второго правила Кирхгофа к схеме, показанной на рисунке 34. 8 производит
следующее соотношение


(34,50)

В установившихся условиях ток в цепи будет колебаться с
та же угловая частота [омега], что и у источника ЭДС, но не обязательно в
фаза. Таким образом, наиболее общее решение для тока —

.

(34,51)

где [phi] называется фазовым углом между током и эдс. В
максимальный ток I max и фазовый угол [фи] можно определить по формуле
подставив ур.(34.51) в уравнении (34.50):


(34,52)

Уравнение (34.52) можно переписать с использованием тригонометрических тождеств как


(34,53)

Это уравнение может быть выполнено, только если выражения в скобках имеют вид
равно нулю. Для этого требуется


(34,54)

и


(34,55)

Уравнение (34.55) можно использовать для определения фазового угла:


(34.56)

Уравнение (34.54) можно использовать для определения максимального тока:


(34,57)

Подставляя уравнение (34,56) в уравнение (34,57), получаем для максимального тока


(34,58)

Количество


(34,59)

называется импедансом цепи LCR.

Уравнение (34.58) показывает, что максимальная амплитуда достигается, когда


(34.60)

Максимальная амплитуда тока


(34,61)

Система достигает максимальной амплитуды, когда частота возбуждения [omega]
приложенной ЭДС равна


(34,62)

Эта частота является собственной частотой LC-цепи, о которой говорилось ранее.
Когда система работает на собственной частоте, говорят, что она
резонанс.


Сокращение, которое можно использовать для определения амплитуды и фазы тока.
в цепи переменного тока — это векторная диаграмма.На векторной диаграмме амплитуда
синусоидальная функция представлена ​​отрезком прямой, длина которого равна ее
амплитуда. Фаза представлена ​​углом между отрезком линии и
горизонтальная ось. Сумма падений напряжения на компонентах
Тогда схема эквивалентна векторной сумме векторов. Чтобы проиллюстрировать
с помощью векторных диаграмм определяем амплитуду и фазу цепи LCR
только что обсуждалось. Приложенная ЭДС и индуцированный ток определяются следующими
уравнения:


(34.63)

Напряжения на резисторе, конденсаторе и катушке индуктивности равны

.

(34,64)

Три вектора, соответствующие этим трем напряжениям, показаны на векторном изображении.
диаграмма на рисунке 34.9. Падение напряжения на резисторе такое же
фаза как ток. Также указана векторная сумма этих трех векторов.
и должна быть равна приложенной ЭДС. Амплитуда векторной суммы
три вектора должны быть равны амплитуде приложенной ЭДС.Таким образом


(34,65)

Фаза векторной суммы векторов на рисунке 34.9 равна [omega] t,
и угол между током (и вектором, представляющим падение напряжения
через резистор), а векторная сумма векторов равна фазе
угол [фи]. Из рисунка 34.9 видно, что


(34.66)

Рисунок 34.9. Схема фазора для цепи LCR.

Пример: проблема 34.26

Рассмотрим схему, показанную на рисунке 34. 10. Колебательный источник
ЭДС создает синусоидальную ЭДС амплитудой 0,80 В и частотой 400 Гц. В
индуктивность составляет 5,0 x 10 -2 Гн, а емкости — 8,0 x
10 -7 F и 16,0 x 10 -7 F. Найдите максимальное мгновенное значение
ток в каждом конденсаторе.

Рассмотрим сначала два конденсатора. ЭДС на каждом конденсаторе должна
всегда быть таким же.Это означает, что


(34.67)

Рисунок 34.10. Проблема 34.26. Перезапись уравнения (34.67) в терминах текущего I 1
через конденсатор C 1 и ток I 2 через конденсатор
C 2 получаем


(34,68)

или


(34,69)

Уравнение (34.69) всегда может быть истинным, только если подынтегральное выражение равно
нуль.Для этого требуется


(34,70)

Для определения максимального тока в цепи воспользуемся вектором
техника только что обсуждалась. Рассмотрим векторную диаграмму, показанную на рисунке 34. 11.
Вектор, помеченный буквой I, показывает ток в цепи. Напряжения на
индуктор и конденсатор сдвинуты по фазе на 90 градусов с током и
обозначены на рисунке 34.11 векторами V L и
В С .Суммарное падение напряжения на элементах схемы (векторная сумма
V L и V C ) также на 90 градусов не совпадают по фазе с
Текущий. Поскольку полное падение напряжения на элементах схемы должно быть
равной приложенной ЭДС, заключаем, что фазовый угол между токами
а ЭДС составляет +/- 90 градусов. Знак зависит от значений индуктивности,
емкость и угловая частота ЭДС.

Рисунок 34.11. Фазорная диаграмма задачи 34.26. Величина векторной суммы напряжений на
индуктор и конденсатор должны быть равны по величине ЭДС. Таким образом,


(34,71)

Уравнение (34.71) можно использовать для определения максимального тока в цепи:


(34,72)

Емкость C, используемая в уравнении (34.72), является чистой емкостью параллельного
сеть, состоящая из конденсатора C 1 и конденсатора C 2 (C =
C 1 + C 2 ). Сумма токов, протекающих через
конденсаторов равен максимальному току в уравнении (34,73). Чтобы определить
ток через конденсатор C1 и конденсатор C2, мы можем объединить уравнение (34.72) и
уравнение (34,70). Таким образом получаем


(34,73)

и


(34,74)

Пример: задача 34.32

RC-цепь состоит из резистора с R = 0,80 [Омега] и
конденсатор с C = 1.5 x 10 -4 F, соединенных последовательно с
колебательный источник ЭДС. Источник генерирует синусоидальную ЭДС с
e max = 0,40 В и угловая частота равна 9 x 10 3
рад / с. Найдите максимальный ток в цепи. Найдите фазовый угол
тока и нарисуйте векторную диаграмму с правильными длинами и углами для
фазоры. Найдите среднее значение рассеиваемой мощности на резисторе.

Приложенная ЭДС и падение потенциала на элементах схемы в RC
схемы перечислены в ур.(34,75).


(34.75a)


(34,75b)


(34. 75c)

Векторы, представляющие падение напряжения на резисторе и на
конденсатора показаны на рисунке 34.12. Векторная сумма этих векторов также равна
указано. Величина векторной суммы векторов должна быть равна
величина приложенной ЭДС. Таким образом


(34,76)

Таким образом, максимальный ток равен


(34.77)

Рисунок 34.12. Фазорная диаграмма задачи 34.32. Фазовый угол [фи] можно легко вычислить (см. Рис.
34.12). Определяется


(34,78)


Трансформатор состоит из двух катушек, намотанных на железный сердечник (см. Рисунок
34,13). Железный сердечник увеличивает силу магнитного поля в своем
интерьер большой долей (до 5000) и, как следствие, силовые линии
должен сосредоточиться в утюге.Одна из катушек, первичная катушка, подключена
к источнику переменной ЭДС.

ЭДС, индуцированная в первичной обмотке, связана со скоростью изменения
магнитный поток (закон индукции Фарадея):


(34,79)

Применяя второе правило Кирхгофа к первичному контуру, заключаем, что
наведенная ЭДС в катушке должна быть равна приложенной ЭДС. Таким образом


(34.80)

Рисунок 34.13. Трансформатор. Все силовые линии, проходящие через обмотку катушки 1, также будут
проходят через обмотку катушки 2. Поток через каждую обмотку первичной
катушка, следовательно, равна потоку через каждую обмотку вторичной катушки.
Если первичная обмотка имеет N 1 обмоток , а вторичная обмотка имеет
N 2 обмоток, то общий поток через две катушки соотносится


(34,81)

или


(34.82)

Изменение магнитного потока первичной обмотки будет связано с тем же
способ изменения потока во вторичной обмотке:


(34,83)

ЭДС, индуцированная во вторичной катушке, может быть получена с помощью закона Фарадея.
и может быть выражена через ЭДС в первичной цепи:


(34,84)

Эта ЭДС доступна для различных нагрузок во вторичной цепи.

Если вторичная цепь разомкнута, ток в ней не будет течь, а первичная
схема — это не что иное, как одноконтурная схема с переменным источником
ЭДС и индуктора.Средняя мощность, рассеиваемая ЭДС в таком
цепь равна нулю, и, следовательно, трансформатор не потребляет электрическую
мощность.

Если вторичная цепь подключена к нагрузке, будет течь ток. Этот
индуцированный ток изменит магнитный поток в трансформаторе и вызовет
ток в первичной обмотке. Если это произойдет, первичный контур будет потреблять
мощность. В идеальном конденсаторе мощность, отдаваемая источником ЭДС в
первичная цепь равна мощности, которую вторичная цепь поставляет своему
нагрузка.Таким образом


(34,85)


Отправляйте комментарии, вопросы и / или предложения по электронной почте на адрес [email protected] и / или посетите домашнюю страницу Фрэнка Вольфса.

Страница не найдена | MIT

Перейти к содержанию ↓

  • Образование
  • Исследование
  • Инновации
  • Прием + помощь
  • Студенческая жизнь
  • Новости
  • Выпускников
  • О MIT
  • Подробнее ↓

    • Прием + помощь
    • Студенческая жизнь
    • Новости
    • Выпускников
    • О MIT

Меню ↓

Поиск

Меню

Ой, похоже, мы не смогли найти то, что вы искали!
Попробуйте поискать что-нибудь еще!

Что вы ищете?

Увидеть больше результатов

Предложения или отзывы?

Мощность в цепи переменного тока — Университетская физика, том 2

Цели обучения

К концу раздела вы сможете:

  • Опишите, как можно записать среднюю мощность от цепи переменного тока в терминах пикового тока и напряжения, а также среднеквадратичных значений тока и напряжения
  • Определите соотношение между фазовым углом тока и напряжения и средней мощностью, известное как коэффициент мощности

Элемент схемы рассеивает или вырабатывает мощность в соответствии с где I — ток через элемент, а В — напряжение на нем.Поскольку в цепи переменного тока и ток, и напряжение зависят от времени, мгновенная мощность также зависит от времени. График p ( t ) для различных элементов схемы показан на (Рисунок). Для резистора i ( t ) и v ( t ) синфазны и поэтому всегда имеют один и тот же знак (см. (Рисунок)). Для конденсатора или катушки индуктивности относительные знаки i ( t ) и v ( t ) меняются в течение цикла из-за разницы фаз (см. (Рисунок) и (Рисунок)).Следовательно, p ( t ) в некоторые моменты является положительным, а в другие — отрицательным, что указывает на то, что емкостные и индуктивные элементы вырабатывают энергию в одни моменты и поглощают ее в другие.

Поскольку мгновенная мощность изменяется как по величине, так и по знаку в течение цикла, она редко имеет какое-либо практическое значение. Что нас почти всегда интересует, так это усредненная по времени мощность, которую мы называем средней мощностью. Он определяется средним по времени мгновенной мощностью за один цикл:

где — период колебаний.С заменами и этот интеграл становится

Используя тригонометрическое соотношение, получаем

Вычисление этих двух интегралов дает

и

Следовательно, средняя мощность, связанная с элементом схемы, равна

.

В инженерных приложениях известен как коэффициент мощности, который представляет собой величину, на которую мощность, передаваемая в цепи, меньше теоретического максимума цепи из-за того, что напряжение и ток не совпадают по фазе.Для резистора, поэтому средняя рассеиваемая мощность составляет

Сравнение p ( t ) и показано на (Рисунок) (d). Чтобы он выглядел как его аналог постоянного тока, мы используем среднеквадратичные значения тока и напряжения. По определению это

где

С получаем

Затем мы можем написать для средней мощности, рассеиваемой резистором,

Это уравнение дополнительно подчеркивает, почему при обсуждении выбирается среднеквадратичное значение, а не пиковые значения.Оба уравнения для средней мощности верны для (рисунок), но среднеквадратичные значения в формуле дают более четкое представление, поэтому дополнительный коэффициент 1/2 не требуется.

Переменные напряжения и токи обычно описываются их действующими значениями. Например, напряжение 110 В от бытовой розетки является среднеквадратичным значением. Амплитуда этого источника равна. Поскольку большинство измерителей переменного тока откалиброваны по среднеквадратичным значениям, типичный вольтметр переменного тока, установленный в бытовой розетке, будет показывать 110 В.

Для конденсатора и катушки индуктивности соответственно. Поскольку мы находим из (Рисунок), что средняя мощность, рассеиваемая любым из этих элементов, равна Конденсаторам, а катушки индуктивности поглощают энергию из цепи в течение одного полупериода, а затем разряжают ее обратно в цепь в течение другого полупериода. Это поведение проиллюстрировано на графиках (Рисунок), (b) и (c), которые показывают, что p ( t) колеблются синусоидально около нуля.

Фазовый угол генератора переменного тока может иметь любое значение.Если генератор производит мощность; если он поглощает энергию. В терминах среднеквадратичных значений средняя мощность генератора переменного тока записывается как

.

Для генератора в цепи RLC ,

и

Отсюда средняя мощность генератора

Это также можно записать как

, который означает, что мощность, производимая генератором, рассеивается в резисторе. Как мы видим, закон Ома для среднеквадратичного значения переменного тока находится делением среднеквадратичного напряжения на импеданс.

Проверьте свое понимание Вольтметр переменного тока, подключенный к клеммам генератора переменного тока 45 Гц, показывает 7,07 В. Напишите выражение для ЭДС генератора.

Проверьте свое понимание Покажите, что действующие значения напряжения на резисторе, конденсаторе и катушке индуктивности в цепи переменного тока, где среднеквадратичный ток выражается соответственно. Определите эти значения для компонентов цепи RLC (рисунок).

Сводка

  • Средняя мощность переменного тока определяется путем умножения действующего значения тока и напряжения.
  • Закон Ома для среднеквадратичного значения переменного тока находится делением среднеквадратичного напряжения на полное сопротивление.
  • В цепи переменного тока существует фазовый угол между напряжением источника и током, который можно найти, разделив сопротивление на импеданс.
  • Средняя мощность, подаваемая в цепь RLC , зависит от фазового угла.
  • Коэффициент мощности находится в диапазоне от –1 до 1.

Концептуальные вопросы

При каком значении фазового угла между выходным напряжением источника переменного тока и током средняя выходная мощность источника является максимальной?

Обсудите разницу между средней мощностью и мгновенной мощностью.

Мгновенная мощность — это мощность в данный момент. Средняя мощность — это мощность, усредненная за цикл или количество циклов.

Средний переменный ток, подаваемый в цепь, равен нулю.Несмотря на это, мощность в цепи рассеивается. Объяснять.

Может ли мгновенная выходная мощность источника переменного тока быть отрицательной? Может ли средняя выходная мощность быть отрицательной?

Мгновенная мощность может быть отрицательной, но выходная мощность не может быть отрицательной.

Номинальная мощность резистора, используемого в цепях переменного тока, относится к максимальной средней мощности, рассеиваемой в резисторе. Как это соотносится с максимальной мгновенной мощностью, рассеиваемой на резисторе?

Глоссарий

средняя мощность
среднее по времени мгновенной мощности за один цикл
коэффициент мощности
величина, на которую мощность, передаваемая в цепи, меньше теоретического максимума цепи из-за того, что напряжение и ток не совпадают по фазе

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *