Cos что такое: Синус, косинус и тангенс ?

Содержание

Синус, косинус и тангенс ?

Изучение тригонометрии мы начнем с прямоугольного треугольника. Определим, что такое синус и косинус, а также тангенс и котангенс острого угла. Это основы тригонометрии.

Напомним, что прямой угол — это угол, равный 90 градусов. Другими словами, половина развернутого угла.

Острый угол — меньший 90 градусов.

Тупой угол — больший 90 градусов. Применительно к такому углу «тупой» — не оскорбление, а математический термин 🙂

Нарисуем прямоугольный треугольник. Прямой угол обычно обозначается . Обратим внимание, что сторона, лежащая напротив угла, обозначается той же буквой, только маленькой. Так, сторона, лежащая напротив угла A, обозначается .

Угол обозначается соответствующей греческой буквой .

Гипотенуза прямоугольного треугольника — это сторона, лежащая напротив прямого угла.

Катеты — стороны, лежащие напротив острых углов.

Катет , лежащий напротив угла , называется противолежащим (по отношению к углу ). Другой катет , который лежит на одной из сторон угла , называется прилежащим.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе:

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:

Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):

Обратите внимание на основные соотношения для синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые приведены ниже. Они пригодятся нам при решении задач.

Давайте докажем некоторые из них.

  1. Сумма углов любого треугольника равна . Значит, сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равнa .
  2. С одной стороны, как отношение противолежащего катета к гипотенузе. С другой стороны, , поскольку для угла  катет а будет прилежащим.Получаем, что . Иными словами, .
  3. Возьмем теорему Пифагора: . Поделим обе части на : Мы получили основное тригонометрическое тождество.
  4. Поделив обе части основного тригонометрического тождества на , получим: Это значит, что если нам дан тангенс острого угла , то мы сразу можем найти его косинус. Аналогично,

Хорошо, мы дали определения и записали формулы. А для чего все-таки нужны синус, косинус, тангенс и котангенс?

Мы знаем, что сумма углов любого треугольника равна .

Знаем соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Это теорема Пифагора: .

Получается, что зная два угла в треугольнике, можно найти третий. Зная две стороны в прямоугольном треугольнике, можно найти третью. Значит, для углов — свое соотношение, для сторон — свое. А что делать, если в прямоугольном треугольнике известен один угол (кроме прямого) и одна сторона, а найти надо другие стороны?

С этим и столкнулись люди в прошлом, составляя карты местности и звездного неба. Ведь не всегда можно непосредственно измерить все стороны треугольника.

Синус, косинус и тангенс — их еще называют тригонометрическими функциями угла — дают соотношения между сторонами и углами треугольника. Зная угол, можно найти все его тригонометрические функции по специальным таблицам. А зная синусы, косинусы и тангенсы углов треугольника и одну из его сторон, можно найти остальные.

Мы тоже нарисуем таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для «хороших» углов от  до .

Обратите внимание на два красных прочерка в таблице. При соответствующих значениях углов тангенс и котангенс не существуют.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Разберем несколько задач по тригонометрии из Банка заданий ФИПИ.

1. В треугольнике угол  равен , . Найдите .

Задача решается за четыре секунды.

Поскольку , .

2. В треугольнике угол  равен , , . Найдите .

Имеем:

Отсюда

Найдем  по теореме Пифагора.

Задача решена.

Часто в задачах встречаются треугольники с углами  и  или с углами  и . Основные соотношения для них запоминайте наизусть!

Для треугольника с углами  и  катет, лежащий напротив угла в , равен половине гипотенузы.

Треугольник с углами  и  — равнобедренный. В нем гипотенуза в раз больше катета.

Мы рассмотрели задачи на решение прямоугольных треугольников — то есть на нахождение неизвестных сторон или углов. Но это не всё! В вариантах ЕГЭ по математике множество задач, где фигурирует синус, косинус, тангенс или котангенс внешнего угла треугольника. Об этом — в следующей статье.

Sin Cos Tan: Введение в тригонометрию


На колесе есть две точки, где вы будете находиться на нужной высоте (две красные точки на рисунке). Следовательно, существует два нужных нам угла α
1 и α2. Обратите внимание на два прямоугольных треугольника, выделенных зелёным цветом. Они одинаковые, так как являются зеркальным отображением друг друга. Давайте так же зеркально отобразим правый треугольник, но уже «вверх». Этот треугольник, выделенный красным цветом, имеет гипотенузу равную 1 (радиус колеса) и противолежащий катет (высота над центром) равный 1/2. В силу того, что все три треугольника одинаковые, они имеют одинаковые острые углы. Давайте найдём острый угол красного треугольника, при котором его синус равен 1/2. Поступим также, как древние астрономы, и заглянем в таблицу значений синуса для различных углов. Итак, sin α = 1/2 при = 30°. Интуитивно понятно, что наши три угла и значения их синусов связаны. Но как?


Полный круг составляет 360°. Разделим его на четыре четверти по 90° и пронумеруем их. Первая точка находится в третьей четверти. Так как две четверти в общем дают 180°, а угол α = 30°, то искомый угол α
1 = 210°. Нашли первый угол. Вторая точка находится в четвертой четверти. Три четверти в общем дают 270°, но прибавлением 30° тут не отделаешся, так как нужно прибавить угол β, а не угол α. Так как угол α + β= 90°, то угол β = 90°− 30°=60°. И второй искомый угол равен 270°+ 60°=330°. Остался один маленький ньюанс. Помните, как мы говорили о том, что тригонометрические функции описывают повторяющиеся процессы? Если наше колесо не остановится после того, как совершит полный оборот в 360°, то с каждым новым оборотом вы будет проходить через две точки, находящиеся на уровне –1/2. Эти точки определяются простым прибавлением 360° к найденным нами углам.


При этом n – любое целое число, то есть, на нашем примере это количество оборотов колеса. Стоит заметить, что число n может быть и отрицательным, если колесо крутится в обратную сторону.


Равенстно sin α=−1/2 мы решили. Перейдем к неравенству
sin α ≥ −1/2. Если для решения равенства мы нашли значения углов, при которых наша высота над центром колеса равна −1/2, то для решения неравенства нам нужно найти все углы, при которых наша высота больше либо равна −1/2. Помните мы говорили о том, что угол может быть отрицательным? Сейчас нам это пригодится. Определим угол α2 не как 330°, а как −30° (330°−360°) На рисунке эта область выделена зелёным цветом. 


Для того, чтобы правильно записать решение неравенства, обратите внимание на рисунок синусоиды и прямой y=−1/2(высота). Нас интересуют области синусоиды, которые выше прямой y=−1/2. На рисунке они заштрихованы красным цветом. Обратите внимание на точки, которые выделяют эти отрезки. Это те же точки, которые мы получили при решении равенства sin α=−1/2 и они повторяются каждые 360°. Ответ можно записать так:


Дело осталось за малым. Во-первых, вспомнить, что математики обозначают 180° как π, когда записывают формулы с углами, и переписать решение так:


Во-вторых, произвести обратную замену α на 3x − π/4.


Путём нехитрых алгебраических преобразований, а именно прибавления π/4 и деления на 3 ко всем частям неравенства, получаем:


Ответ:

Миссия выполнена!

каковы перспективы долгожданного бренда в России

В России открывается первый магазин бренда одежды COS. Официально
подтверждено, что запуск состоится во втором полугодии 2018 года в Москве.
COS расшифровывается как Collection of Style. Сейчас магазины бренда
представлены в Европе, Азии, США и на Ближнем Востоке. Марка принадлежит
H&M Group. FashionUnited узнал у Анны Лебсак-Клейманс, гендиректора Fashion
Consulting Group, почему COS так долго не приходил в Россию, что это за
бренд и насколько он может быть востребован в России.

Каковы перспективы бренда COS на российском рынке, насколько он будет
здесь востребован? Сколько составляет средний чек в COS?

Средний чек COS в Европе составляет порядка 100-150 евро. С ценой на
классические женские брюки 69-115 EUR (данные с официального сайта COS),
бренд выходит в России в высококонкурентное поле сегментов
«Средний/Средний+» (Massimo Dutti, Uterque, BeBe, CK Jeans).

Позицию бренда будет укреплять то, что это один из 9 брендов, которые
составляют сильную H&M Group. У группы H&M есть успешный многолетний опыт
запуска и развития розничного бизнеса в России, компания освоила специфику
спроса, особенности управления, условия для эффективности маркетинговых
мероприятий в Москве и других регионах России, отработала стратегии
регионального развития.

Безусловно, COS будет помогать высокая осведомленность о бренде среди
локальных любителей моды и лаконичного минималистского стиля. Многие
российские покупательницы покупали COS в магазинах за рубежом и через
интернет. Можно говорить, что бренд здесь ожидаем.

Почему же бренд так долго присматривался к России? И почему решил
выходить на наш рынок сейчас? Говорят, что это знаковый момент.

Стратегическая задача любой компании – это расширение охвата аудитории
и увеличение своей доли на рынке. Именно поэтому все гиганты fashion-индустрии
имеют в своем портфеле бренды, рассчитанные на разные ценовые сегменты.

Такой временной разрыв между входом на российский рынок локомотивного
бренда группы и COS объясняется прежде всего тем, что компания предпочитает
действовать наверняка и решать задачи последовательно, системно, а «не
наскоком».

Во-первых, сегмент COS гораздо уже и меньше в сравнении с более
массовым сегментом, на который ориентирован H&M. COS имеет выраженную
стилистическую позицию, которая рассчитана на тех покупателей,
которым нравится сдержанность и лаконичность Северной Европы. Кроме того,
этот бренд более дорогой, и нестабильная экономическая ситуация, в
результате которой произошла стагнация спроса на российском рынке, также не
способствовала тому, чтобы спешить на российский рынок. Не помогало и то,
что для флагманского магазина COS долго искали помещение, которое бы
полностью соответствовало требованиям бренда по локации и размерам.

Каково сейчас отношение иностранных брендов к российскому рынку в
целом?

Несмотря на 4-летний период экономической стагнации, международные
модные бренды продолжают рассматривать Россию как перспективный рынок для
своего развития. В 2017 году на российском рынке открыли свои первые
магазины 22 fashion-бренда, в 2016-м — 15 брендов. Более 50 проц новых
брендов – европейские. По данным Knight Frank, в I квартале 2018 г. на
российский̆ рынок вышло ещё 8 международных розничных операторов,
Большинство дебютантов – бренды европейских стран, соответствующие ценовому
сегменту «средний» и «выше среднего».

Фото: COS

Функция COS — Служба поддержки Office

В этой статье описаны синтаксис формулы и использование функции COS в Microsoft Excel.

Описание

Возвращает косинус заданного угла.

Синтаксис

COS(число)

Аргументы функции COS описаны ниже.

Замечания

Если угол задан в градусах, умножьте его на ПИ()/180 или воспользуйтесь функцией РАДИАНЫ, чтобы преобразовать его в радианы.

Пример

Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.





Формула


Описание


Результат

=COS(1,047)

Косинус 1,047 радиан

0,5001711

=COS(60*ПИ()/180)

Косинус 60 градусов

0,5

=COS(РАДИАНЫ(60))

Косинус 60 градусов

0,5

cos — Викисловарь

См. также coś.

Содержание

  • 1 Международное обозначение
    • 1.1 Семантические свойства
      • 1.1.1 Значение
    • 1.2 Смотреть также
  • 2 Ирландский
    • 2.1 Морфологические и синтаксические свойства
    • 2.2 Произношение
    • 2.3 Семантические свойства
      • 2.3.1 Значение
      • 2.3.2 Синонимы
      • 2.3.3 Антонимы
      • 2.3.4 Гиперонимы
      • 2.3.5 Гипонимы
    • 2.4 Родственные слова
    • 2.5 Этимология
    • 2.6 Фразеологизмы и устойчивые сочетания
    • 2.7 Библиография
  • 3 Каталанский
    • 3.1 Морфологические и синтаксические свойства
    • 3.2 Произношение
    • 3.3 Семантические свойства
      • 3.3.1 Значение
      • 3.3.2 Синонимы
      • 3.3.3 Антонимы
      • 3.3.4 Гиперонимы
      • 3.3.5 Гипонимы
    • 3.4 Родственные слова
    • 3.5 Этимология
    • 3.6 Фразеологизмы и устойчивые сочетания
    • 3. 7 Библиография

Семантические свойства[править]

Значение[править]
  1. матем. косинус, тригонометрическая функция, безразмерная ◆ cos α

Смотреть также[править]

  • sin, tg, tan, ctg
  • arcsin, arccos, arctg, arcctg
  • sec, csc
Для улучшения этой статьи желательно:

  • Добавить секцию «Морфологические и синтаксические свойства»
  • Добавить секцию «Произношение»
  • Добавить необходимые разделы в «Семантические свойства» (Синонимы, Антонимы, Гиперонимы, Гипонимы)
  • Добавить секцию «Этимология»

Морфологические и синтаксические свойства[править]

cos

Существительное.

Корень: .

Произношение[править]

Семантические свойства[править]

Значение[править]
  1. Это слово или выражение пока не переведено. Вы можете предложить свой вариант перевода. ◆ Отсутствует пример употребления (см. рекомендации).
Синонимы[править]
Антонимы[править]
Гиперонимы[править]
Гипонимы[править]

Родственные слова[править]

Ближайшее родство

Этимология[править]

Происходит от ??

Фразеологизмы и устойчивые сочетания[править]

Библиография[править]

Для улучшения этой статьи желательно:

  • Добавить описание морфемного состава с помощью {{морфо}}
  • Добавить транскрипцию в секцию «Произношение» с помощью {{transcriptions}}
  • Добавить значение-перевод в секцию «Семантические свойства»
  • Добавить синонимы в секцию «Семантические свойства»
  • Добавить гиперонимы в секцию «Семантические свойства»
  • Добавить сведения об этимологии в секцию «Этимология»

Морфологические и синтаксические свойства[править]

cos

Существительное.

Корень: .

Произношение[править]

Семантические свойства[править]

Значение[править]
  1. Это слово или выражение пока не переведено. Вы можете предложить свой вариант перевода. ◆ Отсутствует пример употребления (см. рекомендации).
Синонимы[править]
Антонимы[править]
Гиперонимы[править]
Гипонимы[править]

Родственные слова[править]

Ближайшее родство

Этимология[править]

Происходит от ??

Фразеологизмы и устойчивые сочетания[править]

Библиография[править]

Для улучшения этой статьи желательно:

  • Добавить описание морфемного состава с помощью {{морфо}}
  • Добавить транскрипцию в секцию «Произношение» с помощью {{transcriptions}}
  • Добавить значение-перевод в секцию «Семантические свойства»
  • Добавить синонимы в секцию «Семантические свойства»
  • Добавить гиперонимы в секцию «Семантические свойства»
  • Добавить сведения об этимологии в секцию «Этимология»

Синус, косинус и тангенс угла 30 градусов (sin cos tg 30)



Для полученного прямоугольного треугольника вычислим значения тригонометрических функций его углов. Сделаем это сначала для угла 30 градусов.


Величина гипотенузы нам известна и равна a. Катет OB равен a/2 , так как AO — медиана треугольника ABC. Найдем катет AO.


По теореме Пифагора:


АВ2=АО2+ОВ2;


АО2=АВ2-ОВ2


подставим в полученное выражение значение гипотенузы (мы приняли, что оно равно а)


АО2=a2— (а/2)2


АО2=3a2/4  


AO=√( 3a2/4 ) =a√3/2


Теперь мы вычислили все стороны прямоугольного треугольника ABO. Учитывая, что AB = a, OB = a/2, AO = a√3/2, из соотношений сторон прямоугольного треугольника рассчитаем полученные значения. Согласно определению синуса, косинуса и тангенса:


sin 30 = OB / AB (по определению синуса — отношение противолежащего катета к гипотенузе)


cos 30 = AO / AB (по определению косинуса — отношение прилежащего катета к гипотенузе)


tg 30 = OB / AO (по определению тангенса — отношение противолежащего катета к прилежащему)


Откуда:


Так как треугольник ABC — равносторонний, то BO равно AB/2, а значение AO вычислено выше. В результате получаем табличные значения sin 30, cos 30 и tg 30 градусов


Для отриманого прямокутного трикутника обчислимо значення тригонометричних функцій його кутів. Зробимо це спочатку для кута 30 градусів.


Величина гіпотенузи нам відома і рівна а. Катет OB рівний a/2, оскільки АO — медіана трикутника ABC. Знайдемо катет АТ.


По теоремі Піфагора:


АВ2=АО2+ОВ2;


АО2=АВ2-ОВ2


пiдставимо в одержане рiвняння значення гiпотенузи (намi прийнято, що воно равно а)


АО2=a2— (а/2)2


АО2=3a2/4  


AO=√( 3a2/4 ) =a√3/2


Тепер ми обчислили всі сторони прямокутного трикутника ABO. Враховуючи, що AB = a, OB = a/2, AO = a√3/2, iз спiввiдношень сторiн прямокутного трикутника розрахуємо одержанi значення. Згiдно визначенню сiнуса, косiнуса та тангенса:


sin 30 = OB / AB (за визначенням синуса — відношення катета, що протилежить, до гіпотенузи)


cos 30 = AO / AB (за визначенням косинуса — відношення прилеглого катета до гіпотенузи)


tg 30 = OB / AO (за визначенням тангенса — відношення катета, що протилежить, до прилеглого)


Звiдки маємо:


Враховуючи, що трикутник ABC — рiвнобiчний, то BO равно AB/2, а значення AO розраховано вище. В результатi одержуємо табличнi значення sin 30, cos 30 и tg 30 градусiв

Внеклассный урок — Синус, косинус, тангенс, котангенс

Синус, косинус, тангенс, котангенс

Прежде чем перейти к этому разделу, напомним определения синуса и косинуса, изложенные в учебнике геометрии 7-9 классов.

— Синус острого угла t прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к гипотенузе (рис.1):

sin t = b/c.

— Косинус острого угла t прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к гипотенузе (рис.1):

cos t = a/c.

Эти определения относятся к прямоугольному треугольнику и являются частными случаями тех определений, которые представлены в данном разделе.

Поместим тот же прямоугольный треугольник в числовую окружность (рис.2).

 

Мы видим, что катет b равен определенной величине y на оси Y (оси ординат), катет а равен определенной величине x на оси X (оси абсцисс). А гипотенуза с равна радиусу окружности (R).

Таким образом, наши формулы обретают иной вид.

Так как b = y, a = x, c = R, то:

              y                    x
sin t = —— , cos t = ——.
             R                    R

Кстати, тогда иной вид обретают, естественно, и формулы тангенса и котангенса.

Так как tg t = b/a,  ctg t = a/b, то, верны и другие уравнения:

tg t = y/x,

ctg = x/y.

Но вернемся к синусу и косинусу. Мы имеем дело с числовой окружностью, в которой радиус равен 1. Значит, получается:

              y
sin t = —— = y,
              1

               x
cos t = —— = x.
               1

Так мы приходим к третьему, более простому виду тригонометрических формул.

Эти формулы применимы не только к острому, но и к любому другому углу (тупому или развернутому).

 

Определения и формулы cos t, sin t, tg t, ctg t.

Косинусом числа t числовой окружности называют абсциссу этого числа: 

cos t = x

Синус числа t – это его ордината:

sin t = y

Тангенс числа t – это отношение синуса к косинусу:

                                                                                     sin t                    π
                                                                        
tg t = ———,  где t  ≠  —  +  πk
                                                                                     
cos t                    2

Котангенс числа t – это отношение косинуса к синусу:

                                                                                      cos t
                                                                         ctg t = ———, 
где t  ≠  πk
             
                                                                        sin t

 

Из формул тангенса и котангенса следует еще одна формула:

                                                                               sin t        cos t                          πk
                                                         
tg t · ctg t = ——— · ——— = 1, при t ≠ ——
                                                                               
cos t        sin t                           2

 

Уравнения числовой окружности.

Из предыдущего раздела мы знаем одно уравнение числовой окружности:

x2 + y2 = 1

Но поскольку x = cos t, а y = sin t, то получается новое уравнение:

cos2 t + sin2 t = 1

 

Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса в четвертях окружности:

 

1-я четверть

2-я четверть

3-я четверть

4-я четверть

cos t

+

+

sin t

+

+

tg t, ctg t

+

+

 

Косинус и синус основных точек числовой окружности:

 

Как запомнить значения косинусов и синусов основных точек числовой окружности.

Прежде всего надо знать, что в каждой паре чисел значения косинуса стоят первыми, значения синуса – вторыми.

1) Обратите внимание: при всем множестве точек числовой окружности мы имеем дело лишь с пятью числами (в модуле):

      1      √2      √3
0;  —;  ——; ——;  1.
      2       2        2

Сделайте для себя это «открытие» — и вы снимете психологический страх перед обилием чисел: их на самом деле всего-то пять.

2) Начнем с целых чисел 0 и 1. Они находятся только на осях координат.

Не надо учить наизусть, где, к примеру, косинус в модуле имеет единицу, а где 0.

На концах оси косинусов (оси х), разумеется, косинусы равны модулю 1, а синусы равны 0.

На концах оси синусов (оси у) синусы равны модулю 1, а косинусы равны 0.

Теперь о знаках. Ноль знака не имеет. Что касается 1 – тут просто надо вспомнить самую простую вещь: из курса  7 класса вы знаете, что на оси х справа от центра координатной плоскости – положительные числа, слева – отрицательные; на оси у вверх от центра идут положительные числа, вниз – отрицательные. И тогда вы не ошибетесь со знаком 1.

3) Теперь перейдем к дробным значениям.

— Во всех знаменателях дробей – одно и то же число 2. Уже не ошибемся, что писать в знаменателе.

— В серединах четвертей косинус и синус имеют абсолютно одинаковое значение по модулю: √2/2. В каком случае они со знаком плюс или минус – см.таблицу выше. Но вряд ли вам нужна такая таблица: вы знаете это из того же курса 7 класса.

— Все ближайшие к оси х точки имеют абсолютно одинаковые по модулю значения косинуса и синуса: (√3/2; 1/2).

— Значения всех ближайших к оси у точек тоже абсолютно идентичны по модулю – причем в них те же числа, только они «поменялись» местами: (1/2; √3/2).

Теперь о знаках – тут свое интересное чередование (хотя со знаками, полагаем, вы должны легко разобраться и так).

Если в первой четверти значения и косинуса, и синуса со знаком плюс, то в диаметрально противоположной (третьей) они со знаком минус.

Если во второй четверти со знаком минус только косинусы, то в диаметрально противоположной (четвертой) – только синусы.

Осталось только напомнить, что в каждом сочетании значений косинуса и синуса первое число – это значение косинуса, второе число – значение синуса.

— Обратите внимание еще на одну закономерность: синус и косинус всех диаметрально противоположных точек окружности абсолютно равны по модулю. Возьмем, к примеру, противоположные точки π/3 и 4π/3:

cos π/3 = 1/2,       sin π/3 = √3/2
cos 4π/3 = -1/2,    sin 4π/3 = -√3/2

Различаются значения косинусов и синусов двух противоположных точек только по знаку. Но и здесь есть своя закономерность: синусы и косинусы диаметрально противоположных точек всегда имеют противоположные знаки.

Важно знать:

Значения косинусов и синусов точек числовой окружности последовательно возрастают или убывают в строго определенном порядке: от самого малого значения до самого большого и наоборот (см. раздел «Возрастание и убывание тригонометрических функций» — впрочем, в этом легко убедиться, лишь просто посмотрев на числовую окружность выше).

В порядке убывания получается такое чередование значений:

       √3      √2      1              1         √2          √3
1;  ——;  ——; —;  0;   – —;  – ——;  – ——; –1
        2        2       2              2          2             2

Возрастают они строго в обратном порядке.

Поняв эту простую закономерность, вы научитесь довольно легко определять значения синуса и косинуса.

 

Тангенс и котангенс основных точек числовой окружности.

Зная косинус и синус точек числовой окружности, легко можно вычислить их тангенс и котангенс. Делим синус на косинус — получаем тангенс. Делим косинус на синус — получаем котангенс. Результаты этого деления — на рисунке.

ПРИМЕЧАНИЕ: В некоторых таблицах значения тангенса и котангенса, равные модулю √3/3, указаны как 1/√3. Ошибки тут нет, так как это равнозначные числа. Если числитель и знаменатель числа 1/√3 умножить на √3, то получим √3/3.


Как запомнить значение тангенсов и котангенсов основных точек числовой окружности.

Здесь такие же закономерности, что и с синусами и косинусами. И чисел тут всего четыре (в модуле): 0, √3/3, 1, √3.

На концах осей координат – прочерки и нули. Прочерки означают, что в данных точках тангенс или котангенс не имеют смысла.

Как запомнить, где прочерки, а где нули? Поможет правило.

Тангенс – это отношение синуса к косинусу. На концах оси синусов (ось у) тангенс не существует.

Котангенс – это отношение косинуса к синусу. На концах оси косинусов (ось х) котангенс не существует.

В остальных точках идет чередование всего лишь трех чисел: 1, √3 и √3/3 со знаками плюс или минус. Как с ними разобраться? Запомните (а лучше представьте) три обстоятельства:

1) тангенсы и котангенсы всех середин четвертей имеют в модуле 1.

2) тангенсы и котангенсы ближайших к оси х точек имеют в модуле √3/3; √3.

3) тангенсы и котангенсы ближайших к оси у точек имеют в модуле √3; √3/3.

Не ошибитесь со знаками – и вы большой знаток.

Нелишне будет запомнить, как возрастают и убывают тангенс и котангенс на числовой окружности (см.числовую окружность выше или раздел «Возрастание и убывание тригонометрических функций»). Тогда еще лучше будет понятен и порядок чередования значений тангенса и котангенса.

 

Тригонометрические свойства чисел числовой окружности.

Представим, что определенная точка М имеет значение t.

Свойство 1:

 
sin (–
t) = –sin t

 
cos (–
t) = cos t

 
tg (–
t) = –tg t

 
ctg (–
t) = –ctg t

Пояснение. Пусть t = –60º  и  t = –210º.

cos –60º равен 1/2. Но cos 60º тоже равен 1/2. То есть косинусы –60º  и 60º  равны как по модулю, так и по знаку: cos –60º = cos 60º.

cos –210º равен –√3/2. Но cos 210º тоже равен –√3/2. То есть: cos –210º = cos 210º.

Таким образом, мы доказали, что cos (–t) = cos t.

sin –60º равен –√3/2. А sin 60º равен √3/2. То есть sin –60º и sin 60º равны по модулю, но противоположны по знаку.

sin –210º равен 1/2. А sin 210º равен –1/2. То есть sin –210º и sin 210º равны по модулю, но противоположны по знаку.

Таким образом, мы доказали, что sin (–t) = –sin t.

Посмотрите, что происходит с тангенсами и котангенсами этих углов – и вы сами легко докажете себе верность двух других тождеств, приведенных в таблице.

Вывод: косинус – четная функция, синус, тангенс и котангенс – нечетные функции.

Свойство 2: Так как t = t + 2πk, то:

 
sin (t + 2π
k) = sin t

 
cos (t + 2π
k) = cos t

Пояснение: t и t + 2πk – это одна и та же точка на числовой окружности. Просто в случае с 2πk  мы совершаем определенное количество полных оборотов по окружности, прежде чем приходим к точке t. Значит, и равенства, изложенные в этой таблице, очевидны.

 

Свойство 3: Если две точки окружности находятся друг против друга относительно центра О, то их синусы и косинусы равны по модулю, но противоположны по знаку, а их тангенсы и котангенсы одинаковы как по модулю, так и по знаку.

 
sin (t + π
) = –sin t

 
cos (t + π
) = –cos t

 
tg (t + π
) = tg t

 
ctg (t + π
) = ctg t

Пояснение: Пусть точка М находится в первой четверти. Она имеет положительное значение синуса и косинуса. Проведем от этой точки диаметр – то есть отрезок, проходящий через центр оси координат и заканчивающийся  в точке окружности напротив. Обозначим эту точку буквой N. Как видите, дуга MN равна половине окружности. Вы уже знаете, что половина окружности – это величина, равная π. Значит, точка N находится на расстоянии π от точки М. Говоря иначе, если к точке М прибавить расстояние π, то мы получим точку N, находящуюся напротив. Она находится в третьей четверти. Проверьте, и увидите: косинус и синус точки N – со знаком «минус» (x и y имеют отрицательные значения).

Тангенс и котангенс точки М имеют положительное значение. А тангенс и котангенс точки N? Ответ простой: ведь тангенс и котангенс – это отношение синуса и косинуса. В нашем примере синус и косинус точки N – со знаком «минус». Значит:

                     –sin t
tg (t + π) = ———— = tg t
                    –cos t

 

                      –cos t
ctg (t + π) = ———— = ctg t
                      –sin t

Мы доказали, что тангенс и котангенс диаметрально противоположных точек окружности имеют не только одинаковое значение, но и одинаковый знак.

 

Свойство 4: Если две точки окружности находятся в соседних четвертях, а расстояние между точками равно одной четверти окружности, то синус одной точки равен косинусу другой с тем же знаком, а косинус одной точки равен синусу второй с противоположным знаком.

                                     π
                        sin (t + —) = cos t
                                     2

                                    π
                     
cos (t + —) = –sin t
                                    2

 

Решающих треугольников

«Решение» означает поиск недостающих сторон и углов.

Когда мы знаем какие-либо 3 стороны или углы . ..

… мы можем найти остальные 3

(За исключением трех углов, потому что нам нужно как минимум

с одной стороны, чтобы определить размер треугольника.)

Шесть различных типов

Если вам нужно собрать треугольник прямо сейчас , выберите один из шести вариантов ниже:

Какие стороны или углы вы уже знаете? (Нажмите на изображение или ссылку)

AAA
Три угла

AAS
Два угла и сторона , а не между

ASA
Два угла и сторона между

SAS
Две стороны и
угол между

SSA
Две стороны и
Угол , а не между

… или читайте дальше, чтобы узнать, как стать экспертом по решению треугольников :

Ваш набор инструментов для решения проблем

Хотите научиться решать треугольники?

Представьте, что вы « The Solver » . ..

… тот, который они просят, когда нужно решить треугольник!

В вашем наборе инструментов для решения (вместе с ручкой, бумагой и калькулятором) у вас есть эти 3 уравнения:

1. Углы всегда складываются до 180 °:

А + В + С = 180 °

Когда вы знаете два угла, вы можете найти третий.

2. Закон синуса (правило синуса):

Когда есть угол напротив стороны, это уравнение приходит на помощь.

Примечание: угол A противоположен стороне a, B противоположен b, а C противоположен c.

3. Закон косинусов (правило косинусов):

Это сложнее всего использовать (и запомнить), но иногда необходимо

, чтобы вывести вас из сложных ситуаций.

Это улучшенная версия теоремы Пифагора, которая работает

на любом треугольнике.

С помощью этих трех уравнений вы можете решить любой треугольник (если его вообще можно решить).

Шесть различных типов (подробнее)

Есть ШЕСТЬ различных типов головоломок, которые вам, возможно, придется решить. Познакомьтесь с ними:

1. AAA:

Это означает, что нам даны все три угла треугольника, но нет сторон.

Треугольники

AAA невозможно решить дальше, потому что нам нечего показать. размер … мы знаем форму, но не знаем, насколько она велика.

Нам нужно знать хотя бы одну сторону, чтобы идти дальше. См. Раздел «Решение треугольников AAA».

2. AAS

Это означает, что нам даны два угла треугольника и одна сторона, причем не является стороной, смежной с двумя данными углами.

Такой треугольник можно решить, используя Углы треугольника, чтобы найти другой угол, и Закон синусов, чтобы найти каждую из двух других сторон.См. Раздел «Решение треугольников AAS».

3. ASA

Это означает, что нам даны два угла треугольника и одна сторона, из которых — это сторона, смежная с двумя данными углами.

В этом случае мы находим третий угол, используя Углы треугольника, а затем используем Закон синусов, чтобы найти каждую из двух других сторон. См. Раздел «Решение треугольников ASA».

4. SAS

Это означает, что нам даны две стороны и включенный угол.

Для этого типа треугольника мы должны сначала использовать Закон косинусов, чтобы вычислить третью сторону треугольника; затем мы можем использовать Закон синусов, чтобы найти один из двух других углов, и, наконец, использовать Углы треугольника, чтобы найти последний угол. См. Раздел «Решение треугольников SAS».

5. SSA

Это означает, что нам даны две стороны и один угол, который не входит в состав.

В этом случае сначала используйте Закон синусов, чтобы найти один из двух других углов, затем используйте Углы треугольника, чтобы найти третий угол, затем снова Закон синусов, чтобы найти последнюю сторону.См. Раздел «Решение треугольников SSA».

6. SSS

Это означает, что нам даны все три стороны треугольника, но нет углов.

В этом случае у нас нет выбора. Мы, , должны сначала использовать Закон косинусов, чтобы найти любой из трех углов, затем мы можем использовать Закон синусов (или снова использовать Закон косинусов), чтобы найти второй угол, и, наконец, Углы треугольника, чтобы найти третий угол. См. Раздел «Решение треугольников SSS».

Советы по Решению

Вот простой совет:

Когда треугольник имеет прямой угол, использовать его, как правило, намного проще.

Когда известны два угла, вычислите третий, используя Углы треугольника с добавлением 180 °.

Попробуйте закон синусов перед законом косинусов, так как его проще использовать.

Синусоидальная функция

— Упражнение с графиком

Функция синуса дает очень красивую кривую
, но не верьте нам на слово, сделайте свою собственную!

Функция синуса

Сначала прочтите страницу о синусе, косинусе и касательной.

Теперь вы знаете, что синус любого угла — это длина дальней стороны треугольника («противоположной»).
делится длинной стороной («гипотенуза»):

Синус θ = Противоположность / Гипотенуза

Нарисуйте треугольники

Чтобы построить график, нам нужно вычислить синус для разных углов, затем поместить эти точки на график и
затем «соедините точки».

Шаг 1. Нарисуйте угловые линии

Поместите отметку в центре листа бумаги, затем с помощью транспортира отметьте каждые 15 градусов от 0 °
до 180 ° по полукругу.Затем поверните транспортир и снова сделайте отметку от 180 ° до начала. потом
нарисуйте линии, расходящиеся от центра к каждой из ваших отметок, чтобы получить такую ​​иллюстрацию:

Линии под углом 15 ° (нажмите, чтобы увеличить)

Или вы можете нажать на иллюстрацию выше и распечатать результат.

Шаг 2. Нарисуйте и измерьте треугольники

Теперь мы можем превратить каждую из этих линий в треугольник, например:

Измерьте треугольники

Когда вы закончите каждый треугольник, остается просто измерить линии.Помните, что синус
равно длина линии, противоположной углу , деленная на гипотенуза (которая должна
быть такой же длины, если вы хорошо ее нарисовали)

Запишите все ваши измерения в таблицу. Вот что у меня получилось, но ваши мерки могут отличаться:

Уголок

напротив

Гипотенуза

Напротив / Гипотенуза

0 °

0 мм

86 мм

0. 00

15 °

22 мм

86 мм

0,26

30 °

43 мм

86 мм

0.50

и т.д …

Здесь вы можете распечатать готовую к заполнению таблицу.

Важно: когда «противоположная» линия идет вниз, она отрицательная.

Совет: если вы хорошо его нарисовали, вы можете воспользоваться симметрией 0-90, 90-180, 180-270 и 270-360.

График результатов

Возьмите миллиметровую бумагу и подготовьте ее, уменьшив масштаб от 0 до 360 с шагом 15 по оси x и масштабируя
от -1 до +1 по оси ординат. Вы можете использовать свою собственную миллиметровую бумагу или распечатать этот график.
бумага

Теперь нанесите каждую точку из таблицы на график.

Затем соедините точки как можно аккуратнее.

Результат

Результат должен выглядеть примерно так, как на графике вверху.

Но вы сделали гораздо больше, чем нарисовали красивую кривую. У вас:

  • узнал об одной из самых важных функций в математике
  • узнал, что не обязательно верить тому, что говорят люди — вы можете попробовать это сами.
  • имел опыт построения графиков
  • узнал, как симметрия может сэкономить усилия

Надеюсь, вам понравилось!

косинусов

Затем рассмотрим углы 30 ° и 60 °. В прямоугольном треугольнике 30 ° -60 ° -90 ° отношения
сторон 1: √3: 2.Следует, что
sin 30 ° = cos 60 ° = 1/2, и
sin 60 ° = cos 30 ° = √3 / 2.

Эти результаты занесены в эту таблицу.

00 9000 9000 9000 9000 9000 9000 /3

Угол Градусы Радианы Косинус синус
90 ° π /2 0 1/2 √3 / 2
45 ° π /4 √2 / 2 √2 / 2
30

π /6 √3 / 2 1/2
0 ° 0 1 0
Упражнения

Все эти упражнения относятся к прямоугольным треугольникам со стандартной маркировкой.

30. b = 2,25 метра и cos A = 0,15. Найдите a и c.

33. b = 12 футов и cos B = 1/3. Найдите c и a.

35. b = 6,4, c = 7,8. Найдите A и a.

36. A = 23 ° 15 ‘, c = 12.15. Найдите a и b.

Подсказки

30. Косинус A связывает b с гипотенузой c, , поэтому вы можете сначала вычислить c. Если вы знаете b и c, , вы можете найти a по теореме Пифагора.

33. Вы знаете b и cos B. К сожалению, cos B — это отношение двух сторон, которых вы не знаете, а именно a / c. Тем не менее, это дает вам уравнение, с которым можно работать: 1/3 = a / c. Тогда c = 3 a. Из теоремы Пифагора тогда следует, что a 2 + 144 = 9 a 2 . Вы можете решить это последнее уравнение для a , а затем найти c.

35. b и c дают A по косинусам и a по теореме Пифагора.

36. A и c дают a по синусам и b по косинусам.

ответов

30. c = b / cos A = 2,25 / 0,15 =
15 метров; a = 14,83 метра.

33. 8 a 2 = 144, поэтому a 2 = 18. Следовательно, a равно 4,24 ‘или 4’3 «.

c = 3 a , что равно 12.73 ‘или 12’9 «.

35. cos A = b / c = 6,4 / 7,8 = 0,82. Следовательно, A = 34,86 ° = 34 ° 52 ‘, или около 35 °.

a 2 = 7,8 2 — 6,4 2 = 19,9, поэтому a составляет около 4,5.

36. a = c sin A = 12,15 sin 23 ° 15 ‘= 4,796.

b = c cos A = 12,15 cos 23 ° 15 ‘= 11.17.

Синус и косинус объяснены визуально

Синус и косинус объяснены визуально

Визуальное объяснение

Виктор Пауэлл

с текстом Льюиса Лехе

Синус и косинус — также известные как sin (θ) и cos (θ) — это функции, показывающие форму прямоугольного треугольника. Если смотреть из вершины под углом θ, sin (θ) — это отношение противоположной стороны к гипотенузе, а cos (θ) — это отношение соседней стороны к гипотенузе.Независимо от размера треугольника, значения sin (θ) и cos (θ) одинаковы для данного θ, как показано ниже.

Посмотрите на крайний левый рисунок выше (единичный круг). Гипотенуза треугольника имеет длину 1, и поэтому (удобно!) Отношение его смежности к его гипотенузе равно cos (θ), а отношение его противоположности к гипотенузе равно sin (θ). Следовательно, поместив треугольники в точку (0,0) плоскости x / y, можно найти функции sin (θ) и cos (θ), записав значения x и y для каждого θ. 6} {6!} \ Cdots
\ конец {выровнено} \]

Используя синус и косинус, можно описать любую точку (x, y) в качестве альтернативы, точку (r, θ), где r — длина сегмента от (0,0) до точки, а θ — угол между этим сегментом и осью x. Это называется полярной системой координат, и правило преобразования: (x, y) = (rcos (θ), rsin (θ)). Поиграйте с рисунками ниже, чтобы увидеть преобразование в реальном времени между декартовыми (т.е. координатами x / y) и полярными координатами.

Для получения дополнительных объяснений посетите домашнюю страницу проекта Explained Visually.

Или подпишитесь на нашу рассылку.

Пожалуйста, включите JavaScript, чтобы просматривать комментарии от Disqus.
комментарии предоставлены

cos (x) | функция косинуса

cos (x), функция косинуса.

Определение косинуса

В прямоугольном треугольнике ABC синус α, sin (α) равен
определяется как отношение между стороной, прилегающей к углу α, и
сторона, противоположная прямому углу (гипотенуза):

cos α = b / c

Пример

b = 3 дюйма

c = 5 дюймов

cos α = b / c = 3/5 = 0. 6

График косинуса

TBD

Правила косинуса

Название правила Правило
Симметрия cos (- θ ) = cos θ
Симметрия cos (90 ° — θ ) = sin θ
Пифагорейская идентичность sin 2 (α)
+ cos 2 (α) = 1
cos θ = sin θ / tan θ
cos θ = 1 / сек θ
Уголок двойной cos 2 θ = cos 2 θ
— грех 2 θ
Сумма углов cos ( α + β ) = cos α cos
β — sin α sin β
Разница углов cos ( α-β ) = cos α cos β + sin
α sin
β
Сумма к продукту cos α + cos β = 2 cos
[( α + β ) / 2] cos [( α-β ) / 2]
Отличие от продукта cos α — cos β = — 2 sin
[( α + β ) / 2]
грех [( α-β ) / 2]
Закон косинусов
Производная cos ‘ x = — sin x
Интегральный ∫ cos x d x = sin x + C
Формула Эйлера cos x = ( e ix + e ix ) / 2

Функция обратного косинуса

Арккосинус x определяется как функция, обратная косинусу x, когда -1≤x≤1.

Когда косинус y равен x:

cos y = x

Тогда арккосинус x равен функции обратного косинуса x, которая равна y:

arccos x = cos -1 x = y

Пример

arccos 1 = cos -1 1 = 0 рад = 0 °

См .: Функция Arccos

Таблица косинусов

x

(°)

x

(рад)

cos x
180 ° π –1
150 ° 5π / 6 -√3 / 2
135 ° 3π / 4 -√2 / 2
120 ° 2π / 3 -1/2
90 ° π / 2 0
60 ° π / 3 1/2
45 ° π / 4 √2 / 2
30 ° π / 6 √3 / 2
0 ° 0 1


См.

Также

Шесть функций (Триггер без слез, часть 2)

Шесть функций (Триггер без слез, часть 2)

Триггер без слез Часть 2:

Авторские права 19972020
Стэн Браун, BrownMath.com

Резюме:

Каждая из шести триггерных функций просто
одна сторона прямоугольного треугольника разделена на другую сторону .
Или, если вы нарисуете треугольник в единичной окружности , каждая функция
— длина одного отрезка линии. простой способ запомнить все
шесть определений: запомнить определения синуса и косинуса
а затем запомните остальные четыре как комбинации синуса и косинуса ,
не как самостоятельные функции.

Два основных: синус и косинус

Картинка стоит тысячи слов (вот почему требуется тысяча слов).
раз дольше скачивать).Триггерные функции — это не что иное, как
длин различных сторон прямоугольного треугольника в различных соотношениях .
Так как сторон три, то 3 × 2 = 6
разные способы сделать соотношение (дробь) сторон. Это
почему в шесть триггерных функций, не больше и не меньше .

Из этих шести функций тройка, косинус и
касательно львиная доля работы.
(Остальные изучаются, потому что их можно использовать для
упростите некоторые выражения.)
Начнем с синуса и косинуса, потому что они действительно основные
а остальные зависят от них.

Вот один из обычных способов показать
прямоугольный треугольник. Ключевым моментом является то, что строчные буквы
а , б , в
— стороны, противоположные углам, отмеченным соответствующими
заглавные буквы A , B , C . В большинстве книг используется это соглашение:
Строчная буква для стороны, противоположной углу верхнего регистра .

Два основных определения отмечены на схеме.
Вы должны сохранить их в памяти .Фактически, они должны стать второй натурой для
вы, чтобы вы их узнали, как бы ни повернулся треугольник
вокруг. Всегда, всегда синус угла равен противоположному
сторона, деленная на гипотенузу (opp / hyp на схеме). Косинус равен
равна смежной стороне, деленной на гипотенузу (adj / hyp).

(1) запомнить:

синус = (противоположная сторона) / гипотенуза

косинус = (смежная сторона) / гипотенуза

Какой синус B на диаграмме? Помните opp / hyp: наоборот
сторона b , а гипотенуза c , поэтому
sin B = b / c .А как насчет косинуса B ? Помните прил / гип: соседняя сторона
a , поэтому cos B = a / c .

Вы замечаете, что синус одного угла является косинусом другого?
Так как A + B + C = 180 для любого
треугольник, а C равно 90 в этом треугольнике,
A + B должен
равно 90. Следовательно
A = 90 — B , и
B = 90 — A .Когда два угла складываются
90, каждый угол — это co mplement другого, а синус
каждого угла — это синус co другого.
Это идентификаторы совместных функций :

(2) sin A = cos (90 — A ) или cos (π / 2 — A )

cos A = sin (90 — A ) или sin (π / 2 — A )

Выражения для длин сторон

Определения синуса и косинуса можно немного изменить, чтобы
позвольте вам записать длины сторон через
гипотенуза и углы.Например, когда вы знаете
что b / c = cos A , вы
можно умножить на c
и получаем b = c × cos A . Вы можете написать еще
выражение для длины b , которое использует синус вместо косинуса?
Помните, что противоположность гипотенузы равна синусу, поэтому
b / c = sin B . Умножить
через c и у вас есть
b = c × sin B .

Вы видите, как записать два выражения для длины стороны
а ? Пожалуйста, работайте с определениями и убедитесь, что
a = c × sin A =
c × cos B .

Пример: Дан прямоугольный треугольник с углом A = 52
и гипотенуза c = 150 м. Какая длина стороны
б ? Подсказка: нарисуйте рисунок и обозначьте A , c ,
и b .

Решение: Картинки всегда хорошие. Ты не
нужно зацикливаться на том, чтобы получить точную картину, но по крайней мере
сделать это близко. Это поможет вам понять, когда ваш ответ невозможен,
чтобы вы знали, что совершили ошибку. В моем маленьком эскизе я установил
наружу сделать угол А чуть больше 45, но на мой взгляд
похоже немного меньше. Это нормально.

Вы можете заметить, что я отметил сторону как , хотя мы
не нужно это для проблемы. Я сделал это, поэтому у меня не было
подумать, с какой стороны было б .Всегда помни правило
что сторона с данной буквой противоположна углу с этим
письмо. (И условно мы всегда ставим C справа
угол, так что c гипотенуза.)

Когда у вас есть изображение, решить проблему довольно просто
простой. Вы хотите что-то, связанное с A , это
прилегающая сторона и гипотенуза; это должен быть косинус.

cos A = b / c

б =
c × cos A =
150 × cos 52 = около 92.35 мес.

Пример: Оттяжка закреплена в земле.
и прикреплен к вершине 45-футового флагштока. Если он встречается с землей
под углом 63, какова длина растяжки?

Решение: Предположительно флагшток вертикальный, поэтому
это прямоугольный треугольник с
A = 63, a = 45 футов,
и гипотенуза c
неизвестный. Какая функция задействует противоположную сторону и гипотенузу?
Это должен быть синус. Ты знаешь что

sin A = a / c

Следовательно,

c = a / sin A = 45 / sin 63 =
около 50.5 футов

Вам может быть интересно, как найти стороны или углы треугольников.
когда нет прямого угла. Что ж, перейдем к теме
Решение треугольников.

Синус и косинус в единичной окружности

Часто всплывает один важный особый случай.
Предположим, что гипотенуза c = 1; тогда мы называем треугольник a
прямоугольный треугольник .
Из приведенных выше абзацев видно, что если c = 1, то
a = sin A и
b = cos A .Другими словами, в
прямоугольный треугольник с противоположной стороной будет равен синусу, а
соседняя сторона будет равна косинусу угла.

Треугольник часто рисуют
в единичном круге , круге
радиус 1, как показано справа.
Угол A находится в центре окружности, а на соседней стороне
лежит по оси x.
Если вы сделаете это, гипотенуза будет радиусом, равным 1.
Координаты ( x , y ) внешнего конца гипотенузы
являются сторонами треугольника x и y :
( x , y ) = (cos A , sin A ). Единичный круг — ваш друг : он может помочь вам визуализировать участки
триггерных тождеств.

Остальные четыре: касательная, котангенс, секанс, косеканс

Остальные четыре функции не имеют реальной самостоятельной жизни;
Они просто комбинации первых двух . Вы могли бы сделать все
тригонометрия, не зная ничего больше, чем синусы и косинусы. Но зная
что-то в остальных четырех, особенно касательное, часто может спасти вас
шаги в вычислении, и ваш учитель будет ожидать, что вы знаете
о них к экзаменам.

Мне проще запомнить (извините!) Определение касательной
через синус и косинус:

(3) запомнить:

tan A = (sin A ) / (cos A )

Вы будете использовать функцию тангенса (tan) намного больше
чем последние три функции. (Я доберусь до них через минуту.)

Есть альтернативный способ запомнить значение касательной .
Помните из схемы
что sin A = противоположный / гипотенуза и cos A =
смежный / гипотенуза.Подставьте их в уравнение 3, определение
функция tan, и у вас есть tan A =
(противоположный / гипотенуза) / (смежный / гипотенуза) или

(4) касательная = (противоположная сторона) / (смежная сторона)

Обратите внимание, что это , а не с пометкой запомнить: вам не нужно
запомнить, потому что он вытекает непосредственно из определения
уравнение 3, и фактически эти два утверждения
эквивалент. Я решил представить их в таком порядке, чтобы минимизировать
беспорядок opp, adj и hyp среди sin, cos и
загар.Однако, если хотите, можете запомнить
уравнение 4, а затем вывести эквивалентное тождество
уравнение 3, когда вам это нужно.

Пример: Оттяжка закреплена в земле и прикреплена
на вершину 45-футового флагштока. Как далеко якорь от базы
флагштока, если провод встречается с землей в
угол 63?

Решение: Это вариант
предыдущий пример. Этот
время, вы хотите знать сторону, прилегающую к углу A , а не
гипотенуза.Как и раньше, предположим, что флагшток вертикальный, поэтому
это прямоугольный треугольник с
A = 63, a = 45 футов,
и прилегающая сторона б
неизвестный. Какая функция задействует соседнюю сторону и противоположную сторону?
Это касательная. Вы знаете, что

tan A = a / b

Следовательно,

b = a / tan A = 45 / tan 63 =
около 22,9 футов

Итак, я сказал, что вы можете выполнить все триггеры только с синусами и
косинусы. Как это сработает для этой проблемы? Ну синус и косинус
обеим нужна гипотенуза, так что у вас будет

sin A = a / c
c = a / sin A и

cos A = b / c
c = b / cos A . Следовательно,

b / cos A = a / sin A

b = a × cos A / sin A =
45 × cos 63 / sin 63 = около
22.9 футов

В конце концов, вы попали в то же место, но путь был
дольше. Итак, хотя это и не обязательно, касательная
может облегчить вашу работу.

Остальные три триггера
функции котангенс, секанс и косеканс являются
определяется в терминах первых трех .
Они используются реже, но упрощают некоторые проблемы в
исчисление. В практических задачах, не связанных с исчислением, они вам практически никогда не понадобятся.

(5) запомнить:

детская кроватка A = 1 / (tan A )

сек A = 1 / (cos A )

csc A = 1 / (sin A )

Угадайте что! Это последняя триггерная идентификация, которую вам нужно запомнить.

(Вы, вероятно, обнаружите, что в конечном итоге запомните некоторые другие
личности, даже не намереваясь, просто потому, что вы их используете
часто. Но уравнение 5 делает последние, что
вам придется сесть и запомнить только их
собственн.)

К сожалению, определения в уравнении 5 не являются
самая легкая вещь в мире для запоминания. Равен ли секанс на 1?
синус или 1 над косинусом? Вот два полезных совета :
Каждое из этих определений имеет совместную функцию с одной и только с одной стороны.
уравнения, поэтому у вас не возникнет соблазна подумать, что sec A
равно 1 / sin A .А секанс и косеканс идут вместе, как
синус и косинус, поэтому вы не подумаете, что детская кроватка A
равно 1 / sin A .

За альтернативный подход к запоминанию
выше идентификаторов, вам может понравиться:

Вы можете сразу заметить важную связь между касательной и
котангенс. Каждый из них является совместной функцией другого, как синус и
косинус:

(6) желто-коричневый A = детская кроватка (90 — A ) или детская кроватка (π / 2 — A )

Детская кроватка A = коричневый (90 — A ) или коричневый (π / 2 — A )

Если вы хотите это доказать, это легко
определения и уравнение 2:

Детская кроватка A = 1 / tan A

Примените определение tan:

Детская кроватка A = 1 / (sin A / cos A )

Упростим дробь:

Детская кроватка A = cos A / sin A

Применить уравнение 2:

Детская кроватка A = sin (90 — A ) / cos (90 — A )

Наконец, признайте, что эта дробь соответствует определению
функция tan, уравнение 3:

детская кроватка A = коричневый (90 — A )

Касательная и
co тангенс — это такие же функции, как синус и co синус. Выполняя такую ​​же замену, вы можете показать, что секанс и
co секанс также являются совместными функциями:

(7) сек A = csc (90 — A ) или csc (π / 2 — A )

csc A = сек (90 — A ) или сек (π / 2 — A )

Шесть функций в одном изображении

Вы видели ранее, как синус и косинус
угла — стороны треугольника в единичной окружности. Оказывается
что все шесть функций могут быть изображены таким образом геометрически.

единичный круг (радиус = AB = 1)

sin θ = BC;
cos θ = AC;
загар θ = ED

csc θ = AG;
сек θ = AE;
детская кроватка θ = FG

Изображение предоставлено
TheMathPage

На рисунке справа треугольник ABC имеет угол θ при
центр единичной окружности (AB = радиус = 1). Вы уже
знайте, что BC = sin θ и AC = cos θ .

А как насчет загара θ ? Ну, так как DE касается единицы
круг, вы можете догадаться, что его длина — загар θ , и вы
верно. Треугольники ABC и AED похожи, поэтому

ED / AD = BC / AC

ED / 1 = sin θ / cos θ

ED = тангенс угла θ

Больше информации исходит от той же пары похожих
треугольники:

AE / AB = AD / AC

AE / 1 = 1 / cos θ

AE = сек θ

Длины, которые представляют кроватку θ и csc θ , придут.
из другого треугольника, GAF.Этот треугольник также похож на
треугольник AED.
(Почему? FG перпендикулярно FA, а FA перпендикулярно
ОБЪЯВЛЕНИЕ; следовательно, FG и AD параллельны. В начале геометрии вы
узнал, что когда параллельные линии разрезаются третьей линией,
соответствующие углы обозначены θ в
диаграммы равны. Таким образом, FG касается единицы
окружности, поэтому углы G и θ равны. )

Используя аналогичные треугольники GAF и AED,

FG / FA = AD / ED

FG / 1 = 1 / tan θ

FG = детская кроватка θ

В этом есть смысл: FG касается единичной окружности и является
тангенс дополнения угла θ , а именно угла GAF. Следовательно, FG
— котангенс исходного угла θ (или угла GAD).

Наконец, снова используя ту же пару похожих треугольников, вы
также можно сказать, что

AG / FA = AE / ED

AG / 1 = сек θ / tan θ

AG = (1 / cos θ ) / (sin θ / cos θ )

AG = 1 / sin θ

AG = csc θ

Эта диаграмма прекрасно передает геометрическое значение
всех шести триггерных функций, когда угол θ проведен в центре
единичный круг:

sin θ = BC;
cos θ = переменный ток;
tan θ = ED

csc θ = AG;
сек θ = AE;
детская кроватка θ = FG

Практические задачи

Чтобы извлечь максимальную пользу из этих проблем, решите их
без предварительного просмотра решений.Вернитесь к главе
текст, если вам нужно освежить память.

Рекомендация : Работайте на бумаге
труднее обмануть себя, действительно ли ты
полностью разобраться в проблеме.

Вы найдете полный
решения всех проблем. Не просто проверь свой
ответы, но проверьте и свой метод.

1

Найдите все шесть функций угла 30. Найдите синус, косинус,
и тангенс 60.

2

Найдите sin A , sin B , tan A и tan B .3
А ≈ 53,13. Найдите примерную площадь
треугольник. Подсказка: площадь треугольника равна
основание × высота /2.

BTW: зачем называть это синусом?

Очевидно, почему
название тангенс имеет смысл: тангенс угла — это длина
отрезка, касательного к единичной окружности. А как же синус
функция? Как он получил свое название?

Посмотрите на
изображение еще раз, и обратите внимание, что
sin θ = BC — половина хорды окружности.Индуистский математик Арьябхата старший (о
475550) использовал слово jya или jiva для этого полуаккорда.
В арабском переводе это слово осталось без изменений, но в арабской системе
письма джива было написано так же, как арабское слово джайб,
означает грудь, складку или залив. Латинское слово, обозначающее грудь, залив или кривую.
синус или синус на английском языке, и начинается с Gherardo из
Кремона (ок. 11141187), ставшая общепринятым термином.

Эдмунд Гюнтер (15811626), кажется, был первым
опубликовать аббревиатуры sin и tan для sin и
касательная.

Мой источник этой истории — Эли Маорс Тригонометрический
Наслаждения
(1998, Princeton University Press), страницы
3536. Я призываю вас обратиться к книге для более полного отчета.

Что нового

  • 27 сентября 2017 г. : откорректировать 29,2 футов до
    22,9 футов,
    здесь и здесь,
    спасибо Райану МакПарлану.
  • 29 октября 2016 г. :
  • (промежуточные изменения подавлены)
  • 19 февраля 1997 г. : Новый документ.

следующий: 3 / Специальные уголки

Синус-косинус-касательная

Чтобы лучше понять некоторые проблемы, связанные с самолетами
и двигательная установка
необходимо использовать некоторые математические идеи из
тригонометрия,
изучение треугольников. Начнем с некоторых определений и терминологии.
который мы будем использовать на этом слайде.
Прямоугольный треугольник — это
трехсторонняя фигура с одним углом, равным 90 градусам. Угол 90 градусов
называется прямым углом , что дает название прямоугольному треугольнику.
Выбираем один из двух оставшихся углов и маркируем его c
а третий угол обозначим d .
Сумма углов любого треугольника равна 180 градусам.
Если мы знаем значение c ,
тогда мы знаем, что значение d :

90 + с + г = 180

г = 180 — 90 — в

d = 90 — c

Определим сторону треугольника противоположную от прямого угла к
гипотенуза .Это самая длинная из трех сторон.
прямоугольного треугольника. Слово «гипотенуза» происходит от двух греческих слов.
означает «растягивать», так как это самая длинная сторона.

Обозначим гипотенузу символом х .
Есть сторона, противоположная углу c , которую мы обозначаем как o .
для «противоположного». Оставшуюся сторону мы маркируем как для «смежных».
Угол c образован пересечением гипотенузы h
и соседняя сторона а .

Нас интересует соотношение сторон и углов
прямоугольный треугольник.
Начнем с некоторых определений.
Мы будем называть
соотношение
стороны прямоугольного треугольника, противоположной гипотенузе
синус и присвоить ему символ sin .

грех = о / ч

Отношение смежной стороны прямоугольного треугольника к гипотенузе называется
косинус и обозначен символом cos .

cos = а / ч

Наконец, отношение противоположной стороны к соседней стороне называется
касательная и обозначена символом tan .

загар = о / а

Мы утверждаем, что значение каждого коэффициента зависит только от значения
угол c , образованный смежной и гипотенузой.
Чтобы продемонстрировать этот факт,
давайте изучим три фигуры в середине страницы. В этом примере у нас есть
8-футовая лестница, которую мы собираемся прислонить к стене. Стена
8 футов высотой, и мы нарисовали белые линии на стене
и синие линии вдоль земли с интервалом в один фут.
Длина лестницы фиксированная.
Если наклонить лестницу так, чтобы ее основание находилось на расстоянии 2 фута от стены,
лестница образует угол около 75,5 градусов с землей.
Лестница, земля и стена образуют прямоугольный треугольник. Соотношение расстояния от
стены (а — прилегающая) к длине лестницы (h — гипотенуза) составляет 2/8 =.25.
Это определено как косинус c = 75,5 градусов. (На
другая страница
покажем, что если бы лестница была вдвое длиннее (16 футов),
и наклонена под таким же углом (75,5 градусов), чтобы он сидел вдвое
далеко (4 фута) от стены. Соотношение остается неизменным для любого прямоугольного треугольника.
под углом 75,5 градусов.)
Если мы измеряем точку на стене, где лестница касается (о — напротив), расстояние будет
7,745 футов. Вы можете проверить это расстояние, используя
Теорема Пифагора
который связывает стороны прямоугольного треугольника:

ч ^ 2 = а ^ 2 + о ^ 2

о ^ 2 = ч ^ 2 — а ^ 2

о ^ 2 = 8 ^ 2 — 2 ^ 2

о ^ 2 = 64 — 4 = 60

о = 7. 745

Отношение противоположности гипотенузы составляет 0,967 и определяется как
синус угла c = 75,5 градусов.

Теперь предположим, что мы наклоняем 8-футовую лестницу так, чтобы ее основание находилось на 4 футах от стены.
Как показано на рисунке, теперь лестница наклонена под меньшим углом, чем в
первый пример. Угол составляет 60 градусов, а соотношение прилегающих к
гипотенуза теперь 4/8 = 0,5. Уменьшение угла c
увеличивает косинус угла, потому что гипотенуза фиксирована
а соседний увеличивается с уменьшением угла.Если мы наклоним 8 футов
лестнице так, чтобы ее основание находилось на расстоянии 6 футов от стены, угол уменьшается до
около 41,4 градуса, и соотношение увеличивается до 6/8, что составляет 0,75.
Как видите, для каждого угла
на земле есть уникальная точка, которой соприкасается 8-футовая лестница,
и это одна и та же точка каждый раз, когда мы устанавливаем лестницу под этим углом.
Математики называют эту ситуацию
функция.
Соотношение соседних
сторона гипотенузы является функцией угла c , поэтому мы можем записать
символ как cos (c) = значение .

Также обратите внимание, что по мере увеличения cos (c) уменьшается sin (c) .
Если мы наклоним лестницу так, чтобы основание находилось на расстоянии 6,938 футов от стены,
угол c становится 30 градусов, а отношение соседних к
гипотенуза 0,866.
Сравнивая этот результат со вторым примером, мы обнаруживаем, что:

cos (c = 60 градусов) = sin (c = 30 градусов)

sin (c = 60 градусов) = cos (c = 30 градусов)

Мы можем обобщить это соотношение:

sin (c) = cos (90 — c)

90 — c — величина угла d .Вот почему мы
назовем отношение смежного и гипотенузы «косинусом» угла.

sin (c) = cos (d)

Поскольку синус, косинус и тангенс являются функциями угла c , мы можем
определить (измерить) соотношения один раз и составить таблицы значений
синус, косинус и тангенс для различных значений c .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *