Чему равна линейная скорость точки: чему равна линейная скорость точки обода колеса,если радиус колеса равен 30 см и один оборот

Содержание

1.9.2 Угловая и линейная скорости вращения

Вращательное движение вокруг неподвижной оси — еще один частный случай движения твердого тела.

Вращательным движением твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое его движение, при котором все точки тела описывают окружности, центры которых находятся на одной прямой, называемой осью вращения, при этом плоскости, которым принадлежат эти окружности, перпендикулярны оси вращения (рис.2.4).
В технике такой вид движения встречается очень часто: например, вращение валов двигателей и генераторов, турбин и пропеллеров самолетов.
Угловая скорость. Каждая точка вращающегося вокруг оси тела, проходящей через точку О, движется по окружности, и различные точки проходят за время разные пути. Так, , поэтому модуль скорости точки А больше, чем у точки В (рис.2.5). Но радиусы окружностей поворачиваются за время на один и тот же угол . Угол — угол между осью ОХ и радиус-вектором , определяющим положение точки А (см. рис.2.5).
Пусть тело вращается равномерно, т. е. за любые равные промежутки времени поворачивается на одинаковые углы. Быстрота вращения тела зависит от угла поворота радиус-вектора, определяющего положение одной из точек твердого тела за данный промежуток времени; она характеризуется угловой скоростью. Например, если одно тело за каждую секунду поворачивается на угол , а другое — на угол , то мы говорим, что первое тело вращается быстрее второго в 2 раза.
Угловой скоростью тела при равномерном вращении называется величина, равная отношению угла поворота тела к промежутку времени , за который этот поворот произошел.
Будем обозначать угловую скорость греческой буквой ω (омега). Тогда по определению
Угловая скорость выражается в радианах в секунду (рад/с).
Например, угловая скорость вращения Земли вокруг оси равна 0,0000727 рад/с, а точильного диска — около 140 рад/с1.
Угловую скорость можно выразить через частоту вращения, т. е. число полных оборотов за 1с. Если тело совершает (греческая буква «ню») оборотов за 1с, то время одного оборота равно секунд. Это время называют периодом вращения и обозначают буквой T. Таким образом, связь между частотой и периодом вращения можно представить в виде:
Полному обороту тела соответствует угол . Поэтому согласно формуле (2.1)
Если при равномерном вращении угловая скорость известна и в начальный момент времени угол поворота , то угол поворота тела за время t согласно уравнению (2.1) равен:
Если , то , или .
Угловая скорость принимает положительные значения, если угол между радиус-вектором, определяющим положение одной из точек твердого тела, и осью ОХ увеличивается, и отрицательные, когда он уменьшается.
Тем самым мы можем описать положение точек вращающегося тела в любой момент времени.
Связь между линейной и угловой скоростями. Скорость точки, движущейся по окружности, часто называют линейной скоростью, чтобы подчеркнуть ее отличие от угловой скорости.
Мы уже отмечали, что при вращении твердого тела разные его точки имеют неодинаковые линейные скорости, но угловая скорость для всех точек одинакова.
Между линейной скоростью любой точки вращающегося тела и его угловой скоростью существует связь. Установим ее. Точка, лежащая на окружности радиусом R, за один оборот пройдет путь . Поскольку время одного оборота тела есть период T, то модуль линейной скорости точки можно найти так:
Так как , то
Из этой формулы видно, что, чем дальше расположена точка тела от оси вращения, тем больше ее линейная скорость. Для точек земного экватора , а для точек на широте Санкт-Петербурга . На полюсах Земли .
Модуль ускорения точки тела, движущейся равномерно по окружности, можно выразить через угловую скорость тела и радиус окружности:
Следовательно,
Чем дальше расположена точка твердого тела от оси вращения, тем большее по модулю ускорение она имеет.
Итак, мы научились полностью описывать движение абсолютно твердого тела, вращающегося равномерно вокруг неподвижной оси, так как, пользуясь формулами , можем находить положение, модули скорости и ускорения любой точки тела в произвольный момент времени. Знаем мы и направления и , a также форму траекторий точек.

Равномерное движение точки по окружности

Равномерное движение по окружности – это простейший пример криволинейного движения. Например, по окружности движется конец стрелки часов по циферблату. Скорость движения тела по окружности носит название линейная скорость.

При равномерном движении тела по окружности модуль скорости тела с течением времени не изменяется, то есть \(v = const,\) а изменяется только направление вектора скорости. Тангенциальное ускорение в этом случае отсутствует \( (a_r = 0),\) а изменение вектора скорости по направлению характеризуется величиной, которая называется центростремительным ускорением (нормальное ускорение) \(a_n\), или \(a_{цс}\). В каждой точке траектории вектор центростремительного ускорения направлен к центру окружности по радиусу.

Модуль центростремительного ускорения равен \(a_{цс}=\frac{υ_2}{ R},\) где \(υ\) – линейная скорость, \(R\) – радиус окружности. \circ18\)’ . Угловая скорость равномерного движения тела по окружности – это величина \(\omega\), равная отношению угла поворота радиуса φ к промежутку времени, в течение которого совершен этот поворот: \(ω = \frac φ t \). Единица измерения угловой скорости – радиан в секунду [рад/с]. Модуль линейной скорости определяется отношением длины пройденного пути l к промежутку времени \(t: υ= \frac l t \). Линейная скорость при равномерном движении по окружности направлена по касательной в данной точке окружности. При движении точки длина \(l\) дуги окружности, пройденной точкой, связана с углом поворота φ выражением \(l = Rφ\), где \(R\) – радиус окружности.

Тогда в случае равномерного движения точки линейная и угловая скорости связаны соотношением:

\(υ = \frac l t =\frac{ Rφ} t = Rω\), или \(υ = Rω\).

Период обращения – это промежуток времени Т, в течение которого тело (точка) совершает один оборот по окружности. 2\).

 

 

Задача о точке, движущейся по окружности — Пространственное движение твердого тела

Здравствуйте! На второй неделе мы занимались тем, что определяли только положение твердого тела относительно неподвижного базиса. На практических занятиях на третьей неделе мы будем заниматься тем, что вычислять скорости и ускорения точек в твердом теле. На этом этапе у нас появляется понятие угловой скорости. Что нам нужно понимать? В кинематике точки у нас не было такого понятия, как «вращение», и для точки мы выводили только линейную скорость. В случае твердого тела у нас уже появляется возможность вращения. Что это значит? Что нам необходимо научиться определять вектор угловой скорости, который для твердого тела определяется единственным образом. И при помощи этого вектора угловой скорости мы будем учиться вычислять скорости и ускорения точек твердого тела, которые в общем случае совсем не обязаны совпадать друг с другом. Сделаем это на примере следующей задачи. Есть точка, которая движется по окружности радиуса r с постоянной скоростью v. Окружность радиуса r, точка движется со скоростью v, скорость направлена по касательной к траектории. И необходимо найти угловую скорость радиуса-вектора этой точки, то есть угловую скорость r. Вообще, радиус-вектор — это твердое тело в полном смысле этого слова, потому что в процессе движения расстояние между точками радиус-вектора никак не меняется. Поэтому понятие угловой скорости для радиус-вектора применить можно. Как мы будем искать угловую скорость? Мы знаем скорости двух точек у радиус-вектора. Мы знаем скорость начала — это центр окружности, скорость равна 0 — и знаем скорость конечной точки, точка A. Как мы их свяжем? Для того чтобы связать скорости этих двух точек, воспользуемся формулой Эйлера. Она говорит, что скорость точки A можно вычислить при помощи скорости точки O следующим образом: добавив векторное произведение вектора угловой скорости на вектор OA. Чтобы пользоваться этой формулой, давайте введем вспомогательную систему координат, на которую и будем проецировать. Ось z — вертикально вверх, на нас, ось y — параллельно вектору скорости, ось x — вдоль радиус-вектора так, чтобы составлять правую тройку. Скорость точки A в этой системе координат записывается как [0, v, 0]. Скорость точки O равна 0, потому что это центр окружности. И осталось вычислить векторное произведение. У вектора угловой скорости будем считать, что все три компоненты неизвестны, то есть [ωx, ωy, ωz]. И векторно умножим на вектор OA. Вектор OA в этой системе координат имеет координаты [R, 0, 0]. Давайте вычислим векторное произведение. Первый элемент равен 0, второй элемент равен ωz * R, и третий элемент равен −ωy * R. Если сравнить правую и левую части выражения, то что мы видим? Что компонента угловой скорости по z равна v / R. Компонента угловой скорости по оси y равна 0. И мы ничего не можем сказать про компоненту угловой скорости по оси x. Почему так получилось? Как это можно объяснить на пальцах? На самом деле, действительно, радиус-вектор — это отрезок, это вырожденное твердое тело, мы ничего не знаем про его повороты вокруг его длины. Если мы знаем скорости двух точек, то они нам никак не ответят на вопрос, вращается ли как-то стержень, отрезок вокруг своей оси, длины. Как это можно показать другим образом, математически? Что у нас есть? У нас есть формула Эйлера, которая говорит, что если скорости двух точек известны, в смысле ну да, если известны скорости двух точек, то вектор угловой скорости мы можем попытаться определить из формулы Эйлера. Давайте выпишем через матрицу угловой скорости или через матрицу радиус-векторов. Если у нас есть скорости двух точек, то разница между ними по формуле Эйлера — это следующая вещь. Мы можем переписать это через кососимметричную матрицу для угловой скорости. Матрица угловой скорости будет выглядеть: −ωz, ωy, −ωx. И так как она кососимметричная, то на нижней диагонали те же элементы со знаком «−», то есть ωz, −ωy, ωx. И эту матрицу нужно умножить на вектор OA, то есть вектор с компонентами [rx, ry, rz]. Ну а в таком виде рассуждать не очень удобно, давайте перепишем чуть-чуть иначе. Вместо кососимметричной матрицы для угловой скорости сделаем кососимметричную матрицу для радиус-векторов. Можно проверить непосредственным вычислением и убедиться в том, что выражение выше полностью совпадает по результату с выражением, которое я сейчас выпишу: компонента радиус-вектора по оси z, минус компонента радиус-вектора по оси y, компонента радиус-вектора по оси x, здесь все так же и остается. Матрица кососимметричная, значит, следующие элементы со знаком «−». И если мы умножим это на компоненты вектора, на вектор угловой скорости — [ωx, ωy, ωz], то это будет точно так же равняться разности скоростей двух точек. То есть на самом деле это у нас алгебраическое уравнение, которое говорит, что вектор, состоящий из разницы скоростей — это некая матрица A умножить на вектор угловых скоростей. Что мы из этого выражения хотим найти? Мы хотим по известным разницам скоростей и по известной матрице A научиться вычислять вектор угловой скорости. По идее кажется, что ничего сложного, да? Три компоненты, три уравнения, три неизвестных — все должно определяться. Но если вспомнить теорию линейных уравнений, теорию линейных систем, то вы знаете, что если матрица A — вырожденная, то есть если детерминант матрицы A = 0, то у такой системы может быть бесконечно много решений либо вообще не существовать решений. Давайте в нашем случае посмотрим, чему равен детерминант. Можно непосредственным вычислением проверить и увидеть, что на самом деле он реально 0, то есть можно даже не выписывать. Вот. Что это значит? Что из теории алгебраических систем, так как матрица вырождена, то двух точек, двух скоростей нам недостаточно для того, чтобы определить все три компоненты вектора угловой скорости, что мы здесь, в принципе, и получили. Нам не хватило компонент. И на самом деле, здесь мы не привязывались к тому, что у нас только отрезок — это сделано в общем случае. Если у нас только две точки, то мы не сможем однозначно определить вектор угловой скорости, нам необходима третья точка с известной скоростью. Тогда мы сможем разрешить систему. Так, давайте для нашей задачи покажем, что если действительно взять еще какую-то третью точку, то угловая скорость определится. Что сделаем? Давайте дополнительно введем еще в точке A триэдр. То есть введем систему координат z’x’y’ и потребуем от этой системы координат, чтобы ось z’ всегда оставалась при движении параллельна сама себе, то есть чтобы скорости точек с координатами (0, 0, a) для любых a были равны скорости точки A. Скорость точки A, как и раньше, по касательной к траектории, она известна, она равна v. Даст ли нам это что-то новое, для того чтобы определить угловую скорость? Давайте проверим. Скорость любой точки на триэдре на оси z’ — обозначу ее таким вот образом — может быть вычислена из точки O, из скорости точки O, опять же по такой формуле, по формуле Эйлера. Что это скорость точки O плюс векторное произведение вектора угловой скорости умножить на вектор O, давайте я обозначу, A’. То есть A’ — это точка на оси z’ над точкой A. Как и раньше, скорость точки O у нас 0. Компоненты вектора ω мы определили каким образом? Что мы не знаем чему равно ωx, знаем, что ωy = 0, а ωz = v / R. И умножим векторно на вектор OA’. По оси x’ компонента этого вектора равна R, по оси y равна 0, и по z равна произвольному значению a. Вычислим векторное произведение. Первый элемент — 0, второй элемент — −ωx * a + v, и третий элемент — 0. Причем что мы требовали? Чтобы точка A’ на триэдре имела ту же самую скорость, что наша исходная точка на окружности, то есть [0, v, 0]. А отсюда теперь уже однозначно получаем, что третья компонента угловой скорости = 0. То есть что мы показали? Что трех точек достаточно для того, чтобы найти угловую скорость — трех точек, не лежащих на одной прямой, простите, достаточно, чтобы найти угловую скорость. И что мы сделали еще, на самом деле, когда ввели такой триэдр? Потребовав, что ось z’ остается все время параллельна сама себе, мы запретили на самом деле радиус-вектору поворачиваться вокруг своей оси. Вот так. Задача решена, спасибо.

Движение по окружности — задачи

Задача 1. За промежуток времени с тело прошло половину окружности радиусом 100 см. Найти среднюю путевую скорость и модуль средней скорости .

Решение: средней путевой скоростью называется средняя скорость прохождения пути, которую мы с вами вычисляем, деля весь путь (длину траектории) на все время. Модуль средней скорости еще называют средней скоростью по перемещению. Ее можно определить, разделив перемещение на время. Тогда длина пути – это длина половины окружности, а перемещение – длина диаметра.

   

   

Ответ: средняя путевая скорость – 0,314 м/с, средняя скорость по перемещению – 0,2 м/с

 

Задача 2. Однородный диск радиусом 0,5 м катится без проскальзывания со скоростью 2 м/с. Найти скорость точек диска . Найти геометрическое место всех точек диска,  скорость которых 2 м/с. Угол .

Скорость точек окружности

Решение:

Точка A – центр вращения. Поэтому ее скорость относительно поверхности, по которой катится диск, равна 0. Поскольку в условии сказано, что диск катится со скоростью 2 м/с, то это означает, что с такой скоростью относительно поверхности будет передвигаться его центр: м/с. Поэтому точка А относительно центра будет передвигаться с точно такой же скоростью – со скоростью 2 м/с, и это и будет линейная скорость вращения диска, то есть скорость всех точек, лежащих на его краю, относительно центра м/с.  Линейные скорости показаны для  точек оранжевыми стрелками. Эти стрелки показывают, какой была бы скорость данной точки, если бы диск не катился, а вращался бы, например, на оси, проходящей через его центр. Но наш диск катится. Поэтому к линейной скорости вращения каждой точки необходимо еще прибавить скорость движения диска относительно опоры. То есть к каждой рыжей стрелке прибавим (векторно) скорость точки О – центра диска – черную стрелку. Тогда-то и становится понятным, почему у точки скорость равна 0 – линейная скорость вращения направлена влево, а скорость качения – вправо, и поскольку они равны, то гасят друг друга: .  В точке C скорости, напротив, сложатся, поскольку они сонаправлены: м/с.

Определим теперь скорости точек и . Понятно, что они будут равны численно, но направлены в разные стороны.

   

   

Осталось разобраться с точкой . Сделаем еще один рисунок. Линейная скорость вращения всегда направлена по касательной, то есть перпендикулярно радиусу . Углы, которые образуются между векторами, показаны на рисунке, в том числе угол . Тогда в параллелограмме угол , а так как

, то все углы в треугольнике равны и он равносторонний, то есть м/с. Также можно было найти длину этого вектора скорости по теореме косинусов или складывая проекции векторов. Можно догадаться, что точка, симметричная точке E относительно A также имеет скорость, равную 2 м/с. Вообще точки, лежащие на одном и том же расстоянии от центра вращения A будут иметь равные скорости, линии равных скоростей (геометрические места точек с равными скоростями) показаны на рисунке различного цвета дугами: единственная точка (точка C) будет иметь скорость 4 м/с, точки, лежащие на рыжей дуне, будут иметь скорости, равные , точки, лежащие на синей дуге, будут иметь скорости, равные 2 м/с, как у точки E.

 

Пробуксовывание

Задача 3. Колесо, пробуксовывая, катится по ровной, горизонтальной дороге. Найти скорость центра колеса , если известно, что скорость нижней точки м/c, а верхней – м/c.

Решение:

Если колесо пробуксовывает, то это означает, что скорость его нижней точки не равна нулю, то есть его центр вращения – не точка касания поверхности, центр вращения будет расположен выше. Но центр вращения находится и не в центре колеса. Найти его можно, если провести вертикальный диаметр, построить вектора скоростей в масштабе, а затем, соединив концы векторов скоростей прямой линией, отметить точку пересечения этой линии с диаметром. У нас на рисунке это точка О. Точка К – центр колеса, его скорость нам и нужно найти. Из подобия треугольников и запишем отношения сходственных сторон:

   

Тогда

   

   

   

   

Тогда

Теперь обратимся к подобным треугольникам и . Для них отношение сходственных сторон равно:

   

   

   

Откуда м/с.

Ну а более простым решение было бы, если бы мы просто нашли среднее арифметическое скоростей, ведь точка, про которую нас спрашивают, лежит по центру между точками приложения векторов скоростей и , при этом не забываем о векторном сложении скоростей, берем скорость со знаком «минус»:

   

м/с.

Ответ: 4 м/с.

 

Проскальзывание

Задача 4. Обруч, проскальзывая, катится по горизонтальной ровной поверхности. В некоторый момент скорость верхней точки А м/с, а нижней точки  B м/с. Определить скорость концов диаметра , перпендикулярного к , для того же момента времени. Под какими углами они направлены к горизонту?

Решение:

Проскальзывание – это ситуация, когда скорость нижней точки (точки касания обручем земли) не нулевая, но направлена она в сторону качения. В этом случае центр вращения, так же, как и в случае пробуксовки, не совпадает с центром колеса. Более того, центр вращения даже не внутри колеса – он снаружи (точка О). Как и в предыдущей задаче, можно найти его таким же способом – проведя линию через концы скоростей и найдя ее пересечение с продолжением вертикального диаметра. И, точно так же, как в предыдущей задаче, можно определить скорость центра колеса как среднее арифметическое, только обе скорости направлены у нас теперь в одну сторону, поэтому ставим знак «плюс» перед обеими:

   

м/с.

Так как скорость точки есть результат векторного сложения линейной скорости вращения колеса и скорости поступательного движения центра колеса , то можем из этого сделать вывод, что линейная скорость вращения равна 2 м/с – ровно на столько скорость центра колеса, найденная нами, отличается от скорости точки , данной в условии задачи. Линейную скорость на рисунке не показывала, или показывала не везде. Скорости точек и равны численно, но направлены по-разному. Их скорости – также результат векторного сложения линейной скорости вращения колеса и скорости поступательного движения центра, а, так как эти две скорости перпендикулярны друг другу, то результат их сложения может быть найден по Пифагору:

   

Понятно, что раз скорости перпендикулярны друг другу, то являются катетами некоторого прямоугольного треугольника, и связывает их между собой функция тангенса, поэтому угол наклона к горизонту скорости точки можно найти как

   

Ответ: ,

 

Шарик катится по двум линейкам

Задача 5. Шарик радиусом см катится равномерно и без проскальзывания по двум параллельным линейкам, расстояние между которыми равно см, и за время с проходит см. С какими скоростями движутся верхняя и нижняя точки шарика?

На рисунке изображено, как двигается шарик, при этом для удобства показан как вид спереди, так и вид сбоку. Поскольку скорость шарика равна м/с, то эта скорость – скорость поступательного движения его центра масс – точки А. Центр вращения шарика находится в точке О – на уровне края линеек. Определим положение точки О – определим длину отрезка . Это легко сделать, зная радиус шарика и рассмотрев рисунок, из треугольника . Центр вращения в данный момент неподвижен, а точка А двигается относительно него со скоростью 0,6 м/с. Поэтому скорость нижней точки   будет

   

   

Таким же способом определяем скорость верхней точки :

   

   

Ответ: скорость нижней точки 0,15 м/c, скорость верхней 1,35 м/c.

 

Задача 6.  Автомобиль движется по закругленному шоссе, имеющему радиус кривизны м. Закон движения автомобиля имеет вид: , где м, м/с, м/с. Найти скорость автомобиля , его тангенциальное  , нормальное и полное ускорения в момент времени с.

Решение.

Путь:

   

Производная пути – линейная скорость:

   

Вторая производная – тангенциальное ускорение:

   

Нормальное ускорение:

   

Полное ускорение:

   

 

Задача7. Угол поворота диска радиусом см  изменяется со временем по закону . Определить зависимости от времени угловой скорости, углового ускорения и линейной скорости точек диска.

Решение: угловая скорость – производная угла:

   

Угловое ускорение – производная угловой скорости:

   

Линейная скорость:

   

 

Задача 8.  Точка движется по окружности с постоянным угловым ускорением рад/. Найти угол между скоростью и ускорением  через 1 с после начала движения. Начальная скорость точки равна 0.

Решение: так как тангенциальное ускорение и линейная скорость совпадают по направлению, то определим обе составляющие ускорения: как нормальную, так и тангенциальную. Угол между полным ускорением и его тангенциальной составляющей можно тогда будет найти через функцию тангенса.

Известно, что нормальное ускорение  , тангенциальное ускорение . При этом , или . Тогда

Искомый угол:

   

Ответ:

Два концентрических колеса

Задача 9. Два концентрических колеса радиусами см и см вращаются с угловыми скоростями рад/c и рад/с соответственно. Между ними зажато третье колесо так, как показано на рисунке. Какова угловая скорость этого колеса вокруг собственной оси?  Проскальзывания нет.

Решение: определим радиус маленького (третьего) колеса, м:

   

Определим линейную скорость точек первого колеса:

   

Определим линейную скорость точек второго колеса:

   

Найдем угловую скорость маленького колеса, зная, что линейная скорость его точек равна линейной скорости больших колес, так как проскальзывания нет:

   

Ответ: 20 рад/с

 

Задача 10. Гайку закручивают на болт за время . Длина болта , резьба составляет угол с плоскостью гайки. Найдите угловую скорость гайки, если радиус болта равен .

Скорость вращения гайки по ходу завинчивания на болт

Решение: при закручивании гайка не только вращается, но и движется вдоль болта поступательно, например, спускается вниз. Поэтому точка, взятая на ребре гайки, будет обладать двумя составляющими скорости: скорость, с которой она будет двигаться вниз вдоль болта (назовем ее ) и скорость, с которой эта точка вращается – это уже знакомая нам линейная скорость (). Тогда .

Из рисунка видно, что

   

   

С другой стороны, так как длина болта , а гайка спускается по нему за время , то

   

Тогда

   

И можно определить :

   

Тогда

   

Ответ:

 

Сборник задач абитуриенту. КИНЕМАТИКА. Равномерное движение по окружности. Тема 4-1

          

КИНЕМАТИКА. Равномерное движение по окружности. Тема 4-1

1. Линейная скорость точек обода вращающегося колеса равна 50 см/с, а линейная скорость его точек, находящихся на 3 см ближе к оси вращения, равна 40 см/с. Определите радиус (в см) колеса.

Ответ

2. Два шкива соединены ременной передачей. Ведущий шкив делает 600 об/мин. Ведомый шкив должен делать 3000 об/мин. Каким нужно сделать диаметр (в см) ведущего шкива, если диаметр ведомого колеса 10 см?

Ответ

3. Колесо катится без проскальзывания по горизонтальной дороге со скоростью 1 м/с. Определите скорость точки колеса лежащей на верхнем конце вертикального диаметра.

Ответ

4. Минутная стрелка часов в три раза длиннее секундной. Каково отношение линейных скоростей концов этих стрелок?

Ответ

5. Одно колесо равномерно вращается, совершая 50 оборотов в секунду. Второе колесо, равномерно вращаясь, делает 500 оборотов за 30 секунд. Во сколько раз угловая скорость первого колеса больше, чем второго?

Ответ

6. За сколько секунд колесо, вращаясь равномерно с угловой скоростью 4$\pi$ рад/с, сделает 100 оборотов?

Ответ

7. Угловая скорость лопастей вентилятора 20$\pi$ рад/с. Найдите число оборотов за 10 минут.

Ответ

8. На плоскости диска проведена прямая от его центра к краю по радиусу. Диск начал равномерно вращаться, при этом прямая повернулась на угол (2/3)$\pi$ радиан за 7 c. Найдите период обращения диска.

Ответ

9. С какой угловой скоростью вращается колесо, если линейная скорость точек его обода равна 0,5 м/с, а линейная скорость точек, находящихся на 4 см ближе к оси вращения, равны 0,3 м/с.

Ответ

10. Минутная стрелка часов на 20 % длиннее секундной. Во сколько раз линейная скорость конца секундной стрелки больше, чем конца минутной стрелки?

Ответ

11. При равномерном подъеме груза с помощью лебедки, диаметр барабана которой 18 см, скорость подъема груза равна 0,9 м/с. Найдите угловую скорость вращения барабана лебедки.

Ответ

12. Пуля, выпущенная из винтовки, попадает во вращающийся с частотой 50 об/с тонкостенный цилиндр диаметром 20 см. Найдите скорость пули, если выстрел произведен в направлении диаметра цилиндра, а к моменту вылета пули из цилиндра входное отверстие сместилось на 1 см. $\pi$ = 3,14.

Ответ

13. Во сколько раз линейная скорость точки поверхности Земли, лежащей на широте 600, меньше линейной скорости точки, лежащей на экваторе?

Ответ

14. Определите величину центростремительного ускорения точки, движущейся по окружности с угловой скоростью 16 рад/с и линейной скоростью 2 м/с.

Ответ

15. Во сколько раз увеличится центростремительное ускорение точек обода колеса, если период обращения колеса уменьшить в 5 раз?

Ответ

16. Какова линейная скорость конца минутной стрелки часов на Спасской башне Московского Кремля, если длина стрелки 3,5 м? Сравните угловую скорость этой стрелки с угловой скоростью минутной стрелки наручных часов.

Ответ

17. Колесо вращается вокруг неподвижной оси, проходящей через центр. Обладает ли любая точка на ободе колеса тангенциальным и нормальным ускорениями, если вращение происходит: а) с постоянной угловой скоростью; б) с постоянным угловым ускорением? Изменяются ли при этом модули этих ускорений?

Ответ

18. Точка движется по окружности с постоянной по модулю скоростью 0,5 м/с. За 2 с вектор скорости изменяет свое направление на 300. Чему равно центростремительное ускорение?

Ответ

19. При равномерном движении по окружности тело проходит 5 м за 2 c. Определите модуль центростремительного ускорения тела, если период обращения тела равен 5 c.

Ответ

20. Период обращения одного колеса вдвое меньше периода вращения другого колеса, а его радиус втрое больше радиуса вращения другого колеса. Во сколько раз отличаются их центростремительные ускорения?

Ответ

21. Колесо радиусом 0,5 м равномерно вращается вокруг своей оси. Найти ускорение одной из точек его обода, если колесо за время 10 c совершит 120 оборотов.

Ответ

22. На сколько километров орбита первого спутника Земли короче орбиты третьего спутника, если средние радиусы их орбит отличаются на $\Delta$R = 410 км?

Ответ

23. Найти линейную скорость Луны, обусловленную ее обращением вокруг Земли. Период вращения Луны (синодический месяц) Т = 27,3 сут. Расстояние Земля – Луна R = 3,84$\cdot$105 км.

Ответ

24. Корабль-спутник совершил N = 64 оборота вокруг Земли за t = 95 ч. Определить среднюю скорость полета v. Орбиту корабля можно считать круговой и отстоящей от поверхности Земли на h = 230 км.

Ответ

25. Равномерно движущаяся по окружности точка делает полный оборот за T = 5 с. Чему равна угловая скорость точки $\omega$? Чему равен угол поворота точки за время $\Delta$t = 2 с?

Ответ

26. Скорость точек рабочей поверхности шлифовального круга не должна превышать v = 100 м/с. Найти предельную частоту вращения круга n, диаметр которого d = 40 см. Определить нормальное ускорение an точек рабочей поверхности круга.

Ответ

27. Большой шкив ременной передачи имеет радиус R1 = 32 см и вращается с частотой n1 = 120 об/мин. Малый шкив имеет радиус R2 = 24 см. Найти угловую скорость, число оборотов в секунду малого шкива и линейную скорость точек ремня, который движется без проскальзывания.

Ответ

16,8; 160 об/мин; 4,02

28. Найти радиус R вращающегося колеса, если известно, что линейная скорость точек обода колеса в k = 2,5 раза больше линейной скорости точки, лежащей на расстоянии d = 5 см ближе к оси колеса.

Ответ

29. Небольшое тело движется по окружности радиуса R = 1 м. Определить модуль перемещения за время, в течение которого тело делает: а) оборот; б) 1/2 оборота; в) 1/4 оборота; г) тело поворачивается на угол $\alpha$ = 600.

Ответ

Задача по физике — 11633

2019-11-22   
На горизонтальной плоскости находятся две одинаковые тонкостенные трубы массы $m$ каждая. Оси их параллельны, а радиусы равны $R$. Вначале одна из труб покоится, а вторая катится без проскальзывания по направлению к первой до столкновения. Скорость поступательного движения трубы равна $v$. Как зависят от времени (нарисуйте графики) скорости поступательного движения и угловые скорости вращения труб?
Коэффициент трения скольжения труб и горизонтальную поверхность равен $k$, трение между трубами при столкновении пренебрежимо мало, удар абсолютно упругий.

Решение:

Так как трение между трубами пренебрежимо мало, то можно считать, что при соударении труб вращение одной из них но передается второй. Поэтому, рассматривая соударение труб, мы можем не учитывать вращение первой (первоначально движущейся) трубы.

Запишем для столкновения труб законы сохранения энергии и импульса

$mv_{0} = mv_{1} + mv_{2}, \frac{mv_{0}^{2} }{2} = \frac{mv_{1}^{2} }{2} + \frac{mv_{2}^{2} }{2}$

($v_{1}$ и $v_{2}$ — скорости поступательною движения соответственно первой н второй труб после соударения).

Решая эти уравнения совместно, найдем, что $v_{1} = 0$ и, $v_{2} = v_{0}$, то есть при соударении грубы обмениваются скоростями поступательного движения — точно так же, как при соударении двух одинаковых шариков.

Рассмотрим теперь, что будет происходить с первой, первоначально двигавшейся трубой после удара. В системе координат, связанной с осью трубы, катящейся без проскальзывания по плоскости со скоростью $v_{0}$, скорость точки, касающейся плоскости, равна $- v_{0}$. Это означает, что такая труба вращается вокруг своей оси так, что линейная скорость вращения точек ее поверхности равна по величине скорости поступательного движения оси трубы. Поэтому первая труба после столкновения вращается вокруг своей оси с угловой скоростью $\omega = \frac{ v_{0} }{R}$.

Сила трения $F_{тр} = kmg$ (рис.), действующая на эту трубу, замедляет ее вращение и одновременно сообщает ей ускорение $a = \frac{F_{тр} }{m} = kg$ в направлении первоначального движения трубы. { \prime}$ уже не будут меняться. Из условия $kgt_{0} = v_{0} — kgt_{0}$ найдем, что $t_{0} = \frac{v_{0} }{2kg}$. В этот момент

$u_{1} = \frac{v_{0} }{2}$ и $\omega_{1} = \frac{v_{0} }{2}$.

Рассматривая аналогично движение второй трубы, найдем, что действующая на нее сила трения уменьшает скорость ее поступательного движения, $u_{2} = v_{0} — kgt$, и увеличивает угловую скорость вращения $\omega_{2} = \frac{kgt}{R}$. К моменту $= \frac{v_{0} }{2kg}$ проскальзывание трубы относительно плоскости прекратится. Ь этот момент груба будет иметь нс меняющиеся в дальнейшем скорость поступательного движения $u_{2} = \frac{v_{0} }{2}$ и угловую скорость вращения вокруг оси $\omega_{2} = \frac{v_{0} }{2R}$.

Графика зависимости скоростей поступательного движения труб и их угловых скорости вращения от времени показаны на рисунке.

Угловые эффекты / Хабр

Добрый день, дорогой читатель! Это вторая переводная статья из цикла статей о создании физического движка авторства Chris Hecker. Если Вы ещё не ознакомились с первой, то рекомендую это сделать, т. к. всё сразу станет понятнее. Большое спасибо за поддержку первого перевода: это очень стимулирует работать дальше и больше! Приятного чтения!

Только что я захотел подпереть дверь чем-нибудь тяжёлым, чтобы ко мне не вошёл злоумышленник. Неужели я многого прошу? Я хочу, чтобы его машина перевернулась и взорвалась в определенным месте. Я хочу, чтобы огромные шестерни заело перед тем, как меня расплющит. И я хочу наспех построить штуку, похожую на качели, для того, чтобы катапультировать милый пылающий подарок через крепостную стену замка. Кто же может мне помешать воплотить это всё в реальность? Вы предположите, что мой соперник в игровом мире, но в действительности – программист физического движка, потому что в основе всего вышеперечисленного лежит угловой эффект. Можно пересчитать по пальцам те игры, где реализованы угловые эффекты, не говоря уж о том, чтобы найти хотя бы одну, в которой это сделано правильно.

Основная причина, почему угловые (или иначе вращательные) эффекты не реализованы в играх на сегодняшний день – это то, что программисты считают, что физика, описывающая вращательное движение, слишком сложная для понимания и воплощения в реальность. На уроках физики в старшей школе (где мы все узнали второй закон Ньютона) обычно не рассказывают о вращательных эффектах, и это не совсем очевидно, как перейти от силы, приложенной к объекту, ко вращению этого объекта. Конечно, динамика вращательного движения немного труднее для понимания, чем динамика линейного движения, но она проще, чем кажется. Любой, кто может создать физический движок в соответствии с тем материалом, что представлен в первой статье цикла, справится и с тем, чтобы включить в него угловые эффекты, описанные в этой статье. Есть надежда, что после публикации данной статьи мир наполнится играми, которые используют все возможности и преимущества угловых эффектов, или, по меньшей мере, вы сможете создать игру, в которой вы, выгнувшись, выстрелите в ногу вашего друга в смертельном бою.

Краткое повторение

Несмотря на то, что каждая моя статья на какую-то единственную тему, я всегда перечитываю то, что написал ранее, для того, чтобы понять, где закончил. Я только что посмотрел свою первую статью о физике, и я в восторге: мы успели выучить так много, и притом, ни разу не писали программный код и не читали дополнительную литературу! Прежде, чем начнем, давайте освежим в памяти материал из последней статьи.

Таблица 1 содержит важнейшие выводы для динамики твердых тел. Из Уравнения 1 следует, что вектор коодинаты ( r ), вектор скорости (v), и вектор ускорения (a) связаны производными (и интегралами, если читать в обратном порядке). Как напоминание – мы отмечаем дифференцирование по времени штрихом (r’). r’ – это то же самое, что dr/dt, а r’’ – это то же, что и вторая производная по времени. Из Уравнения 2 следует, что сила связана с линейным импульсом (произведение массы на скорость), массой, и ускорением. Определение центра масс можно почерпнуть из Уравнения 3 (это точка, где все массы и расстояния уравновешивают друг друга). Уравнение 4 гласит, что полный линейный импульс твердого тела – это сумма всех его импульсов, которые, к нашей удаче, просто равны импульсу центра масс (CM). Уравнение 5 – это настоящий драгоценный камень. В нем используется Уравнение 4 для демонстрации того, что ускорение центра масс объекта связано с полной силой (вектором суммы всех сил, действующих на объект в данное время) посредством скалярной величины, массы объекта.

Подведем итоги всему, что описано в первой статье: мы узнали, что общая сила, действующая на наш центр масс, равна сумме всех сил, приложенных к телу (включая силу гравитации, фуру злодея, взрыв неподалёку, импульс тяги нашего двигателя и т. д.). После мы разделили этот вектор суммы на массу тела для того, чтобы получить ускорение CM, и затем интегрировали ускорение по времени, чтобы получить скорость и координату тела.

Уравнение 5 – это просто шедевр! Вы увидите, что в нём нет понятия точек приложения сил к телу, а это является ключевым моментом для определения, как тело будет вращаться под их действием. Уравнение 5 правильное. В действительности, оно превосходно подходит для нахождения линейного ускорения. Мы упускаем половину дела. Но всё по порядку…

Каков твой угол?

В первой статье игнорировалось вращение, поэтому нам были необходимы лишь радиус-вектор и его производная для описания конфигурации нашего тела в 2D. Теперь добавим еще одну величину кинематики, ориентацию (обозначается заглавной буквой омега – Ω), для того, чтобы работать с угловыми эффектами. Для того, чтобы задать Ω, нам необходимо выбрать систему координат относительно твёрдого тела и систему координат игрового мира, и величина Ω будет равна разнице углов между ними в радианах, как показано на Рисунке 1.

Рисунок 1. Определение Ω

На рисунке оси xw, yw – оси координат игрового мира, а xb, yb – оси координат твердого тела. Ω больше 0, если считать против часовой стрелки. Здесь важно прояснить, почему мы изучаем динамику двумерного мира прежде, чем перейти в трёхмерный: ориентация в 2D – это скалярная величина (угол между системами координат в радианах), тогда как определение ориентации в трехмерном мире гораздо труднее. 2}} = {dω \over {dt}} = ω’= α$$display$$

Уравнение 6

Как и в Уравнении 1, мы дифференцируем ω по времени, чтобы получить α; и если мы интегрируем α по времени, получаем ω и т. д. Все по аналогии с предыдущей статьей: зная угловое ускорение α, мы можем дважды проинтегрировать его, чтобы получить новую ориентацию. Но ключевой момент здесь – надо знать величину α.

Как можно предположить, наша цель на эту статью – вывести угловой аналог для каждого из линейных уравнений в Таблице 1, и затем, учтя линейные и угловые уравнения и силу, приложенную к объекту, мы можем подсчитать его линейное ускорение a и угловое ускорение α. Наконец, мы можем численно проинтегрировать эти ускорения для нахождения новых позиции и ориентации нашего тел.

Для начала свяжем линейные и угловые величины вместе. А это довольно неочевидная проделка, в которой используется угловая скорость. При подсчетах в динамике нам нередко надо найти скорость произвольной точки объекта. Например, когда мы рассчитываем столкновения твердых тел, надо знать скорость столкнувшихся точек для того, чтобы понять, как сильно они ударили друг по другу. B. Говоря русским языком, Уравнение 7 показывает, что Скорость точки вращающегося тела вычисляется умножением перпендикулярного вектора, проведённого из центра вращения, на угловую скорость. Как я это понял? Что ж, я прочел об этом в книге, но, очевидно, что такого объяснения недостаточно, поэтому докажем, что это истина.

Докажем истинность выводов из Уравнения 7 в два этапа. Сначала докажем, что величина результирующего вектора скорости правильная; затем – что его направление правильное. Для первой части доказательства рассмотрим Рисунок 2.

Рисунок 2. C = Ωr

Рисунок 2 демонстрирует вращение точки B на угол, равный Ω радиан по ходу вращения твердого тела с радиус-вектором длины r, направленным из центра вращения тела O в точку B. B прошла длину дуги C, где C = Ωr из определения радианов. (Радианная мера угла – это мера дуги, ограниченной радиусом окружности. Длина окружности C = 2πr, потому что радианная мера дуги окружности – это 2π [или 360 градусов]).

Скорость точки – это изменение ее координаты по времени. OB – это радиус-вектор, направленный из O к B. Фух, мы на полпути.

Для того, чтобы удостовериться в правильности направление вектора скорости в Уравнении 7, начнем того, что убедимся в том, что вектор скорости должен быть перпендикулярен к радиус-вектору. Это предположение понятно интуитивно, потому что точка, вращающаяся вокруг какой-либо другой заданной точки, может двигаться только перпендикулярно вектору между этими точками. Она не может приблизиться к центру вращения или отдалиться от него, или это движение попросту перестанет быть вращением. Можем подкрепить наше предположение расчетами для векторов, но я зажат в определенные рамки по объему статьи, поэтому будем считать, что наше предположение правильное. (Если вы горите желанием доказать это самостоятельно, продифференцируйте скалярное произведение вектора фиксированной длины на самого себя.)

Наконец, мы должны убедиться, что вектор обозначен правильно, т. к. на рисунке представлены два вектора, равной длины, перпендикулярных радиусу: v и -v. B (синус – это еще один ключ к разгадке связи между векторным и скалярным произведением). Уравнение 10 даёт меру того, какая часть импульса точки B «смотрит» во «вращательном направлении» относительно точки A.

Также, как мы использовали производную линейного импульса для определения силы, мы будем использовать производную момента импульса для определения углового близнеца силы – момента силы (обозначается строчной буквой тау – τ).

Уравнение 11

Для экономии места я немного смухлевал в Уравнении 11, пропустив пару трудных шагов, которые включают в себя нахождение производных. Из всего вышесказанного следует, что момент силы связан с силой в определенной точке посредством скалярного произведения.

Наконец, мы получили уравнение динамики, в котором используется точка приложения силы, которая ранее игнорировалась в уравнениях линейного импульса. В Уравнении 11 используется скалярное произведение с перпендикуляром как мера того, какая часть силы, приложенной к точке B, «вращает вокруг» точки A; эта «вращательная сила» называется моментом силы. A α$$display$$

Уравнение 14

Это уравнение – угловой эквивалент Уравнения 5; по факту, это F = ma для угловой динамики. Это уравнение связи полного момента силы и угловое ускорение тела посредством скалярного момента инерции. Если мы знаем момент силы, оказываемой на наше тело, мы можем найти его угловое ускорение, а дальше – угловую скорость и ориентацию в пространстве посредством интегрирования – поделив момент силы на момент инерции.

Алгоритм динамики

Он с трудом видится нам через этот вихрь уравнений, но все они – его составная часть. Мы вывели достаточно уравнений для того, чтобы получить великолепную динамику двумерного мира с произвольно заданными силами и моментами сил, перемещающими и вращающими наши объекты. Как же использовать эти уравнения? Ниже представлен базовый алгоритм:

  1. Найти величину центра масс и момент инерции в центре масс.
  2. Задать начальные координаты тела, его ориентацию в пространстве, его линейную и угловую скорости.
  3. Учесть все силы, действующие на тело и точки их приложения.
  4. Найти равнодействующую всех сил и разделить ее на массу тела для того, чтобы найти линейное ускорение центра масс (Уравнение 5).
  5. Для каждой силы построить скалярное произведение с перпендикуляром между вектором, направленным из центра масс в точку приложения силы, и вектором приложенной силы, добавить эту величину в полный момент силы в уравнении центра масс (Уравнение 11).
  6. Найти частное для полного момента силы и момента инерции в центре масс для нахождения углового ускорения (Уравнение 14).
  7. Численно интегрировать линейное ускорение и угловое ускорение для обновления координаты, линейной скорости, ориентации в пространстве и угловой скорости (смотри последнюю статью).
  8. Отрисовать объект в полученной координате, и перейти к Шагу 3.

В алгоритме выше есть лишь два шага, которые я не объяснил. Во-первых, как подсчитать момент инерции в Шаге 1 для сплошного объекта? Во-вторых, как решить проблему с силами из Шага 3? Ответ на первый вопрос может быть найден в простом примере кода, который я оставлю в приложении в конце этой статьи (вы выполните интегрирование объекта по его площади). Множество книг по динамике содержат рассчитанный момент инерции для часто встречающихся форм объектов в приложении в самом конце, поэтому вам не придется каждый раз выводить их самостоятельно.

Ответ на вопрос, как подсчитать силы из Шага 3, зависит от приложения, но немного общих рекомендаций я дам. Во-первых, такие силы, как гравитация, всегда направленные в одну сторону (вниз, в случае с гравитацией), не создают момент силы, т. к. они тянут все точки в одно и то же время в одном направлении, хотя мы и прикладываем эти силы напрямую к центру масс. Силы, подобные силе упругости, приложены к определенной точке объекта, они создадут момент силы, поэтому рассматриваем их в общем случае. Как мы увидели в первой статье, сила трения – это та же сила, направленная в противоположную от скорости тела сторону.

Вы можете сделать простую физическую модель, демонстрирующую силу трения, и просто приложить силу к центру масс, или вы можете выбрать, к каким частям объекта будут приложены силы трения, и сделать это, что может создать момент силы, действующий на объект. Силы, которые тела испытывают при столкновениях, немного труднее, и мы познакомимся с ними в следующей статье. Силы, подобные тяге ракетного двигателя, нужно рассматривать, как силы с точкой приложения (вы этом случае, если один из двигателей откажет, вы начнете крутиться вокруг своей оси до тех пор, пока не отрегулируете руль, чтобы обеспечить уравновешивание момента силы!). Если вы хотите что-то, похожее на гравитационные лучи из НЛО, то эта сила должна рассчитываться, как сила гравитации и не создавать момент силы, или она должна быть приложена к определенной точке объекта, и он будет вращаться вокруг этой точки, пока поднимается ввысь? Выбор за вами. Ключевой момент – не бояться экспериментировать с различными силами, рассчитанными разными способами, ведь уже сейчас у вас есть настоящий симулятор двумерной графики, попробуйте разные виды сил!

Я оставил весь необходимый вам код и ссылки на своем веб-сайте, потому что здесь закончилось свободное место. В своем простом приложении я воплотил в жизнь алгоритм динамики двумерного мира, а также добавил объекты, скрепленные пружиной; они вращаются вокруг своей оси, и иногда даже сталкиваются со стенами, крутсясь. Но об этом я расскажу в другой раз. Перейдите по ссылке за дополнительной литературой и простым приложением для Windows 32 и Macintosh.

Очень редко Chris Hecker испытывает на себе действие момента инерции, но обычно это проходит и довольно быстро. Силы можно прикладывать к [email protected]

Примечания переводчика: здесь представлена игра слов, обыгрывается тема статьи и ее содержание.

P.S. Обратная связь приветствуется. Ваши комментарии позволяют повысить качество работ. Спасибо!

P.P.S. Автор перевода выражает отдельную благодарность пользователям berez и Василий Терешков за правки перевода. Спасибо!

1.4: Скорость и угловая скорость

Длина дуги по окружности

В разделе 1.3 мы узнали, что величина угла в радианах равна длине дуги единичной окружности, связанной с этим углом. Таким образом, дуга длины 1 на единичной окружности образует угол в 1 радиан. Бывают моменты, когда также будет полезно знать длину дуг на других кругах, которые образуют тот же угол.

Рисунок \ (\ PageIndex {1} \): Дуги, заключенные под углом в 1 радиан.

На рисунке \ (\ PageIndex {1} \) внутренний круг имеет радиус 1, внешний круг имеет радиус \ (r \), а показанный угол имеет меру \ (\ theta \) радиан. . Таким образом, длина дуги на единичной окружности, образуемой углом, равна \ (\ theta \), и мы использовали s, чтобы представить длину дуги на окружности радиуса \ (r \), образуемой этим углом.

Напомним, что длина окружности радиуса \ (r \) равна \ (2 \ pi r \), а длина окружности круга радиуса 1 равна \ (2 \ pi \).Следовательно, отношение длины дуги \ (s \) на окружности радиуса \ (r \), которая образует угол в \ (\ theta \) радиан к соответствующей дуге единичной окружности, равно \ (\ dfrac {2 \ pi r} {2 \ pi} = r \). Отсюда следует, что

\ [\ dfrac {s} {\ theta} = \ dfrac {2 \ pi r} {\ pi} \]

\ [s = r \ theta \]

Определение

На окружности радиуса \ (r \) длина s дуги, пересекаемая центральным углом с радианами, равна

.

\ [s = r \ theta \]

Примечание

Важно помнить, что для расчета длины дуги необходимо измерить центральный угол в радианах.

(Непонятно, почему буква \ (s \) обычно используется для обозначения длины дуги. Одно из объяснений состоит в том, что дуга «расширяет» угол.)

Упражнение \ (\ PageIndex {1} \)

Использование кружков в начале действия для этого раздела:

  1. Используйте формулу для длины дуги, чтобы определить длину дуги на окружности радиусом 10 футов, которая образует центральный угол в \ (\ dfrac {\ pi} {2} \) радиан. Результат равен одной четверти длины окружности?
  2. Используйте формулу для длины дуги, чтобы определить длину дуги на окружности радиусом 20 футов, которая образует центральный угол в \ (\ dfrac {\ pi} {2} \) радиан.\ circ}) = \ dfrac {11 \ pi} {90} \) и \ [s = r \ theta = (3ft) \ dfrac {11 \ pi} {90} \] \ [s = \ dfrac {11 \ pi} {30} \] Длина дуги составляет \ (\ dfrac {11 \ pi} {30} \) футов или около \ (1. 1519 \) футов.

Почему радианы?

Градусы знакомы и удобны, так почему же мы вводим единицы радиан? Это хороший вопрос, но на него есть тонкий ответ. Как мы только что видели, длина \ (s \) дуги на окружности радиуса \ (r \), образуемой углом в \ (\ theta \) радиан, равна \ (s = r \ theta \), поэтому \ (\ theta = \ dfrac {s} {r} \).В результате радиан — это отношение двух длин (отношение длины дуги к радиусу окружности), что делает радиан безразмерной величиной. Таким образом, измерение в радианах можно рассматривать как действительное число. Это удобно для работы с длиной дуги (и угловой скоростью, как мы вскоре увидим), а также будет полезно при изучении периодических явлений в главе 2. По этой причине радианная мера повсеместно используется в математике, физике и технике как в отличие от степеней, потому что, когда мы используем градусную меру, мы всегда должны учитывать градусное измерение в вычислениях.Это означает, что радианы на самом деле более естественны с математической точки зрения, чем градусы.

Линейная и угловая скорость

Связь между дугой на окружности и углом, который она образует, измеряемым в радианах, позволяет нам определять величины, связанные с движением по окружности. Объекты, движущиеся по круговым траекториям, обладают двумя типами скорости: линейной и угловой скоростью . Подумайте о вращении на карусели. Если вы уроните камешек с края движущейся карусели, он не упадет прямо вниз.Вместо этого он продолжит двигаться вперед со скоростью, которую имела карусель в тот момент, когда камешек был выпущен. Это линейная скорость гальки. Линейная скорость измеряет, как длина дуги изменяется во времени.

Рассмотрим точку \ (P \), движущуюся с постоянной скоростью по окружности радиуса \ (r \). Это называется равномерным круговым движением . Предположим, что P перемещается на расстояние s единиц за время \ (t \). Линейная скорость v точки \ (P \) — это расстояние, которое она преодолела, деленная на прошедшее время. То есть \ (v = \ dfrac {s} {t} \). Расстояние s — это длина дуги, и мы знаем, что \ (s = r \ theta \).

Определение: линейная скорость

Рассмотрим точку \ (P \), движущуюся с постоянной скоростью по окружности радиуса \ (r \). Линейная скорость \ (v \) точки \ (P \) равна

\ [v = \ dfrac {s} {t} = \ dfrac {r \ theta} {t} \]

где \ (\ theta \), измеренный в радианах, — это центральный угол, образованный дугой длиной \ (s \).

Другой способ измерить, насколько быстро объект движется с постоянной скоростью по круговой траектории, называется угловой скоростью. В то время как линейная скорость измеряет, как длина дуги изменяется во времени, угловая скорость является мерой того, насколько быстро изменяется центральный угол во времени.

Определение: угловая скорость

Рассмотрим точку P, движущуюся с постоянной скоростью по окружности радиуса r по дуге, соответствующей центральному углу измерения \ (\ theta \) (в радианах). Угловая скорость \ (\ omega \) точки — это радианная мера угла \ (\ theta \), деленная на время t, необходимое для того, чтобы охватить этот угол. То есть

\ [\ omega = \ dfrac {\ theta} {t}. \]

Примечание

Символ \ (\ omega \) — это строчная греческая буква «омега». Также обратите внимание, что угловая скорость не зависит от радиуса r.

Это несколько специализированное определение угловой скорости, которое немного отличается от обычного термина, используемого для описания скорости вращения точки по окружности.Этот срок составляет оборотов в минуту или оборотов в минуту . Иногда используется блок оборотов в секунду . Лучший способ представить количество оборотов в минуту — использовать «дробную часть» \ (\ dfrac {rev} {min} \). Поскольку 1 оборот равен \ (2 \ pi \) радианам, мы видим, что если объект min движется со скоростью x оборотов в минуту, то

\ [\ omega = x \ dfrac {rev} {min} \ cdot \ dfrac {2 \ pi rad} {rev} = x (2 \ pi) \ dfrac {rad} {min}. \]

Упражнение \ (\ PageIndex {2} \)

Предположим, круглый диск вращается со скоростью 40 оборотов в минуту.Мы хотим определить линейную скорость v (в футах в секунду) точки, находящейся на расстоянии 3 футов от центра диска.

  1. Определите угловую скорость \ (\ omega \) точки в радианах в минуту. Подсказка : Используйте формулу \ [\ omega = x \ dfrac {rev} {min} \ cdot \ dfrac {2 \ pi rad} {rev}. \]
  2. Теперь мы знаем \ (\ omega = \ dfrac {\ theta} {t} \). Поэтому используйте формулу \ (v = \ dfrac {r \ theta} {t} \), чтобы определить \ (v \) в футах в минуту.
  3. Наконец, преобразуйте линейную скорость v из футов в минуту в футы в секунду.
Ответ

1. Мы видим, что

\ [\ omega = 40 \ dfrac {rev} {min} \ times \ dfrac {2 \ pi \ space rad} {rev} \]
\ [\ omega = 80 \ pi \ dfrac {rad} {min} \ ]

2. Результат части (а) дает

\ [v = r (\ dfrac {\ theta} {r}) = r \ omega \]
\ [v = (3ft) \ times 80 \ pi \ dfrac {rad} {min} \]
\ [v = 240 \ pi \ dfrac {ft} {min} \]

3. Теперь мы переводим футы в минуту в футы в секунду.

\ [v = 240 \ pi \ dfrac {ft} {min} \ times \ dfrac {1 \ space min} {60 \ space sec} \]
\ [v = 4 \ pi \ dfrac {ft} {sec} \ около 12.566 \ dfrac {ft} {sec} \]

Обратите внимание, что в упражнении 1.18 после определения угловой скорости мы смогли определить линейную скорость. То, что мы сделали в этом конкретном случае, мы можем сделать в целом. Существует простая формула, которая напрямую связывает линейную скорость с угловой скоростью. Наша формула для линейной скорости: \ (v = \ dfrac {s} {t} \ dfrac {r \ theta} {t} \). Обратите внимание, что мы можем записать это как \ (v = r \ dfrac {\ theta} {t} \). То есть \ (v = r \ omega \)

Примечание

Рассмотрим точку \ (P \), движущуюся с постоянной (линейной) скоростью \ (v \) по окружности окружности радиуса \ (r \).Если угловая скорость равна \ (\ omega \), то

\ [v = r \ omega \]

Итак, в упражнении 1. 18, когда мы определили, что \ (\ omega = 80 \ pi \ dfrac {rad} {min} \), мы можем определить v следующим образом:

\ [v = r \ omega = (3 \ space ft) (80 \ pi \ dfrac {rad} {min} = 240 \ pi \ dfrac {ft} {min}). \]

Обратите внимание, что, поскольку радианы «без единиц измерения», мы можем отбросить их при работе с уравнениями, такими как предыдущее.

Пример \ (\ PageIndex {1} \): линейная и угловая скорость

LP (долгоиграющая) или виниловая пластинка со скоростью 331 об / мин — это аналоговый носитель для хранения звука, который долгое время использовался для прослушивания музыки.LP обычно имеет диаметр 12 или 10 дюймов. Чтобы работать с нашими формулами для линейной и угловой скорости, нам нужно знать угловую скорость в радианах в единицу времени. Для этого мы переведем \ (33 \ dfrac {1} {3} \) оборотов в минуту в радианы в минуту. Мы будем использовать тот факт, что \ (33 \ dfrac {1} {3} = \ dfrac {100} {3} \)

\ [\ omega = \ dfrac {100} {3} \ dfrac {rev} {min} \ times \ dfrac {2 \ pi \ space rad} {1 \ space rev} = \ dfrac {200 \ pi} {3 } \ dfrac {rad} {min} \]

Теперь мы можем использовать формулу v D r! для определения линейной скорости точки на краю 12-дюймовой пластинки. Радиус 6 дюймов и так

\ [v = r \ omega = (6 \ космических дюймов) (\ dfrac {200 \ pi} {3} \ dfrac {rad} {min}) = 400 \ pi \ dfrac {дюймы} {min} \]

Может быть удобнее выразить это десятичным числом в дюймах в секунду. Получаем

\ [v = 400 \ pi \ dfrac {дюймы} {мин} \ times \ dfrac {1 \ space min} {60 \ space sec} \ приблизительно 20. 944 \ dfrac {дюймы} {sec} \]

Линейная скорость составляет приблизительно 20,944 дюйма в секунду.

Упражнение \ (\ PageIndex {3} \)

Для этих задач мы предположим, что Земля представляет собой сферу с радиусом 3959 миль.Когда Земля вращается вокруг своей оси, человек, стоящий на Земле, будет перемещаться по кругу, перпендикулярному оси.

  1. Земля вращается вокруг своей оси каждые \ (24 \) часа. Определите угловую скорость Земли в радианах в час. (Оставьте свой ответ в виде числа �� \ (\ pi \).)
  2. По мере вращения Земли человек, стоящий на экваторе, будет путешествовать по кругу, радиус которого составляет 3959 миль. Определите линейную скорость этого человека в милях в час.\ circ \) север будет двигаться по кругу радиусом 2800 миль. Определите линейную скорость этого человека в милях в час и футах в секунду.
Ответ
  1. Один оборот соответствует \ (2 \ pi \) радианам. Итак, \ [\ omega = \ dfrac {2 \ pi \ space rad} {24 \ space hr} = \ dfrac {\ pi \ space rad} {12 \ space hr}. \]
  2. Для определения линейной скорости мы используем формулу \ (v = r \ omega \) \ [v = r \ omega = (3959mi) (\ dfrac {\ pi} {12} \ dfrac {rad} {hr}) = \ dfrac {3959 \ pi} {12} \ dfrac {mi} {hr} \] Линейная скорость приблизительно равна 1036.5 миль в час.
  3. Чтобы определить линейную скорость, мы используем формулу \ (v = r \ omega \) \ [v = r \ omega = (2800mi) (\ dfrac {\ pi} {12} \ dfrac {rad} {hr}) = \ dfrac {2800 \ pi} {12} \ dfrac {mi} {hr} \] Линейная скорость составляет примерно 733,04 мили в час. Чтобы преобразовать это в футы в секунду, мы используем тот факт, что в одной миле 5280 футов, в часе 60 минут и в минуте 60 секунд. Итак

\ [v = (\ dfrac {2800 \ pi} {12} \ dfrac {mi} {hr}) (\ dfrac {5280 \ space ft} {1 \ space mi}) (\ dfrac {1 \ space hr } {60 \ space min}) (\ dfrac {1 \ space min} {60 \ space sec}) = \ dfrac {(2800 \ pi) (5280)} {12 \ cdot 60 \ cdot 60} \ dfrac {ft } {сек} \]

Итак, линейная скорость приблизительно равна \ (1075.1 \) футов в секунду.

Сводка

В этом разделе мы изучили следующие важные концепции и идеи:

  • На окружности радиуса \ (r \) длина дуги \ (s \), пересеченная центральным углом с радианной мерой, равна \ [s = r \ theta \]
  • Равномерное круговое движение — это когда точка движется с постоянной скоростью по окружности круга. Линейная скорость — это длина дуги, пройденная точкой, деленная на прошедшее время.В то время как линейная скорость измеряет, как длина дуги изменяется во времени, угловая скорость является мерой того, насколько быстро изменяется центральный угол во времени. Угловая скорость точки — это радианная мера угла, деленная на время, необходимое для того, чтобы подметать этот угол.
  • Для точки \ (P \), движущейся с постоянной (линейной) скоростью v по окружности окружности радиуса \ (r \), имеем \ [v = r \ omega \], где \ (\ omega \) — угловая скорость точки.

Как рассчитать линейную скорость

Обновлено 15 декабря 2020 г.

Крис Дезил

Вы когда-нибудь задумывались, как ученые могут определить скорость Земли, когда она движется вокруг Солнца? Они не делают этого, измеряя время, необходимое планете, чтобы пройти пару контрольных точек, потому что в космосе таких контрольных точек нет. Они фактически выводят линейную скорость Земли из ее угловой скорости, используя простую формулу, которая работает для любого тела или точки, вращающейся вокруг центральной точки или оси.

Период и частота

Когда объект вращается вокруг центральной точки, время, необходимое для завершения одного оборота, известно как период ( p ) вращения. С другой стороны, количество оборотов, которые он делает за данный период времени, обычно за секунду, составляет частота ( f ). Это обратные величины. Другими словами:

p = \ frac {1} {f}

Формула угловой скорости

Когда объект движется по круговой траектории от точки A до точки B , линия от объект к центру круга очерчивает дугу на окружности, образуя угол в центре круга.Если обозначить длину дуги AB буквой « s » и расстояние от объекта до центра окружности « r », значение угла ( ø ) сметается при движении объекта от A до B определяется как

\ phi = \ frac {s} {r}

В общем, вы рассчитываете среднюю угловую скорость вращающегося объекта ( w ) путем измерения времени ( t ), которое требуется для того, чтобы радиусная линия прошла любой угол ø , и используя следующую формулу:

w = \ гидроразрыв {\ phi} {t} \; (\ text {rad / s})

ø измеряется в радианах. Один радиан равен углу обзора, когда дуга s равна радиусу r . Это около 57,3 градуса.

Когда объект совершает полный оборот по окружности, радиусная линия проходит под углом 2π радиан, или 360 градусов. Вы можете использовать эту информацию для преобразования оборотов в минуту в угловую скорость и наоборот. Все, что вам нужно сделать, это измерить частоту в оборотах в минуту. В качестве альтернативы вы можете измерить период, который является временем (в минутах) одного оборота.Тогда угловая скорость станет:

w = 2πf = \ frac {2π} {p}

Формула линейной скорости

Если вы рассмотрите серию точек вдоль радиальной линии, движущихся с угловой скоростью w , каждый из них имеет различную линейную скорость ( v ) в зависимости от расстояния r от центра вращения. По мере увеличения r увеличивается и v . Соотношение:

v = wr

Поскольку радианы являются безразмерными единицами, это выражение дает линейную скорость в единицах расстояния во времени, как и следовало ожидать. Если вы измерили частоту вращения, вы можете напрямую рассчитать линейную скорость точки вращения. Это:

v = (2πf) × r

v = \ bigg (\ frac {2π} {p} \ bigg) × r

Как быстро движется Земля?

Чтобы вычислить скорость Земли в милях в час, вам понадобятся только две части информации. Один из них — радиус орбиты Земли. По данным НАСА, это 1,496 × 10 8 километров, или 93 миллиона миль. Другой необходимый вам факт — это период вращения Земли, который легко вычислить.7 \; \ text {миль} \\ & = 66,671 \ text {миль в час} \ end {выровнено}

Количества кинематики вращения | Безграничная физика

Угловое положение, Тета

Угол поворота — это величина (угол), на которую фигура поворачивается относительно фиксированной точки — часто центра круга.

Цели обучения

Оценить взаимосвязь между радианами на обороте CD

Основные выводы

Ключевые моменты
  • Длина дуги Δs — это расстояние, пройденное по круговой траектории. r — радиус кривизны круговой траектории.
  • Угол поворота — это величина поворота, аналогичная линейному расстоянию. Мы определяем угол поворота [латекс] \ Delta \ theta [/ latex] как отношение длины дуги к радиусу кривизны: [latex] \ Delta \ theta [/ latex] = Δs / r.
  • За один полный оборот угол поворота составляет 2π.
Ключевые термины
  • Угловое положение : угол в радианах (градусах, оборотах), на который точка или линия были повернуты в определенном смысле вокруг указанной оси.

Когда объекты вращаются вокруг некоторой оси — например, когда компакт-диск (компакт-диск) вращается вокруг своего центра, — каждая точка объекта следует по дуге окружности. Рассмотрим линию от центра компакт-диска до его края. Каждая яма, используемая для записи звука вдоль этой линии, перемещается под одним и тем же углом за одно и то же время. Угол поворота — это величина поворота, аналогичная линейному расстоянию. Мы определяем угол поворота [латекс] \ Delta \ theta [/ latex] как отношение длины дуги к радиусу кривизны:

[латекс] \ Delta \ theta = \ Delta \ text {s} / \ text {r} [/ latex] (показано на).

Угол поворота : Все точки на компакт-диске перемещаются по дугам окружности. Все ямки вдоль линии от центра к краю перемещаются на один и тот же угол Δ за время Δt.

В математике угол поворота (или угловое положение) является мерой величины (т.е. угла), на которую фигура поворачивается относительно фиксированной точки (часто центра круга, как показано на).

Угол θ и длина дуги s : Радиус круга поворачивается на угол Δ.Длина дуги Δs указана на окружности.

Длина дуги Δs — это расстояние, пройденное по круговой траектории. r — радиус кривизны круговой траектории. Мы знаем, что за один полный оборот длина дуги равна длине окружности радиуса r. Окружность круга равна 2πr. Таким образом, за один полный оборот угол поворота составляет:

[латекс] \ Delta \ theta = (2 \ pi \ text {r}) / \ text {r} = 2 \ pi [/ latex].

Этот результат является основой для определения единиц, используемых для измерения углов поворота, как радиан (рад), определенных так:

2π рад = 1 оборот.

Если [latex] \ Delta \ theta [/ latex] = 2π rad, то компакт-диск сделал один полный оборот, и каждая точка на компакт-диске вернулась в исходное положение. Поскольку в круге 360º или один оборот, соотношение между радианами и градусами составляет 2π рад = 360º, так что:

1рад = 360º / 2π = 57,3º.

Угловая скорость, Омега

Угловая скорость ω — это скорость изменения угла, математически определяемая как ω = [latex] \ Delta \ theta [/ latex] [latex] / \ Delta \ text {t} [/ latex].

Цели обучения

Изучить, насколько быстро объект вращается на основе угловой скорости

Основные выводы

Ключевые моменты
  • Чем больше угол поворота за заданный промежуток времени, тем больше угловая скорость.
  • Угловая скорость ω аналогична линейной скорости v.
  • Связь между линейной скоростью и угловой скоростью можно записать двумя разными способами: v = rω или ω = v / r.
Ключевые термины
  • угловая скорость : векторная величина, описывающая объект в круговом движении; его величина равна скорости частицы, а направление перпендикулярно плоскости ее кругового движения.

Чтобы проверить, насколько быстро объект вращается, мы определяем угловую скорость ω как скорость изменения угла. В символах это

[латекс] \ omega = \ Delta \ theta / \ Delta \ text {t} [/ latex],

, где угловой поворот Δ происходит за время Δt. Чем больше угол поворота за заданный промежуток времени, тем больше угловая скорость. Единицы измерения угловой скорости — радианы в секунду (рад / с).

Угловая скорость ω аналогична линейной скорости v.Чтобы найти точное соотношение между угловой и линейной скоростью, мы снова рассмотрим ямку на вращающемся CD. Эта яма перемещает дугу на длину Δs за время Δt, поэтому она имеет линейную скорость v = Δs / Δt.

Из [latex] \ Delta \ theta = (\ Delta \ text {s}) / \ text {r} [/ latex] мы видим, что [latex] \ Delta \ text {s} = \ text {r} \ cdot \ Дельта \ тета [/ латекс]. Подстановка этого в выражение для v дает [latex] \ text {v} = (\ text {r} \ cdot \ Delta \ theta) / (\ Delta \ text {t}) = \ text {r} (\ Delta \ theta / \ Delta \ text {t}) = \ text {r} \ omega [/ latex].

Мы можем записать это соотношение двумя разными способами: v = rω или ω = v / r.

Первое соотношение утверждает, что линейная скорость v пропорциональна расстоянию от центра вращения, таким образом, она является наибольшей для точки на ободе (наибольшее значение r), как и следовало ожидать. Мы также можем назвать эту линейную скорость v точки на ободе тангенциальной скоростью. Вторую взаимосвязь можно проиллюстрировать, рассмотрев шину движущегося автомобиля, как показано на рисунке ниже. Обратите внимание, что скорость точки в центре шины такая же, как скорость v автомобиля.Чем быстрее движется автомобиль, тем быстрее вращается шина — большой v означает большой ω, потому что v = rω. Точно так же шина большего радиуса, вращающаяся с той же угловой скоростью (ω), будет создавать для автомобиля большую линейную скорость (v).

Угловая скорость : Автомобиль, движущийся со скоростью v вправо, имеет шину, вращающуюся с угловой скоростью ω. Скорость протектора шины относительно оси равна v, как если бы автомобиль был поднят домкратом. Таким образом, автомобиль движется вперед с линейной скоростью v = rω, где r — радиус шины.Чем больше угловая скорость шины, тем больше скорость автомобиля.

Угловое ускорение, Alpha

Угловое ускорение — это скорость изменения угловой скорости, математически выражаемая как [latex] \ alpha = \ Delta \ omega / \ Delta \ text {t} [/ latex].

Цели обучения

Объясните взаимосвязь между угловым ускорением и угловой скоростью

Основные выводы

Ключевые моменты
  • Чем быстрее происходит изменение угловой скорости, тем больше угловое ускорение.
  • При круговом движении линейное ускорение касается окружности в интересующей точке и называется касательным ускорением.
  • При круговом движении под центростремительным ускорением понимается изменение направления скорости, но не ее величины. Объект, совершающий круговое движение, испытывает центростремительное ускорение.
Ключевые термины
  • угловое ускорение : Скорость изменения угловой скорости, часто обозначаемая α.
  • тангенциальное ускорение : ускорение в направлении, касательном к окружности в интересующей точке при круговом движении.

Угловое ускорение — это скорость изменения угловой скорости. В единицах СИ он измеряется в радианах на секунду в квадрате (рад / с 2 ) и обычно обозначается греческой буквой альфа ([латекс] \ альфа [/ латекс]).

Рассмотрим следующие ситуации, в которых угловая скорость непостоянна: когда фигуристка тянет за руки, когда ребенок запускает карусель из состояния покоя или когда жесткий диск компьютера останавливается, когда он выключен.Во всех этих случаях существует угловое ускорение, при котором изменяется [латекс] \ омега [/ латекс]. Чем быстрее происходит изменение, тем больше угловое ускорение. Угловое ускорение определяется как скорость изменения угловой скорости. В форме уравнения угловое ускорение выражается следующим образом:

[латекс] \ alpha = \ Delta \ omega / \ Delta \ text {t} [/ latex]

где [latex] \ Delta \ omega [/ latex] — это изменение угловой скорости, а [latex] \ Delta \ text {t} [/ latex] — это изменение во времени. Единицы углового ускорения: (рад / с) / с, или рад / с 2 . Если [latex] \ omega [/ latex] увеличивается, тогда [latex] \ alpha [/ latex] положительно. Если [latex] \ omega [/ latex] уменьшается, тогда [latex] \ alpha [/ latex] отрицательно.

Полезно знать, как связаны линейное и угловое ускорение. При круговом движении ускорение составляет по касательной к окружности в интересующей точке (как показано на диаграмме ниже). Это ускорение называется тангенциальным ускорением , a t .

Тангенциальное ускорение : При круговом движении ускорение может происходить, когда величина скорости изменяется: a касается движения. Это ускорение называется тангенциальным ускорением.

Тангенциальное ускорение относится к изменениям величины скорости, но не ее направления. При круговом движении центростремительное ускорение a c относится к изменениям направления скорости, но не ее величины. Объект, совершающий круговое движение, испытывает центростремительное ускорение (как показано на диаграмме ниже. ) Таким образом, t и c перпендикулярны и независимы друг от друга. Тангенциальное ускорение a t напрямую связано с угловым ускорением и связано с увеличением или уменьшением скорости (но не ее направлением).

Центростремительное ускорение : Центростремительное ускорение возникает при изменении направления скорости; он перпендикулярен круговому движению. Таким образом, центростремительное и тангенциальное ускорения перпендикулярны друг другу.

Скорость, ускорение и сила | Безграничная физика

Угол вращения и угловая скорость

Угол поворота — это мера того, насколько далеко вращается объект, а угловая скорость — это скорость его вращения.

Цели обучения

Выразите взаимосвязь между углом поворота и расстоянием

Основные выводы

Ключевые моменты
  • Когда объект вращается вокруг оси, точки на краю объекта перемещаются по дугам.
  • Угол, выходящий за пределы этих дуг, называется углом поворота и обычно обозначается символом theta .
  • Мера того, насколько быстро объект вращается относительно времени, называется угловой скоростью. Обычно он представлен греческим символом омега . Как и его аналог линейной скорости, это вектор.
Ключевые термины
  • радиан : угол, образуемый в центре окружности дугой той же длины, что и радиус окружности.

Угол вращения и угловая скорость

Когда объект вращается вокруг оси, как в случае с шиной автомобиля или записью на поворотной платформе, движение можно описать двумя способами. Точка на краю вращающегося объекта будет иметь некоторую скорость и будет перенесена по дуге на вращающемся объекте. Точка пройдет расстояние [latex] \ Delta \ text {S} [/ latex], но часто удобнее говорить о степени поворота объекта. Величина поворота объекта называется углом поворота и может измеряться в градусах или радианах.Поскольку угол поворота связан с расстоянием [латекс] \ Delta \ text {S} [/ latex] и с радиусом [latex] \ text {r} [/ latex] уравнением [latex] \ Delta \ theta = \ frac {\ Delta \ text {S}} {\ text {R}} [/ latex], обычно удобнее использовать радианы.

Угол θ и длина дуги s : Радиус круга поворачивается на угол [латекс] \ дельта \ тета [/ латекс]. Длина дуги [латекс] \ Delta \ text {s} [/ latex] указывается на окружности.

Скорость, с которой вращается объект, определяется угловой скоростью, которая представляет собой скорость изменения угла поворота во времени.Хотя сам угол не является векторной величиной, угловая скорость — это вектор. Направление вектора угловой скорости перпендикулярно плоскости вращения в направлении, которое обычно задается правилом правой руки. Угловое ускорение дает скорость изменения угловой скорости. Угол, угловая скорость и угловое ускорение очень полезны при описании вращательного движения объекта.

Направление угловой скорости : Угловая скорость описывает скорость вращения и ориентацию мгновенной оси, вокруг которой происходит вращение.Направление угловой скорости будет вдоль оси вращения. В этом случае (вращение против часовой стрелки) вектор направлен вверх.

Когда ось вращения перпендикулярна вектору положения, угловую скорость можно вычислить, взяв линейную скорость [latex] \ text {v} [/ latex] точки на краю вращающегося объекта и разделив на радиус. Это даст угловую скорость, обычно обозначаемую [latex] \ omega [/ latex], в радианах в секунду.

Угловая скорость : Муха на краю вращающегося объекта фиксирует постоянную скорость [latex] \ text {v} [/ latex]. Объект вращается с угловой скоростью, равной [latex] \ frac {\ text {v}} {\ text {r}} [/ latex].

Центробежное ускорение

Центростремительное ускорение — это постоянное изменение скорости, необходимое объекту для поддержания круговой траектории.

Цели обучения

Выразите центростремительное ускорение через скорость вращения

Основные выводы

Ключевые моменты
  • Для того, чтобы объект сохранял круговое движение, он должен постоянно менять направление.
  • Поскольку скорость является вектором, изменения направления представляют собой изменения скорости.
  • Изменение скорости называется ускорением. Изменение скорости из-за кругового движения известно как центростремительное ускорение.
  • Центростремительное ускорение можно рассчитать, разделив квадрат линейной скорости на радиус круга, по которому движется объект.
Ключевые термины
  • ускорение : величина, на которую увеличивается скорость или скорость (и, следовательно, скалярная величина или векторная величина).
  • круговое движение : движение таким образом, что выбранный путь является круговым.
  • скорость : векторная величина, которая обозначает скорость изменения положения относительно времени или скорость с направленным компонентом.

Обзор

Как упоминалось в предыдущих разделах, посвященных кинематике, любое изменение скорости определяется ускорением. Часто изменения скорости являются изменениями по величине. Когда объект ускоряется или замедляется, это изменение скорости объекта. Изменения в величине скорости соответствуют нашему интуитивному и повседневному использованию термина «ускорение». Однако, поскольку скорость является вектором, у нее также есть направление. Следовательно, любое изменение направления движения объекта также должно сопровождаться ускорением.

Равномерное круговое движение означает, что объект движется по круговой траектории с постоянной скоростью. Поскольку скорость постоянна, обычно не думают, что объект ускоряется. Однако направление постоянно меняется, когда объект пересекает круг.Таким образом, говорят, что он ускоряется. Это ускорение можно почувствовать, катаясь на американских горках. Даже если скорость постоянна, быстрый поворот вызовет у гонщика чувство силы. Это ощущение ускорения.

Центростремительное ускорение : Краткий обзор центростремительного ускорения для студентов-физиков средней школы.

Расчет центростремительного ускорения

Для расчета центростремительного ускорения объекта, совершающего равномерное круговое движение, необходимо иметь скорость, с которой движется объект, и радиус круга, вокруг которого происходит движение.2 \ text {r} [/ latex]

, где омега — это скорость вращения, заданная [latex] \ frac {\ text {v}} {\ text {r}} [/ latex].

Центростремительное ускорение : Когда объект движется по окружности, направление вектора скорости постоянно меняется.

Центростремительная сила

Сила, которая вызывает движение по криволинейной траектории, называется центростремительной силой (равномерное круговое движение является примером центростремительной силы).

Цели обучения

Выразите уравнения для центростремительной силы и ускорения

Основные выводы

Ключевые моменты
  • Когда объект находится в равномерном круговом движении, он постоянно меняет направление и, следовательно, ускоряется. Это угловое ускорение.
  • Сила, действующая на объект при равномерном круговом движении (называемая центростремительной силой), действует на объект из центра круга.
Ключевые термины
  • центростремительный : Направлен или движется к центру.
  • угловая скорость : векторная величина, описывающая объект в круговом движении; его величина равна скорости частицы, а направление перпендикулярно плоскости ее кругового движения.

Сила, которая вызывает движение по кривой траектории, называется центростремительной силой. Равномерное круговое движение — пример действия центростремительной силы. Это можно увидеть на орбите спутников вокруг Земли, натяжении веревки в игре с тросом, в петле-петле на американских горках или в ведре, вращающемся вокруг тела.

Обзор центростремительной силы : Краткий обзор центростремительной силы.

Ранее мы узнали, что любое изменение скорости — это ускорение.По мере того, как объект движется по круговой траектории, он постоянно меняет направление и, следовательно, ускоряется, вызывая постоянное воздействие силы на объект. Эта центростремительная сила действует по направлению к центру кривизны, к оси вращения. Поскольку объект движется перпендикулярно силе, путь, по которому он движется, является круговым. Именно эта сила удерживает мяч от выпадения из ведра, если вы непрерывно раскачиваете его по кругу.

Центростремительная сила : Когда объект движется по круговой траектории с постоянной скоростью, он испытывает центростремительную силу, ускоряющую его к центру.2 [/ латекс]

Навигация

Возможно, вы уже знакомы с измерением скорости как соотношением пройденного расстояния объекта и времени, в течение которого он находился в движении. Однако это соотношение относится к объектам, движущимся по прямой линии. А как насчет объектов, движущихся по круговой траектории?

Помните, когда вы были моложе, играли на карусели?

Если два человека едут по внешнему краю, их скорости должны быть одинаковыми. Но что, если один человек находится близко к центру, а другой — на грани? Они находятся на одном объекте, но на самом деле их скорость не одинакова.

Посмотрите на следующий рисунок.

Представьте, что точка на большом круге — это человек на краю карусели, а точка на меньшем круге — это человек, находящийся ближе к середине. Если карусель вращается ровно один раз, то оба человека также совершат один полный оборот за одно и то же время.

Однако очевидно, что человек в центре проехал не так далеко. Окружность (и, конечно, радиус) этого круга намного меньше, и поэтому человек, который преодолел большее расстояние за то же время, на самом деле путешествует быстрее, даже если они находятся на одном и том же объекте. Таким образом, человек на краю имеет большую линейную скорость (напомним, что линейная скорость определяется с помощью). Если вы когда-либо действительно катались на карусели, вы уже знаете это, потому что гораздо веселее быть на краю, чем в центре! Но есть что-то одно и то же в двух людях, путешествующих вокруг. Оба они охватят одну и ту же ротацию за один и тот же период времени. Этот тип скорости, измеряющий угол поворота за определенный промежуток времени, называется угловой скоростью .

Формула для угловой скорости:

— последняя буква греческого алфавита, омега, обычно используется как символ угловой скорости. — угол поворота, выраженный в радианах, и время завершения вращения.

На этом чертеже это ровно один радиан или длина радиуса, изогнутого по окружности.Если для поворота на угол требуется ровно 2 секунды, угловая скорость будет равна:

Чтобы узнать линейную скорость частицы , нам нужно знать фактическое расстояние, то есть , длина радиуса. Допустим, радиус 5 см.

Если линейная скорость равна, то или 2,5 см в секунду.

Если угол был не точно 1 радиан, то расстояние, пройденное точкой на окружности, равно длине дуги, или, длине радиуса, умноженной на меру угла в радианах.

Подстановка в формулу для линейной скорости дает: или.

Вернитесь к формуле для угловой скорости. Подстановка дает следующее соотношение между линейной и угловой скоростью. Итак, линейная скорость равна радиусу, умноженному на угловую скорость .

Помните, что в единичном круге радиус равен 1 единице, поэтому в этом случае линейная скорость совпадает с угловой скоростью.

Здесь расстояние, пройденное по окружности, такое же в заданную единицу времени, что и угол поворота, измеренный в радианах.

Пример A

Линдси и Меган едут на карусели. Меган стоит в 2,5 футах от центра, а Линдси едет по внешнему краю в 7 футах от центра. На полный оборот им требуется 6 секунд. Вычислите линейные угловые скорости и для каждой девушки.

Решение: Нам сказали, что для завершения вращения требуется 6 секунд. Полный оборот равен радианам. Таким образом, угловая скорость равна:

радиана в секунду, что немного больше 1 (около 1.05), радиан в секунду. Поскольку обе девушки проходят один и тот же угол поворота за одинаковое время, их угловая скорость одинакова. В этом случае они поворачиваются примерно на 60 градусов по окружности каждую секунду.

Как мы обсуждали ранее, их линейные скорости различаются. Используя формулу, линейная скорость Меган составляет:

Линейная скорость Линдси:

Пример B

Жук стоит около внешнего края компакт-диска (так что его радиус от центра диска равен 6 см), который вращается.Он замечает, что прошел радиан за две секунды. Какая у него угловая скорость? Какова его линейная скорость?

Решение: Мы знаем, что уравнение для угловой скорости составляет

радиан в секунду.

Мы можем использовать данное уравнение, чтобы найти его линейную скорость:

Пример C

Сколько времени требуется ошибке из примера B, чтобы пройти два полных оборота?

Решение: Поскольку угловая скорость жука равна радианам в секунду, мы можем использовать уравнение для угловой скорости и решить для времени:

Поскольку в двух полных оборотах диска есть радианы, мы можно использовать это для значения:

Словарь

Угловая скорость: Угловая скорость вращающегося объекта — это изменение угла объекта, деленное на изменение во времени.

Линейная скорость: Линейная скорость объекта — это изменение положения объекта, деленное на изменение во времени.

Практика с инструктором

1. Дорис и Лоис прокатятся на карусели. Дорис едет на одной из внешних лошадей, а Лоис едет на одной из меньших лошадей недалеко от центра. Лошадь Лоис находится в 3 м от центра карусели, а лошадь Дорис на 7 м дальше от центра, чем Лоис. Когда карусель запускается, им требуется 12 секунд для завершения вращения.

Вычислите линейную скорость каждой девушки. Рассчитайте угловую скорость лошадей на карусели.

2. Большой адронный коллайдер недалеко от Женевы, Свитерленд, начал работу в 2008 году и предназначен для проведения экспериментов, которые, как надеются физики, предоставят важную информацию о базовой структуре Вселенной. БАК имеет круглую форму с окружностью около 27000 м. Протоны будут ускорены до скорости, очень близкой к скорости света (метры в секунду).

Сколько времени нужно протону, чтобы сделать полный оборот вокруг коллайдера? Какова приблизительная (с точностью до метра в секунду) угловая скорость протона, движущегося вокруг коллайдера? Примерно сколько раз протон облетит коллайдер за одну полную секунду?

3. Тед стоит в 2 метрах от центра карусели. Если его линейная скорость равна 6 м / с, какова его угловая скорость?

Решения: 1. На самом деле проще сначала рассчитать угловую скорость., поэтому угловая скорость равна, или. Поскольку линейная скорость зависит от радиуса, у каждой девушки свой.

Лоис:

Дорис:

2. или 0,00009 секунды. Протон совершает оборот один раз за 0,00009 секунды. Итак, за одну секунду он будет вращаться вокруг LHC раз, или чуть более 11 111 оборотов.

3. Поскольку уравнение, связывающее линейную и угловую скорости, имеет вид, мы можем решить для omega:

Концепция Решение проблемы

Как вы узнали в этой Концепции, угловая скорость — это изменение угла, деленное на изменение время. Поскольку вы совершаете круговой обход дважды в секунду, это становится:

рад / сек

Далее вы можете найти линейную скорость с помощью уравнения:

6.1 Угол вращения и угловая скорость

Угловая скорость

Насколько быстро вращается объект? Определим угловую скорость ωω размером 12 {ω} {} как скорость изменения угла. В символах это

6.6 ω = ΔθΔt, ω = ΔθΔt, размер 12 {ω = {{Δθ} над {Δt}} «,»} {}

, где угловой поворот ΔθΔθ размером 12 {Δθ} {} происходит за время ΔtΔt размер 12 {Δt} {}.Чем больше угол поворота за заданный промежуток времени, тем больше угловая скорость. Единицы измерения угловой скорости — радианы в секунду (рад / с).

Угловая скорость ωω размер 12 {ω} {} аналогична линейной скорости vv размером 12 {v} {}. Чтобы получить точное соотношение между угловой и линейной скоростью, мы снова рассмотрим ямку на вращающемся CD. Эта яма перемещает дугу длиной ΔsΔs размером 12 {Δs} {} за время ΔtΔt, размер 12 {Δt} {}, и поэтому имеет линейную скорость

6,7 v = ΔsΔt. v = ΔsΔt.размер 12 {v = {{Δs} на {Δt}} «.»} {}

Из Δθ = ΔsrΔθ = Δsr размер 12 {Δθ = {{Δs} на {r}}} {} мы видим, что Δs = rΔθΔs = rΔθ размер 12 {Δs = rΔθ} {}. Подставляя это в выражение для размера vv 12 {v} {}, получаем

6,8 v = rΔθΔt = rω.v = rΔθΔt = rω. размер 12 {v = {{rΔθ} over {Δt}} = rω «.»} {}

Мы записываем это соотношение двумя разными способами и получаем два разных понимания

6.9 v = rω или ω = vr.v = rω или ω = vr. размер 12 {v = rω« «или» ω = {{v} over {r}} «.»} {}

Первое соотношение в v = rω или ω = vrv = rω или ω = vr размер 12 {v = rω« «или» ω = {{v} over {r}}} {} утверждает, что линейная скорость vv размером 12 {v} {} пропорциональна расстоянию от центра вращения, таким образом, она является наибольшей для точки на ободе (самый большой размер rr 12 {r} {}), как и следовало ожидать.Мы также можем назвать эту линейную скорость vv размером 12 {v} {} точки на ободе тангенциальной скоростью . Второе соотношение в v = rω или ω = vrv = rω или ω = vr размер 12 {v = rω« или «ω = {{v} над {r}}} {} можно проиллюстрировать, рассмотрев шину движущаяся машина. Обратите внимание, что скорость точки на ободе шины такая же, как скорость vv размера 12 {v} {} автомобиля. (см. рисунок 6.5). Таким образом, чем быстрее движется автомобиль, тем быстрее вращается шина — большой размер vv 12 {v} {} означает большой размер ωω 12 {ω} {}, потому что v = rωv = rω размер 12 {v = rω} {}.Точно так же шина большего радиуса, вращающаяся с той же угловой скоростью (размер ωω 12 {ω} {}), будет создавать для автомобиля большую линейную скорость (размер vv 12 {v} {}).

Рисунок 6.5 Автомобиль, движущийся со скоростью vv размером 12 {v} {} вправо, имеет шину, вращающуюся с угловой скоростью ωω размером 12 {ω} {}. Скорость протектора шины относительно оси равна vv размер 12 {v} {}, как если бы автомобиль был поднят домкратом. Таким образом, автомобиль движется вперед с линейной скоростью v = rωv = rω size 12 {v = rω} {}, где rr size 12 {r} {} — радиус шины.Чем больше угловая скорость шины, тем больше скорость автомобиля.

Пример 6.

1. Как быстро вращается автомобильная шина?

Рассчитайте угловую скорость автомобильной шины радиусом 0,300 м при движении автомобиля со скоростью 15,0 м / с 15,0 м / с размером 12 {«15» «». 0` «м / с»} {} (около 54 км / ч 54 км / ч размер 12 {«54» «км / ч»} {}) (см. Рис. 6.5.

Стратегия

Поскольку линейная скорость обод шины такой же, как и скорость автомобиля, у нас
v = 15,0 м / с. v = 15,0 м / с.размер 12 {v} {}

Радиус шины принимается равным
r = 0,300 м. r = 0,300 м. размер 12 {r} {} Зная

vv размер 12 {v} {} и размер rr 12 {r} {}, мы можем использовать второе соотношение в v = rω, ω = vrv = rω, ω = vr size 12 {v = rω, « ω = { {v} over {r}}} {} для вычисления угловой скорости.

Решение

Для вычисления угловой скорости мы будем использовать следующее соотношение

6,10 ω = vr.ω = vr. размер 12 {ω = {{v} over {r}} «.»} {}

Подставляя известные,

6.11 ω = 15,0 м / с 0,300 м = 50,0 рад / с. Ω = 15,0 м / с 0,300 м = 50,0 рад / с. размер 12 {ω = {{«15» «.» 0 «м / с»} больше {0 «.» «300» «m»}} = «50» «.» 0 рад / с.} {}

Обсуждение

Когда мы отменяем единицы в приведенном выше вычислении, мы получаем 50,0 / с. Но угловая скорость должна иметь единицы рад / с. Поскольку радианы на самом деле безразмерны, поскольку они определяются как отношение расстояний, мы можем просто вставить их в ответ для угловой скорости. Также обратите внимание, что если землеройный трактор с гораздо большими шинами, скажем, 1.Радиус 20 м, двигался с той же скоростью 15,0 м / с, его колеса вращались медленнее. У них будет угловая скорость

6,12 ω = (15,0 м / с) / (1,20 м) = 12,5 рад / с. Ω = (15,0 м / с) / (1,20 м) = 12,5 рад / с. размер 12 {ω = \ («15» «.» 0` «м / с» \) / \ (1 «.» «20» `m \) =» 12 «». » 5` «рад / с.»} {}

И ωω размера 12 {ω} {}, и vv размера 12 {v} {} имеют направления, следовательно, они имеют угловую и линейную скорости соответственно. Угловая скорость имеет только два направления относительно оси вращения — либо по часовой стрелке, либо против часовой стрелки.Линейная скорость касается пути, как показано на рисунке 6.6.

Эксперимент на вынос

Привяжите какой-либо предмет к концу веревки и поверните его по горизонтальному кругу над головой (взмахнув запястьем). Поддерживайте равномерную скорость при качании объекта и измеряйте угловую скорость движения. Какая примерная скорость объекта? Определите точку рядом с вашей рукой и выполните соответствующие измерения, чтобы рассчитать линейную скорость в этой точке.Определите другие круговые движения и измерьте их угловые скорости.

Рис. 6.6. Когда объект движется по кругу, здесь муха на краю старинной виниловой пластинки, его мгновенная скорость всегда касается круга. Направление угловой скорости в этом случае — по часовой стрелке.

Угловая скорость и линейная скорость — проблемы и решения

1. Шар на конце струны равномерно вращается по горизонтальной окружности радиусом 2 метра с постоянной угловой скоростью 10 рад / с.Определите величину линейной скорости точки, расположенной:

(а) 0,5 метра от центра

(б) 1 метр от центра

(в) 2 метра от центра

Известный:

Радиус (r) = 0,5 метра, 1 метр, 3 метра

Угловая скорость = 10 радиан / сек

Требуется: Линейная скорость

Решение:

v = r ω

v = линейная скорость, r = радиус, ω = угловая скорость

(a) Линейная скорость (v) точки, расположенной при r = 0.5 метров

v = r ω = (0,5 метра) (10 рад / с) = 5 метров / секунду

(b) Линейная скорость (v) точки, расположенной на r = 1 метр

v = r ω = (1 метр) (10 рад / с) = 10 метров / секунду

(c) Линейная скорость (v) точки, расположенной на r = 2 метра s

v = r ω = (2 метра) (10 рад / с) = 20 метров / секунду

2. Лопасти блендера вращаются со скоростью 5000 об / мин. Определите величину линейной скорости:

(а) точка, расположенная на расстоянии 5 см от центра

(б) точка, расположенная на расстоянии 10 см от центра

Известный:

Радиус (r) = 5 см и 10 см

Угловая скорость (ω) = 5000 оборотов / 60 секунд = 83,3 оборотов / секунду = (83,3) (6,28 радиан) / секунда = 523,3 радиан / секунду

Разыскивается: Величина линейной скорости

Решение:

(a) Величина линейной скорости точки, расположенной на 0.05 м от центра

v = r ω = (0,05 м) (523,3 рад / с) = 26 м / с

(б) Величина линейной скорости точки, расположенной на расстоянии 0,1 м от центра

v = r ω = (0,1 м) (523,3 рад / с) = 52 м / с

3. Точка на краю колеса радиусом 30 см, вращающаяся по окружности с постоянной скоростью 10 м / сек.

Какова величина угловой скорости?

Известный:

Радиус (r) = 30 см = 0,3 метра

Линейная скорость (v) = 10 метров в секунду

Разыскивается: угловая скорость

Решение:

ω = v / r = 10/0.3 = 33 радиана в секунду

4. Автомобиль с шинами диаметром 50 см проезжает 10 метров за 1 секунду. Какая угловая скорость?

Известный:

Радиус (r) = 0,25 метра

Линейная скорость точки на краю шины (v) = 10 метров в секунду

Разыскивается: Угловая скорость

Решение:

ω = v / r = 10 / 0,25 = 40 радиан в секунду

5. Угловая скорость колеса 20 см в радианах составляет 120 об / мин.Какое расстояние, если машина едет за 10 секунд.

Известный:

Радиус (r) = 20 см = 0,2 метра

Угловая скорость = 120 об / 60 секунд = 2 об / секунду = (2) (6,28) радиан / секунда = 12,56 радиан / секунду

Разыскивается: расстояние

Решение:

Скорость кромки колеса:

v = r ω = (0,2 метра) (12,56 радиан в секунду) = 2,5 метра в секунду

2,5 м / с означает точку на краю хода колеса 2.5 метров каждую 1 секунду. Через 10 секунд точка пролетит 25 метров.

Итак, расстояние 25 метров.

[wpdm_package id = ’427 ′]

[wpdm_package id = ’439 ′]

  1. Преобразование угловых единиц Примеры задач с решениями
  2. Примеры задач и решений углового и линейного смещения
  3. Примеры задач по угловой и линейной скорости с решениями
  4. Примеры задач углового и линейного ускорения с решениями
  5. Примеры задач с равномерными круговыми движениями
  6. Примеры проблем с центростремительным ускорением и решения
  7. Примеры задач с неравномерными круговыми движениями

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *